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(a*x+b)/(c*x+d) = y mit ganzen Zahlen
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Timo
Aug 17, 2012, 8:26:54 AM8/17/12
to
(Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
schule.mathe gesetzt.)
Hallo, ich hab folgende Frage:
Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
(a*x+b)/(c*x+d) = y
Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
( Ich hatte neulich als Spezialfall eine Aufgabe, in der ich
zeigen konnte, dass in dem Zahlenbereich, in dem laut Aufgabe
x liegen sollte, für alle x der Term (a*x + b) betragsmässig
kleiner ist als der Term (c*x+d), und dass deshalb der Bruch
betragsmässig kleiner als 1 ist und also zwischen 0 und 1
liegt und keine ganze Zahl sein kann.
Aber es muss ja nicht bei jeder Aufgabe so sein, dass das
auf dem ganzen für x infragekommenden Zahlenbereich immer
so ist und dann müsste man Fallunterscheidung machen und
ich weiss nicht, wie man die Fälle von x abhandelt, bei
denen der Zähler grösser als der Nenner ist.
Vielleicht gibts da ein Verfahren, mit dem man herausfinden
kann, ob (c*x+d) für alle solchen x immer wenigstens einen
Teiler hat, den (a*x+b) nicht hat, und der bewirkt, dass
man den Bruch nicht zu einer ganzen Zahl y kürzen kann ... ? )
Ich bedank mich schonmal fürs Lesen und im voraus für
Antworten.
Feundliche Grüße
Timo
schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
schule.mathe gesetzt.)
Hallo, ich hab folgende Frage:
Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
(a*x+b)/(c*x+d) = y
Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
( Ich hatte neulich als Spezialfall eine Aufgabe, in der ich
zeigen konnte, dass in dem Zahlenbereich, in dem laut Aufgabe
x liegen sollte, für alle x der Term (a*x + b) betragsmässig
kleiner ist als der Term (c*x+d), und dass deshalb der Bruch
betragsmässig kleiner als 1 ist und also zwischen 0 und 1
liegt und keine ganze Zahl sein kann.
Aber es muss ja nicht bei jeder Aufgabe so sein, dass das
auf dem ganzen für x infragekommenden Zahlenbereich immer
so ist und dann müsste man Fallunterscheidung machen und
ich weiss nicht, wie man die Fälle von x abhandelt, bei
denen der Zähler grösser als der Nenner ist.
Vielleicht gibts da ein Verfahren, mit dem man herausfinden
kann, ob (c*x+d) für alle solchen x immer wenigstens einen
Teiler hat, den (a*x+b) nicht hat, und der bewirkt, dass
man den Bruch nicht zu einer ganzen Zahl y kürzen kann ... ? )
Ich bedank mich schonmal fürs Lesen und im voraus für
Antworten.
Feundliche Grüße
Timo
Helmut Richter
Aug 17, 2012, 9:05:27 AM8/17/12
to
On Fri, 17 Aug 2012, Timo wrote:
> Hallo, ich hab folgende Frage:
>
> Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
> rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
> kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
> Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
>
> (a*x+b)/(c*x+d) = y
>
> Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
> herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
> Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
(ax + b) / (cx + d) = y
> Hallo, ich hab folgende Frage:
>
> Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
> rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
> kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
> Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
>
> (a*x+b)/(c*x+d) = y
>
> Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
> herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
> Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
(acx + bc) / (cx + d) = cy
Jetzt "schriftlich dividieren" wie in der Schule:
(acx + bc) / (cx + d) = a + (bc - ad) / (cx + d)
-acx - ad
---------
bc - ad
Also: a + (bc - ad) / (cx + d) = cy
Es sind a und cy ganzzahlig, also auch (bc - ad) / (cx + d).
Das kann aber nur sein, wenn (cx+d) ein Teiler von (bc-ad) ist, und dafür
gibts nur endlich viele Kandidaten.
Beispiel: a=2, b=3, c=6, d=4
bc - ad = 10 mit den Teilern -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10
Also für jedes z von diesen Zahlen die Gleichung
cx + d = 6x + 4 = z lösen. Da gibts nur zwei ganzzahlige:
z=-2 liefert x=-1 und z=10 liefert x=1.
