Kubikwurzel aus negativer Zahl
Angelo Laub
Unser Lehrer meint, man dürfte aus rein formalen Gründen keine Kubikwurzel
aus z.B. -8 ziehen. Er meint Kubikwurzel wäre so definiert. Ich meine
hingegen, daß Kubikwurzel aus -8 die Zahl ist die mit sich selbst
multipliziert -8 ergibt, also die -2. Wir sollen folgende Schreibweise
benutzen: -2 = - Kubikwurzel [8]
und nicht -2 = Kubikwurzel [-8]
Seine Erklärung ist äusserst unbefriedigend. Ist das Humbug oder hat das
tatsächlich einen Grund?
Gruß, Angelo
Thomas Sauer
Hallo Angelo,
es gibt tatsächlich einen Grund dafür, dass die Kubikwurzel aus einer negativen
Zahl nicht definiert ist. Falls ihr Potenzen mit rationalen Hochzahlen noch nicht
gemacht habt, kann dir euer Lehrer noch keine befriedigende Erklärung liefern.
Potenzen mit rationaler Hochzahl sind folgendermaßen definiert: a^(p/q) = q-te
Wurzel von a^p
Angenommen, du würdest die 3-te Wurzel von -8 als -2 definieren.
Also wäre dann (-8)^(1/3) = -2.
Da aber 1/3=2/6 müsste auch (-8)^(2/6)=-2 sein. Im Sinne der obigen Definition
ist aber (-8)^(2/6)=6-te Wurzel von 64, also +2.
Es würden also für erweiterte Brüche andere Ergebnisse für die Potenz
herauskommen, was natürlich keinen Sinn macht.
Ich denke, ihr werdet das im Unterricht an der entsprechenden Stelle noch
ansprechen.
Grüße, Thomas
--
_____________________________________________________________
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Philipp Lucas
wrote:
>Unser Lehrer meint, man dürfte aus rein formalen Gründen keine Kubikwurzel
>aus z.B. -8 ziehen. Er meint Kubikwurzel wäre so definiert. Ich meine
>hingegen, daß Kubikwurzel aus -8 die Zahl ist die mit sich selbst
>multipliziert -8 ergibt, also die -2.
Wie Du siehst, ist das Definitionssache. Was ist denn die zweite Wurzel
aus 4? 2, nach traditioneller Auffassung, obwohl auch (-2)^2=4. Mit der
einfachen Definition "n-te Wurzel aus m ist die Loesung von x^n=m"
arbeit man also in der Regel nicht.
Nach meiner Erfahrung ist es so, dass als Wurzeln nur die positiven
Zahlen zugelassen werden. Ich kenne nicht natuerliche Zahlen nur dann
als Ergebnis einer Wurzel, wenn man ohnehin alle Ergebnisse haben will,
also auch die komplexen. Wenn das bei euch nicht der Fall ist, ist es
halt so.
Dass -2 immer noch die Loesung (eine der Loesungen) von x^3=-8 ist,
bleibt ja bestehen.
--
Philipp Lucas
phl...@online-club.de
Angelo Laub
> Organisation: WEB.DE
> Newsgroups: schule.mathe
> Datum: 18 Oct 2000 07:29:01 +0200
> Betreff: Re: Kubikwurzel aus negativer Zahl
>
> es gibt tatsächlich einen Grund dafür, dass die Kubikwurzel aus einer
> negativen
> Zahl nicht definiert ist. Falls ihr Potenzen mit rationalen Hochzahlen noch
> nicht
> gemacht habt, kann dir euer Lehrer noch keine befriedigende Erklärung liefern.
>
>
> Potenzen mit rationaler Hochzahl sind folgendermaßen definiert: a^(p/q) = q-te
> Wurzel von a^p
>
>
> Angenommen, du würdest die 3-te Wurzel von -8 als -2 definieren.
> Also wäre dann (-8)^(1/3) = -2.
> Da aber 1/3=2/6 müsste auch (-8)^(2/6)=-2 sein. Im Sinne der obigen Definition
> ist aber (-8)^(2/6)=6-te Wurzel von 64, also +2.