Das geht ganz schnell, wenn man die z in eine Spalte eines
Tabellenkalkulationsprogramms wie Excel eingibt und alle x nach derselben
Formel ausrechnet; man sieht dann gleich, welche ganz sind.
Ganz am Anfang haben wir mit c erweitert. Das macht man im konkreten
Einzelfall natürlich nicht, sondern man erweitert mit c/ggT(a,c), wobei ggT
der größte gemeinsame Teiler ist. Es kommt nur darauf an, dass der erste
Quotient ganz ist.
--
Helmut Richter
Helmut Richter
Aug 17, 2012, 9:16:33 AM8/17/12
to
On Fri, 17 Aug 2012, Helmut Richter wrote:
> Also: a + (bc - ad) / (cx + d) = cy
>
> Es sind a und cy ganzzahlig, also auch (bc - ad) / (cx + d).
> Das kann aber nur sein, wenn (cx+d) ein Teiler von (bc-ad) ist, und dafür
> gibts nur endlich viele Kandidaten.
>
> Beispiel: a=2, b=3, c=6, d=4
>
> bc - ad = 10 mit den Teilern -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10
>
> Also für jedes z von diesen Zahlen die Gleichung
> cx + d = 6x + 4 = z lösen. Da gibts nur zwei ganzzahlige:
> z=-2 liefert x=-1 und z=10 liefert x=1.
Das war noch nicht fertig. Die x sind dann ganz und die cy, aber nicht
> Also: a + (bc - ad) / (cx + d) = cy
>
> Es sind a und cy ganzzahlig, also auch (bc - ad) / (cx + d).
> Das kann aber nur sein, wenn (cx+d) ein Teiler von (bc-ad) ist, und dafür
> gibts nur endlich viele Kandidaten.
>
> Beispiel: a=2, b=3, c=6, d=4
>
> bc - ad = 10 mit den Teilern -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10
>
> Also für jedes z von diesen Zahlen die Gleichung
> cx + d = 6x + 4 = z lösen. Da gibts nur zwei ganzzahlige:
> z=-2 liefert x=-1 und z=10 liefert x=1.
notwendig auch die y selber. Dann bleibt hier leider keine Lösung übrig.
Aber man *hätte* sie so gefunden.
--
Helmut Richter
Helmut Richter
Aug 17, 2012, 9:40:19 AM8/17/12
to
[ Etwas wilde Einstellungen gesetzt:
Newsgroups: schule.mathe, de.sci.mathematik
Followup-To: poster ]
On Fri, 17 Aug 2012, Timo wrote:
> (Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
> schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
> schule.mathe gesetzt.)
Och, das macht nichts. Die meisten Beiträge in de.sci.mathematik beschäftigen
sich eh nicht mit Mathematik, sondern mit der Diskussion darüber, ob die
Mathematik der letzten 130 Jahre falsch ist, was aber erst jetzt jemand
gemerkt und hier kundgetan hat. Die vorgebrachten Argumente werden aber von
niemand anders verstanden, teils weil sie offensichtliche Fehler enthalten,
teils weil nicht klar ist, was überhaupt gezeigt werden soll. Mal spricht man
geduldig aber ergebnislos miteinander, mal beleidigt man sich; zur Zeit ist
die zweite Variante dran. Insofern ist deine Frage in schule.mathe besser
aufgehoben: dort gehts zwar selten um irgendwas, wenn aber doch, dann um
Mathematik.
> Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
> rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
> kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
> Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
>
> (a*x+b)/(c*x+d) = y
>
> Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
> herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
> Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
Die konkrete Lösung habe ich schon in schule.mathe gepostet.
Wie aber kommt man schnell drauf?
Wenn man den hässlichen Bruchstrich durch Ausmultiplizieren beseitigt,
bekommt man eine quadratische Gleichung in x und y, quadratisch deswegen,
weil xy auch vorkommt. Wenn in einer solchen Gleichung kein Glied x²
(oder kein Glied y²) vorkommt, kann man alle Glieder, die x (oder sonst
eben y) enthalten, auf eine Seite schaffen und die Polynome dividieren.
Hier ist die Vorarbeit schon geleistet und man kann gleich dividieren.
--
Helmut Richter
Newsgroups: schule.mathe, de.sci.mathematik
Followup-To: poster ]
On Fri, 17 Aug 2012, Timo wrote:
> (Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
> schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
> schule.mathe gesetzt.)
sich eh nicht mit Mathematik, sondern mit der Diskussion darüber, ob die
Mathematik der letzten 130 Jahre falsch ist, was aber erst jetzt jemand
gemerkt und hier kundgetan hat. Die vorgebrachten Argumente werden aber von
niemand anders verstanden, teils weil sie offensichtliche Fehler enthalten,
teils weil nicht klar ist, was überhaupt gezeigt werden soll. Mal spricht man
geduldig aber ergebnislos miteinander, mal beleidigt man sich; zur Zeit ist
die zweite Variante dran. Insofern ist deine Frage in schule.mathe besser
aufgehoben: dort gehts zwar selten um irgendwas, wenn aber doch, dann um
Mathematik.
> Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
> rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
> kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
> Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
>
> (a*x+b)/(c*x+d) = y
>
> Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
> herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
> Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
Wie aber kommt man schnell drauf?
Wenn man den hässlichen Bruchstrich durch Ausmultiplizieren beseitigt,
bekommt man eine quadratische Gleichung in x und y, quadratisch deswegen,
weil xy auch vorkommt. Wenn in einer solchen Gleichung kein Glied x²
(oder kein Glied y²) vorkommt, kann man alle Glieder, die x (oder sonst
eben y) enthalten, auf eine Seite schaffen und die Polynome dividieren.
Hier ist die Vorarbeit schon geleistet und man kann gleich dividieren.
--
Helmut Richter
Timo
Aug 19, 2012, 5:22:43 AM8/19/12
to
[follow up an schule.mathe]
Helmut Richter schrieb:
> On Fri, 17 Aug 2012, Timo wrote:
>
> > (Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
> > schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
> > schule.mathe gesetzt.)
>
> Och, das macht nichts. Die meisten Beiträge in de.sci.mathematik beschäftigen
> sich eh nicht mit Mathematik, sondern mit der Diskussion darüber, ob die
> Mathematik der letzten 130 Jahre falsch ist, was aber erst jetzt jemand
> gemerkt und hier kundgetan hat. Die vorgebrachten Argumente werden aber von
> niemand anders verstanden, teils weil sie offensichtliche Fehler enthalten,
> teils weil nicht klar ist, was überhaupt gezeigt werden soll. Mal spricht man
> geduldig aber ergebnislos miteinander, mal beleidigt man sich; zur Zeit ist
> die zweite Variante dran. Insofern ist deine Frage in schule.mathe besser
> aufgehoben: dort gehts zwar selten um irgendwas, wenn aber doch, dann um
> Mathematik.
Klingt, als ob Du unzufrieden bist mit der Newsgroup. Ich
denke, es ist besser, wenn ich da nichts dazu sage. Ich hab
jetzt mal versucht de.sci.mathematik mitzulesen. Ich hab aber
keinen Plan und versteh von den Sachen, um die es da geht
überhaupt nichts. Ich sag da also besser nichts dazu, weil ich
Angst habe, in einem Flame zu landen mit Leuten die viel mehr
Ahnung haben als ich und das endet dann nur peinlich für mich,
also halt ich mich lieber gleich raus. So einen Thread à la
14-jähriger-macht-Flamewar-mit-altem-Professor will ich nicht.