> Es würden also für erweiterte Brüche andere Ergebnisse für die Potenz
> herauskommen, was natürlich keinen Sinn macht.
>
>
> Ich denke, ihr werdet das im Unterricht an der entsprechenden Stelle noch
> ansprechen.
>
Ich hätte vielleicht anmerken sollen, dass ich in der Klasse 12 und im
Mathe-LK bin. Ich nerve meine Lehrer immer mit solchen Fragen. Deine Idee
mit der Exponentschreibweise ist gut. Ich habe das jetzt mal in Mathematica
ausprobiert. Er spuckt bei 3-te Wurzel aus -8 tatsächlich keine reellen
Lösungen aus. Bei Solve[x^3==-8,x] gibt er hingegen -2 und noch zwei
imaginären Lösungen aus. Ich habe dazu die Lösungen von mathematica mal als
html upgeloaded.
http://home.t-online.de/home/jakoblaub/math/-8/
D.h. also, obwohl es bei der Gleichung x^3==-8 die Lösung -2 gibt ist sie
formal falsch, oder was? Ist das einfach so, oder gibt es da noch eine
tiefgründigere Begründung?
Gruß, Angelo
Reiner Wadel
>On Tue, 17 Oct 2000 23:33:30 +0100, Angelo Laub <angel...@web.de>
>wrote:
>
>>Unser Lehrer meint, man dürfte aus rein formalen Gründen keine Kubikwurzel
>>aus z.B. -8 ziehen. Er meint Kubikwurzel wäre so definiert. Ich meine
>>hingegen, daß Kubikwurzel aus -8 die Zahl ist die mit sich selbst
>>multipliziert -8 ergibt, also die -2.
>
>Wie Du siehst, ist das Definitionssache. Was ist denn die zweite Wurzel
>aus 4? 2, nach traditioneller Auffassung, obwohl auch (-2)^2=4.
Das hat mit "traditionell" ueberhaupt nichts zu tun sondern mit
Proelemen, die sich in jedem Mathematikbuch nachlesen lassen!
>Nach meiner Erfahrung ist es so, dass als Wurzeln nur die positiven
>Zahlen zugelassen werden.
Dito; der Begriff "Erfahrung" ist hier ziemlich fehl am Platze!
Lukas-Fabian Moser
wrote:
>Ich hätte vielleicht anmerken sollen, dass ich in der Klasse 12 und im
>Mathe-LK bin. Ich nerve meine Lehrer immer mit solchen Fragen. Deine Idee
Das alte Lied :-( Du hast schon recht, bei so etwas nachzufragen.
>D.h. also, obwohl es bei der Gleichung x^3==-8 die Lösung -2 gibt ist sie
>formal falsch, oder was? Ist das einfach so, oder gibt es da noch eine
>tiefgründigere Begründung?
Nein, das ist so nicht korrekt. Es ist natürlich (-2)^3 = -8, und
folglich ist -2 eine Lösung der Gleichung x^3 = -8. Diese Lösung darf
man jedoch *nicht* dadurch bestimmen, daß man links und rechts des
Gleichheitszeichens die dritte Wurzel zieht - ganz einfach deswegen,
weil die Wurzel aus negativen Zahlen aus Gründen, die mein Vorredner
[;-)] schön dargestellt hat, nicht definiert ist, weil sie zu
Widersprüchen führen würde.
Lukas
Michael Hoppe
> Ich meine hingegen, daß Kubikwurzel aus -8 die Zahl ist die mit sich
> selbst multipliziert -8 ergibt,
Du wolltest sagen: deren dritte Potenz -8 ist.
> Seine Erklärung ist äusserst unbefriedigend.
Und sachlich unrichtig.
> tatsächlich einen Grund?
Vgl. bitte mein anderes posting.
Michael
--
-= Michael Hoppe <www.michael-hoppe.de>, <m...@michael-hoppe.de> =------
-= Key fingerprint = 74 FD 0A E3 8B 2A 79 82 25 D0 AD 2B 75 6A AE 63
-= PGP public key (0xE0A5731D) available on request. =---------------
Michael Hoppe
> es gibt tatsächlich einen Grund dafür, dass die Kubikwurzel aus einer
> negativen Zahl nicht definiert ist.
Das ist ja wohl nicht Dein Ernst, oder? Ist n eine positive natürliche
Zahl und bezeichnet
f_n: R -> R
x -> x^n,
so ist f_n für gerades n umkehrbar auf der Menge der nicht-negativen
reellen Zahlen, für ungerades n sogar auf ganz R. Die jeweilige
Umkehrfunktion heißt die n-te Wurzelfunktion. Und somit etwa ist
Dritte Wurzel aus -8 = sqrt[3](-8) = -2.
Man kann die reellwertige n-te Wurzel bekannterweise auf die o.g. Art
als Umkehrfunktion der Potenzfunktionen definieren.
> Potenzen mit rationaler Hochzahl sind folgendermaßen definiert: a^(p/q) = q-te
> Wurzel von a^p
Aber nur, falls a eine nicht-negative reelle Zahl meint, sonst:
> würden also für erweiterte Brüche andere Ergebnisse für die Potenz
> herauskommen, was natürlich keinen Sinn macht.
Schon, aber die genannten Umkehrfunktionen existieren -- nur sofern man
sqrt[n](x) schreibt als x^(1/n),
ist eben nicht mehr für alle Argumente die Gültigkeit der Potenzgesetze
gewährleistet, aber das hat nichts mit der Umkehrbarkeit der
Potenzfunktionen zu schaffen. Merke: Verwendet man beliebige
Grundzahlen, so muß die Hochzahl eine ganze Zahl sein, ist die Hochzahl
beliebig, muß die Grundzahl nicht-negativ sein, damit die Potenzgesetze
angewendet werden dürfen.
> Ich denke, ihr werdet das im Unterricht an der entsprechenden Stelle noch
> ansprechen.
Und ich bin gespannt, wie Du die Lösung von x^3 + 8 = 0 bezeichnest.
:-))
Christian Peper
> On Tue, 17 Oct 2000 23:33:30 +0100, Angelo Laub <angel...@web.de>
> wrote:
>
>> Unser Lehrer meint, man dürfte aus rein formalen Gründen keine Kubikwurzel
>> aus z.B. -8 ziehen. Er meint Kubikwurzel wäre so definiert. Ich meine
>> hingegen, daß Kubikwurzel aus -8 die Zahl ist die mit sich selbst
>> multipliziert -8 ergibt, also die -2.
>
> Wie Du siehst, ist das Definitionssache. Was ist denn die zweite Wurzel
> aus 4? 2, nach traditioneller Auffassung, obwohl auch (-2)^2=4. Mit der
> einfachen Definition "n-te Wurzel aus m ist die Loesung von x^n=m"
> arbeit man also in der Regel nicht.
Bei der 2. Wurzel gibt es diese doppelte Loesung da, aber bei der
3. Wurzel sind die ergebnisse zumindest bei ganzzahligen Exponenten
eindeutig (das das auch nicht ganz richtig ist hat ja Thomas Sauer
schon dargelegt)
El TruBlu
--
Lebe heute, vergiß die Sorgen der Vergangenheit.
- Epikur - ein griechisches Carpe Diem
Thomas Sauer
>Thomas Sauer <Saue...@t-online.de> wrote:
>
>> es gibt tatsächlich einen Grund dafür, dass die Kubikwurzel aus einer
>> negativen Zahl nicht definiert ist.
>
>Das ist ja wohl nicht Dein Ernst, oder?
Na sonst hätte ichs nicht geschrieben. ;-)
Hallo Michael,
ich stimme dir in allen Punkten zu, allerdings sind an dieser Stelle
Schulmathematik (soweit ich es beurteilen kann, ist ja in jedem Bundesland
anders) und Universitätsmathematik nicht ganz konsistent. Während letztere
Wurzeln über die Umkehrfunktion der Potenzfunktion definiert, ist dies in der
Schule nicht üblich. Dort ist die n-te Wurzel von a die (eindeutig bestimmte)
positive Lösung von x^n=a, somit nur definiert für a>0.