Aber ich hab noch eine andere Baustelle wegen der ich gerne hier
fragen würde, und zwar war ich letztes Schuljahr dauernd im
Krankenhaus weil mich im Februar ein Auto angefahren hat wie ich
mit dem Fahrrad unterwegs war. Erstens bin ich deshalb
sitzengeblieben und muss die achte Klasse nochmal machen und
zweitens bin ich Querschnittsgelähmt und das bleibt so. So wie
es aussieht, kann ich mal nichts machen, wozu man einen Körper
braucht und egal wie es mir gefällt, muss ich mal ein
Kopfarbeiter werden den entweder dümmere Leute dafür zahlen,
dass er für sie denkt, oder den Leute dafür zahlen, dass er
ihnen was beibringt was er ihnen voraus hat. Schlussfolgerung:
Ich muss jemand werden, der anderen einiges voraus hat. Und ich
muss jetzt anfangen und das hart durchziehen und ab sofort
überall dafür sorgen, dass die Leute, die mich beurteilen,
denken, dass ich geistig fitter bin als die anderen und jetzt
schon viel mehr weiss als die. Ich kanns also nicht dabei
belassen, dass ich halt die Schulsachen in dem Tempo lese, in
dem das die Lehrer mit der Klasse tun. Meine Frage ist jetzt:
Was soll ich in welcher Reihenfolge lesen, damit ich möglichst
schnell ein guter Mathematiker werde und dabei dann nicht bloss
Sachen weiss, die keiner braucht und die niemand interessant
findet?
Freundliche Grüße
Timo
Helmut Richter schrieb:
> On Fri, 17 Aug 2012, Timo wrote:
>
> > (Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
> > schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
> > schule.mathe gesetzt.)
>
> Och, das macht nichts. Die meisten Beiträge in de.sci.mathematik beschäftigen
> sich eh nicht mit Mathematik, sondern mit der Diskussion darüber, ob die
> Mathematik der letzten 130 Jahre falsch ist, was aber erst jetzt jemand
> gemerkt und hier kundgetan hat. Die vorgebrachten Argumente werden aber von
> niemand anders verstanden, teils weil sie offensichtliche Fehler enthalten,
> teils weil nicht klar ist, was überhaupt gezeigt werden soll. Mal spricht man
> geduldig aber ergebnislos miteinander, mal beleidigt man sich; zur Zeit ist
> die zweite Variante dran. Insofern ist deine Frage in schule.mathe besser
> aufgehoben: dort gehts zwar selten um irgendwas, wenn aber doch, dann um
> Mathematik.
denke, es ist besser, wenn ich da nichts dazu sage. Ich hab
jetzt mal versucht de.sci.mathematik mitzulesen. Ich hab aber
keinen Plan und versteh von den Sachen, um die es da geht
überhaupt nichts. Ich sag da also besser nichts dazu, weil ich
Angst habe, in einem Flame zu landen mit Leuten die viel mehr
Ahnung haben als ich und das endet dann nur peinlich für mich,
also halt ich mich lieber gleich raus. So einen Thread à la
14-jähriger-macht-Flamewar-mit-altem-Professor will ich nicht.
Aber ich hab noch eine andere Baustelle wegen der ich gerne hier
fragen würde, und zwar war ich letztes Schuljahr dauernd im
Krankenhaus weil mich im Februar ein Auto angefahren hat wie ich
mit dem Fahrrad unterwegs war. Erstens bin ich deshalb
sitzengeblieben und muss die achte Klasse nochmal machen und
zweitens bin ich Querschnittsgelähmt und das bleibt so. So wie
es aussieht, kann ich mal nichts machen, wozu man einen Körper
braucht und egal wie es mir gefällt, muss ich mal ein
Kopfarbeiter werden den entweder dümmere Leute dafür zahlen,
dass er für sie denkt, oder den Leute dafür zahlen, dass er
ihnen was beibringt was er ihnen voraus hat. Schlussfolgerung:
Ich muss jemand werden, der anderen einiges voraus hat. Und ich
muss jetzt anfangen und das hart durchziehen und ab sofort
überall dafür sorgen, dass die Leute, die mich beurteilen,
denken, dass ich geistig fitter bin als die anderen und jetzt
schon viel mehr weiss als die. Ich kanns also nicht dabei
belassen, dass ich halt die Schulsachen in dem Tempo lese, in
dem das die Lehrer mit der Klasse tun. Meine Frage ist jetzt:
Was soll ich in welcher Reihenfolge lesen, damit ich möglichst
schnell ein guter Mathematiker werde und dabei dann nicht bloss
Sachen weiss, die keiner braucht und die niemand interessant
findet?