Beide Definitionen haben für Schüler bestimmt ihre Tücken und man kann
diskutieren darüber, welche sinnvoller ist.
Einziger Punkt, wo ich dir nicht zustimme: Angelos Lehrer argumentiert nicht
sachlich falsch, er legt nur eine andere (und zwar die in der Schule
gebräuchliche) Definition zugrunde.
>Und ich bin gespannt, wie Du die Lösung von x^3 + 8 = 0 bezeichnest.
>:-))
Kein Problem: Die Lösung ist "minus dritte Wurzel acht". :-)
Michael Hoppe
> ist dies in der Schule nicht üblich. Dort ist die n-te Wurzel von a die
> (eindeutig bestimmte) positive Lösung von x^n=a, somit nur definiert für
> a>0.
In welcher Schule íst das nicht üblich? Auf einer solchen besäße x^3 +
8 keine Nullstelle ...
Thomas Sauer
>Thomas Sauer <Saue...@t-online.de> wrote:
>
>> ist dies in der Schule nicht üblich. Dort ist die n-te Wurzel von a die
>> (eindeutig bestimmte) positive Lösung von x^n=a, somit nur definiert für
>> a>0.
>
>In welcher Schule íst das nicht üblich? Auf einer solchen besäße x^3 +
>8 keine Nullstelle ...
Hallo Michael,
es ist in Baden-Württemberg so. Wie es in anderen Bundesländern ist, weiß ich
nicht. Aus dieser Definition folgt keineswegs, dass x^3+8 keine Nullstelle hat.
Die Lösung wird halt nicht als "dritte Wurzel minus 8" sondern als "minus dritte
Wurzel 8" geschrieben. Letztendlich halt eine etwas andere Bezeichnung für das
gleiche.
Michael Hoppe
> Die Lösung wird halt nicht als "dritte Wurzel minus 8" sondern als "minus
> dritte Wurzel 8" geschrieben.
Und wieso? Wie ist das begründet? In welchen Kontext wird denn das
klar? Etwa dadurch, daß einige Taschenrechner keine ungeraden Wurzeln
aus negativen Zahlen ziehen wollen? :-)) Wie kann dieser Umstand dem
Schüler nahegebracht werden?
Angelo Laub
>
> Etwa dadurch, daß einige Taschenrechner keine ungeraden Wurzeln
> aus negativen Zahlen ziehen wollen? :-)) Wie kann dieser Umstand dem
> Schüler nahegebracht werden?
Genau das Frage ich mich auch!
Thomas Sauer
>> Die Lösung wird halt nicht als "dritte Wurzel minus 8" sondern als "minus
>> dritte Wurzel 8" geschrieben.
>
>Und wieso? Wie ist das begründet? In welchen Kontext wird denn das
>klar? Etwa dadurch, daß einige Taschenrechner keine ungeraden Wurzeln
>aus negativen Zahlen ziehen wollen? :-)) Wie kann dieser Umstand dem
>Schüler nahegebracht werden?
Hallo Michael,
also bei uns in BW werden Potenzen mit ganzen, rationalen und reellen Hochzahlen
in Klasse 10 eingeführt. Bis dorthin kennen die Schüler Potenzen mit natürlichen
Hochzahlen. Leitgedanke bei der Erweiterung der Definition ist das
Permanenzprinzip: Die Definition soll also so erfolgen, dass die Rechengesetze
für natürliche Hochzahlen gültig bleiben. Daraus ergeben sich zwingend die
Definitionen für ganze und rationale Hochzahlen. Wurzeln aus negativen Zahlen
werden nicht zugelassen, da für diese das Permanenzprinzip nicht gelten würde. Es
würden Widersprüche wie (-8)^(1/3) =-2 und (-8)^(2/6)=((-8)^2)^(1/6)=2 auftreten.
Ausweg 1 ist, Wurzeln aus negativen Zahlen gar nicht erst zu definieren. Ausweg 2
ist, Wurzeln aus negativen Zahlen zuzulassen, aber nur für ungerades n (wegen
Eindeutigkeit) und mit der Feststellung, dass für diese die Potenzgesetze nicht
gelten.
Welcher Weg jetzt für Schüler einsichtiger ist – na ja, kann man sich drüber
streiten.
Ich denke aber du kannst dir sicher sein, dass die Lehrer sich in didaktischen
Dingen nicht von dem leíten lassen, was der Taschenrechner kann und was nicht.
MfG Thomas
Heike Koch-Beuttenmueller
> > negativen Zahl nicht definiert ist.
>
surd und root, was im englischsprachigen Raum auch üblich ist:
> gl1:=x^3=-8;
3
gl1 := x = -8
> solve(gl1);
-2, 1 + I sqrt(3), 1 - I sqrt(3)
solve liefert alle Nullstellen, auch die Komplexen
> ?surd (surd(x,n))
For a complex number x and integer n, surd(x, n) computes the nth root
of x whose (complex) argument is closest to that of x. Ties are broken
in such a way that the function x -> surd(x,n) is continuous in a
counter-clockwise manner onto its branch cuts (i.e., continuous in the
direction of increasing complex argument).
In particular, if n is odd then if x>=0 then surd(x,n) = x^(1/n) and if
x<0 then surd(x,n) = -(-x)^(1/n).
> surd(-8,3);
-2
> (-8)^(1/3);
(1/3)
(-8)
> eval(%);
(1/3)
(-8)
wird nicht mehr automatisch ausgewertet.
root: (root(x,n))
The function root computes an nth root of x where x can be a real or
complex floating point constant, e.g. 2.0, 2.0+0.5*I, or an integer or
complex rational constant e.g. 8, 2+I/2, or a general symbolic
expression, e.g. b, -8*a^4*y, ln(1+x). If x is a real or complex
floating point constant, the root is computed in floating point
arithmetic. Otherwise the root function tries to simplify x^(1/n). If no
simplifications can be made, the power x^(1/n) is simply returned.
Note that for the floating point case, the ``principal root'' is
computed. This is the root defined by the formula
root(x,n) = exp(1/n * ln(x))
For example, the three roots of y^3+8=0 are -2, 1+I*sqrt(3), and
1-I*sqrt(3). Thus root(-8.0,3) returns 1.000000000 + 1.732050808 I, not
the real number -2.0. See surd if you want the real nth root of a real
number.
> root(-8,3);
(1/3)
2 (-1)
> root(-8.0,3);
1.000000000 + 1.732050808 I
> surd(-8.0,3);
> -2
Hier erkennt man etwas , welche Schwierigkeiten es gibt, die "richtige"
Lösung vollautomatisch zu finden.
Heike
Michael Hoppe
> Maple hat die Probleme folgendermassen gelöst: Es unterscheidet zwischen
> surd und root, was im englischsprachigen Raum auch üblich ist:
Mein Taschenrechner, ein HP49 bzw. 48, ebenfalls und auf ähnliche Art
und Weise. Die dritte Wurzel aus -8 ist hier -2, (-8)^(1/3) hingegen
exp(ln(2) + i*pi/3).
> Hier erkennt man etwas , welche Schwierigkeiten es gibt, die "richtige"
> Lösung vollautomatisch zu finden.
:-))
Dirk Prümer
"Angelo Laub" <angel...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:B612924A.2552%angel...@web.de...
> Hi!
>
> Unser Lehrer meint, man dürfte aus rein formalen Gründen keine Kubikwurzel
> aus z.B. -8 ziehen. Er meint Kubikwurzel wäre so definiert. Ich meine
> hingegen, daß Kubikwurzel aus -8 die Zahl ist die mit sich selbst
> benutzen: -2 = - Kubikwurzel [8]
> und nicht -2 = Kubikwurzel [-8]
> Seine Erklärung ist äusserst unbefriedigend. Ist das Humbug oder hat das
> tatsächlich einen Grund?