Freundliche Grüße
Timo
Timo
Aug 19, 2012, 5:22:56 AM8/19/12
to
(Das Posting geht auch an de.sci.mathematik, weil in
schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
schule.mathe gesetzt.)
Helmut Richter schrieb:
schule.mathe nix los ist, hab aber ein follow-up an
schule.mathe gesetzt.)
Vielen Dank für Deine Lösung und das ausführliche
Hinschreiben und die Zeit, die da drinsteckt.
> On Fri, 17 Aug 2012, Timo wrote:
> > (a*x+b)/(c*x+d) = y
> >
> > Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
> > herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
> > Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
>
> (ax + b) / (cx + d) = y
>
> (acx + bc) / (cx + d) = cy
>
> Jetzt "schriftlich dividieren" wie in der Schule:
>
> (acx + bc) / (cx + d) = a + (bc - ad) / (cx + d)
> -acx - ad
> ---------
> bc - ad
>
> Also: a + (bc - ad) / (cx + d) = cy
>
> Es sind a und cy ganzzahlig, also auch (bc - ad) / (cx + d).
> Das kann aber nur sein, wenn (cx+d) ein Teiler von (bc-ad) ist, und dafür
> gibts nur endlich viele Kandidaten.
Man muss also die Teiler von (bc-ad) kennen und muss
also dazu (bc-ad) faktorisieren in ganzen Zahlen. Jetzt
hab ich mir sagen lassen, dass Faktorisieren nicht immer
einfach ist.
Deine Methode bringt einem gleich alle Lösungen.
Das wird zwar in der Schule nicht drankommen, aber
mich interessiert, ob es Möglichkeiten gibt, die immer
einfach sind, dem Ding anzusehen, ob es lösbar ist,
ohne die Lösungen dabei gleich auszurechnen/in
Erfahrung zu bringen, damit man erstmal entscheiden
kann, ob es sich überhaupt lohnt, mit dem Faktorisieren
anzufangen.
> Beispiel: a=2, b=3, c=6, d=4
>
> bc - ad = 10 mit den Teilern -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10
>
> Also für jedes z von diesen Zahlen die Gleichung
> cx + d = 6x + 4 = z lösen. Da gibts nur zwei ganzzahlige:
> z=-2 liefert x=-1 und z=10 liefert x=1.
der Vollständigheit wegen noch:
> Das war noch nicht fertig. Die x sind dann ganz und die cy, aber nicht
> notwendig auch die y selber. Dann bleibt hier leider keine Lösung übrig.
> Aber man *hätte* sie so gefunden.
Timo
Roland Franzius
Aug 19, 2012, 5:56:47 AM8/19/12
to
Einstieg findest du zB hier
http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group
Der Bruch (a x + b)/(c x + d) kann durch Erweitern so getrimmt werden,
dass ad-bc=1. Die Abbildung y=f(a,b,c,d)(x) kann dann als
Matrixmultiplikation geschrieben werden:
(y,1) = ((a,b),(c,d)) (x,1)
und der Vektor wird dann als Bruch in einen Tangens verwandelt.
und die Verkettung der Abbildungen
y=f(a,b,c,d)(f(a',b',c',d')(x))
bildet eine Gruppe, die in der Matrixdarstellung in die
Matrixmultiplikation abbgebildet wird. Im Komplexen entsprechen die
gebrochen linearen Transformationen starren Drehungen der Riemannschen
Zahlenkugel.
--
Roland Franzius
Helmut Richter
Aug 26, 2012, 6:15:12 PM8/26/12
to
On Sun, 19 Aug 2012, Timo wrote:
> Ich muss jemand werden, der anderen einiges voraus hat. Und ich
> muss jetzt anfangen und das hart durchziehen und ab sofort
> überall dafür sorgen, dass die Leute, die mich beurteilen,
> denken, dass ich geistig fitter bin als die anderen und jetzt
> schon viel mehr weiss als die. Ich kanns also nicht dabei
> belassen, dass ich halt die Schulsachen in dem Tempo lese, in
> dem das die Lehrer mit der Klasse tun. Meine Frage ist jetzt:
> Was soll ich in welcher Reihenfolge lesen, damit ich möglichst
> schnell ein guter Mathematiker werde und dabei dann nicht bloss
> Sachen weiss, die keiner braucht und die niemand interessant
> findet?
Ich weiß nicht, ob es eine vernünftige Antwort auf deine durchaus
> Ich muss jemand werden, der anderen einiges voraus hat. Und ich
> muss jetzt anfangen und das hart durchziehen und ab sofort
> überall dafür sorgen, dass die Leute, die mich beurteilen,
> denken, dass ich geistig fitter bin als die anderen und jetzt
> schon viel mehr weiss als die. Ich kanns also nicht dabei
> belassen, dass ich halt die Schulsachen in dem Tempo lese, in
> dem das die Lehrer mit der Klasse tun. Meine Frage ist jetzt:
> Was soll ich in welcher Reihenfolge lesen, damit ich möglichst
> schnell ein guter Mathematiker werde und dabei dann nicht bloss
> Sachen weiss, die keiner braucht und die niemand interessant
> findet?
vernünftige Frage gibt. Es gibt zwar Schul-Lehrpläne für Mathematik, aber
keine Lebens-Lehrpläne für Mathematiker. Ich würde als Tipp geben -- aber
alle Tipps sind für viele gut, aber deswegen nicht für alle --, genau den
Schulstoff *nicht* vorab zu lernen, sonst langweilt er dich bloß, und
Langeweile ist genau das Gegenteil von Mathematik. Such dir lieber Themen,
die *dich* interessieren, aber nicht in der Schule drankommen und
vielleicht nicht mal im Mathe-Studium. Ein guter Mathematiker ist einer,
der eine Frage sauber formulieren kann (wenigstens so präzise, dass er
feststellen kann, ob eine Aussage eine Antwort auf die Frage ist), und der
selber über Lösungen nachdenken kann und will und der weiß, was ein Beweis
ist und wenn er oft genug Beweise gesehen hat, selber welche machen kann.
Ein guter Mathematiker ist also nicht einer, das Fakten über Mathematik
oder Formeln oder Sätze kennt. Faktenkenntnis gehört auch dazu, wenn man
vermeiden will, in mühsamer Kleinarbeit etwas herauszufinden, was seit 200
Jahren allgemein wohlbekannt ist. Aber wichtig ist vor allem, das Problem
verstanden zu haben und klar formulieren zu können, sonst kann man mit den
Lösungen anderer Leute auch nichts anfangen: vielleicht anwenden, aber
anwenden ohne zu verstehen ist mathematisch für die Katz.
Ich zitiere mal deine Frage:
| Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
| rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
| kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
| Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
|
| (a*x+b)/(c*x+d) = y
|
| Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
| herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
| Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
Ausdrücke "gegebene Zahlen", "mindestens ein Paar", "existiert" machen das
Lesen einfach. Du wirst das für selbstverständlich halten, aber du ahnst gar
nicht, wieviele Leute auch mit Abitur etwa sowas geschrieben hätten wie:
Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber rechnen oder
a,b,c,d die Formel (a*x+b)/(c*x+d) = y erfüllt ist.
ohne zu verraten, was gegeben oder gesucht ist, ob die Erfüllung der Formel
möglich oder unter ungenannten, vom Leser zu ratenden Bedingungen zwingend
sein soll, wie die x und y vom Himmel fallen usw. Für einen Schüler der
8. Klasse war das ungewöhnlich präzise und verrät den guten Mathematiker,
nämlich den, der das Problem kennt, das er lösen will.
Tja, was lesen?