>
>
Hallo Angelo
Ich habe mit Interesse deine Frage und vor allem die lustige Diskussion
darüber gelesen. Tatsächlich handelt es sich bei den Fragen, ob (1) x^3+8=0
ein Lösung hat, und (2) ob es eine dritte Wurzel aus -8 gibt um völlig
unterschiedliche Fragen.
zu (1):
x^3+8=0 ist, wie ja schon allgemein vermutet wurde ein Gleichung. Und diese
Gleichung fragt sozusagen nach einer Zahl, die für x eingesetzt eine wahre
Aussage ergibt, nicht mehr und nicht weniger. Wenn du nun für die Variable x
die Zahl -2 einsetzt, ist die Gleichung wahr. Also ist -2 eine Lösung der
Gleichung.
Wir kommen somit zur Lösung des Problems ohne überhaupt den Begriff der
Wurzel benutzt, geschweige denn, die Wurzel überhaubt exakt definiert zu
haben.
zu (2)
Bei der Wurzel handelt es sich um eine Funktion. Nun gibt es aber in der
Mathematik die Übereinkunft (Definition), dass eine Funktion einer Zahl aus
der Definitionsmenge genau eine Zahl aus der sog. Wertemenge zuordnet. Diese
Definition ist wie jede Definition (in genau festgelgtem) Willkür. Diese
Willkür macht aber Sinn (sogar im "normalen Leben"), denn wenn du
beispielsweise Tanken geht,erwartest du, dass deiner Benzinmenge genau ein
Preis zugeordnet wird, und nicht, dass der Tankwart sagt:"Nun zahlen Sie mal
für die zwölf Liter 25,80 oder 54,30." (Hierfür gibt es den Begriff der
Relation, aber das würde jetzt zuweit führen.)
Irgendwann haben sich dann die Mathematiker gefragt, welche Zahl mit sich
selber multipliziert (zum Quadrat) ergibt eigentlich 9? Klar sagt der erste,
die 3. Das stimmt sagt der zweite(ganz im Sinne von (1)), aber die -3 auch.
Beide hatten recht, und es hätte auch keine weiteren Fragen gegeben, wenn
die Mathematiker nicht eine Funktion hätten definieren wollen. Sie mussten
sich also auf eine Lösung festlegen. Und da sagten sie: Die Wurzel von 9 ist
+3! Wir hätten im Sinne der Eindeutigkeit zwar auch -3 festlegen können,
aber wir mussten uns entscheiden, und wir wählen die +3 (Bedenke: Die
Gleichung x^2=9 hat die Lösungen 3 und -3, das heißt aber nicht, das die
Wurzel aus 9 sowohl 3 als auch -3 ist).
Somit lautet die Definition der Wurzelfunktion folgendermaßen: Wurzel(x)=y
gilt, wenn (a): y^2=x und wenn (b) y>=0.
Und jetzt zu deiner eigentlichen Frage: Warum kann mann keine 3te Wurzel
aus -8 ziehen (Ich setzte die Potenzgesetzte als bekannt und vor allem
verstanden voraus, falls nicht ganz verstanden bzw. überzeugt, bitte
nachfragen.)
Angenommen die 3te Wurzel aus -8 wäre -2. Dann würde gelten:
-2 = 3teWurzel(-8) = 6teWurzel((-8)^2) = 6teWurzel(64) = 2
Also -2 = 2? Nanu?: Dieses ist ein unhaltbarer Zustand. Nun gibt es zwei
Möglichkeiten um die Mathematik zu retten. Entweder man sagt, der Radikant
einer jeden Wurzel muss positiv sein (wie bei geraden Wurzelexponenten
auch), oder die Potenzgesetze sind nur für positive Zahlen gütig.
Man hat sich für die erste Lösung entschieden.
Die nächste naheliegend Frage ist natürlich, warum sind den die
Potenzgesetze so, wie sie sind? Auch dafür gibt es befriedigende Antworten.
Falls du dazu noch ein paar Antworten haben willst, dann stelle doch noch
einmal eine Frage.
MfG
Dirk