Eine Möglichkeit sind mathematische Probleme, die noch wenig Aufmerksamkeit
gefunden haben. Da werden dir sicher keine Lösungen einfallen, auf die andere
Leute nicht auch schon gekommen sind (sooo wenig Aufmerksamkeit haben sie dann
doch nicht bekommen), aber man kann ohne viele Voraussetzungen schon mal
losdenken und dann schauen, was andere Leute herausgefunden haben. Wichtig ist
dabei, dass keine tiefliegende Mathematik im Problem oder in den bis jetzt
gefundenen Lösungen steckt (der Große Fermatsche Satz ist also kein
Kandidat). Zwei Beispiele:
- Additionsketten (http://de.wikipedia.org/wiki/Additionskette). Versuche
selbst ein Verfahren zur Berechnung kürzester Additionsketten zu finden,
versuche für einige Fälle (nicht für alle, das geht schief, weil es bisher
noch keiner geschafft hat) eine Formel für die Länge der kürzesten
Addtionskette zu finden usw. Dann lies im Internet, was andere dazu schon
gefunden haben. Die englische Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Addition_chain ist dazu ein guter Startpunkt.
- Steinerbäume (http://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem; der
deutsche Artikel dazu ist Mist). Es geht darum, in der Ebene eine endliche
Anzahl von Punkten mit geraden Strichen so zu verbinden, dass die
Gesamtlänge minimal wird. Auch da gibts kein geradliniges Verfahren für
eine Lösung, aber beim Versuch, so ein Problem zu lösen und vielleicht für
einfache Beispiele den Beweis zu führen, dass die Lösung optimal ist, lernt
man viel. Ich nehme an, dass es bei diesem Problem besser ist, sich bald
mit den Lösungsversuchen anderer Leute vertraut zu machen und es nicht zu
lange auf eigene Faust zu versuchen.
Eine andere Möglichkeit ist die Lektüre von Büchern, die sich mit Mathematik
beschäftigen. Da habe ich keinen Überblick. Zwei die ich habe und gut finde,
sind:
H. Rademacher / O. Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, ursprünglich
Verlag Julius Springer 1930, aber immer wieder mal nachgedruckt. Ein
Klassiker, der ähnlich abwegige Probleme wie die ebengenannten zwei zum Anlass
nimmt, Mathematik zu treiben.
Róbert Freud (Hrsg.): Große Augenblicke aus der Geschichte der Mathematik
(ISBN 3-411-14471.8). Mehr an Mainstream-Themen der Mathematik interessiert,
aber auch eher Mathematikbuch als Geschichtsbuch.
Vielleicht hilft das irgendwie weiter.
--
Helmut Richter
IV
Oct 31, 2012, 6:22:59 AM10/31/12
to
"Timo" <Ti...@nospam.invalid> schrieb im Newsbeitrag
news:502e395b$0$6563$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
Diophantische Gleichungssysteme. Manche Verfahren arbeiten mit Syzygien
(Einzahl: Syzygie).
Auch in der Optimierungstheorie, z. B. in der
Transportplanung/Transportoptimierung sind entsprechende Probleme und ihre
Lösungsverfahren verbreitet. Manche Typen von Aufgaben lassen sich auch
graphisch durch Aufzeichnen der mathematischen Funktionen in ein
Koordinatensystem lösen.
news:502e395b$0$6563$9b4e...@newsspool4.arcor-online.net...
> Gibt es ein einfaches Verfahren, mit dem man durch selber
> rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
> kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
> Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
>
> (a*x+b)/(c*x+d) = y
>
> Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
> herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
> Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
Es gibt allgemeine Lösungsverfahren für Diophantische Gleichungen und für
> rechnen oder selber programmieren in Erfahrung bringen
> kann, ob bei vier gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d mindestens ein
> Paar natürlicher/ganzer Zahlen x und y existiert, mit dem gilt:
>
> (a*x+b)/(c*x+d) = y
>
> Ich will also wissen, wie man bei gegebenen ganzen Zahlen a,b,c,d
> herausfindet, ob es überhaupt möglich ist, dass man zu dieser
> Gleichung diophantische Lösungen x,y findet.
Diophantische Gleichungssysteme. Manche Verfahren arbeiten mit Syzygien
(Einzahl: Syzygie).
Auch in der Optimierungstheorie, z. B. in der
Transportplanung/Transportoptimierung sind entsprechende Probleme und ihre
Lösungsverfahren verbreitet. Manche Typen von Aufgaben lassen sich auch
graphisch durch Aufzeichnen der mathematischen Funktionen in ein
Koordinatensystem lösen.
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