Stammfunktionsbestimmung
Dietmar Schneider
zu f(x)=x²/(1+x²) soll eine Stammfunktion gefunden werden. Wer kann helfen?
Danke im Voraus.
Roland Ertelt
> Hallo liebe Leser,
> zu f(x)=x²/(1+x²) soll eine Stammfunktion gefunden werden. Wer kann helfen?
>
> Danke im Voraus.
>
>
Ist ein Fall für die Integraltabelle...
müsste sein: F(x)= x-arctan(x)+C
Roland
Arno Kizina
da das Ablesen der Lösung aus einer Formelsammlung sicherlich nicht Deiner
Intention entsprach der weg zu Fuß,
die Formelsammlungslösung gibt zunächst die Idee für die Substitution
(bessser natürlich 1+(tan(t))^2 ist die Ableitung
von tan(t)) : x=tan(t).
Dies liefert Dir Int(tan(t)^2dt. Nun benutzt Du tan(t)= sin(t)/cos(t) und
schreibst das Integral als
Int(sin(t)*(sin(t)/(cos(t))^2)dt und nutzt noch partielle Integration mit
u=sin(t) und v'=(sin(t)/(cos(t))^2.
Dann erhälst Du nach Rücksubstitution auch die in der Formelsammlung
angegebene Lösung.
Mfg Arno
"Roland Ertelt" <rer...@yahoo.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6u8j0kF...@mid.individual.net...
Roland Ertelt
> Hallo Dietmar,
> da das Ablesen der Lösung aus einer Formelsammlung sicherlich nicht
> Deiner Intention entsprach der weg zu Fuß,
> die Formelsammlungslösung gibt zunächst die Idee für die Substitution
> (bessser natürlich 1+(tan(t))^2 ist die Ableitung
> von tan(t)) : x=tan(t).
> Dies liefert Dir Int(tan(t)^2dt. Nun benutzt Du tan(t)= sin(t)/cos(t)
> und schreibst das Integral als
> Int(sin(t)*(sin(t)/(cos(t))^2)dt und nutzt noch partielle Integration
> mit u=sin(t) und v'=(sin(t)/(cos(t))^2.
> Dann erhälst Du nach Rücksubstitution auch die in der Formelsammlung
> angegebene Lösung.
> Mfg Arno
>...
Ist eine sehr interessante Lösung. Aber wenn ich mir aus einer
Formelsammlung erst "Ideen" holen muss, kann ich auch gleich die Lösung
nachschlagen. Geht schneller und sicherer ;-)
Das Spiel mit den Substitutionen kann eh' nur jemand spielen, der mit
Mathe "verheiratet" ist, und tgl. damit arbeitet. Ich habs aus Spass
halt mal versucht. Der Blick in die Formelsammlung kam auch nur, weil
eine Partialbruchzerlegung mit den gegebenen Mitteln meines Studiums
nicht zum Erfolg führte... Der Ansatz x^2/(x^2+1)=(Ax+B)/(x^2+1) =>
x^2(x^2+1)=Ax+B ergab nach einem Koeffizientenvergleich für A und B 0,
also keine Lösung...
Roland
P.S. Bitte korrigiere den Zeilenumbruch in deinem "Newsreader".
Arno Kizina
natürlich hätte ich den Blick in die Formelsammlung nicht nötig gehabt, ich
lebe davon, dass ich so etwas auch so hinkriege. Außerdem muss mancher diese
Lösung, auch als Hausaufgabe, auf diese Art erzeugen. Mein Zeilenumbruch
war, zumindest an einigen Stellen, durchaus so gewollt, es sollte die
Lesbarkeit verbessern, aber wenn ich nun sehe, was da zurückkam...
Mfg Arno
P.S. Für die Partialbruchzerlegung nimmst Du hier die beiden Komplexen
Nullstellen x=i und x=-i, aber auch erst bei der partiellen Imtegration mit
u=x und v'=x/(1+x^2).
"Roland Ertelt" <rer...@yahoo.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6uaj36F...@mid.individual.net...
Roland Ertelt
> Hallo Roland,
> natürlich hätte ich den Blick in die Formelsammlung nicht nötig gehabt,
> ich lebe davon, dass ich so etwas auch so hinkriege. Außerdem muss
> mancher diese Lösung, auch als Hausaufgabe, auf diese Art erzeugen. Mein
> Zeilenumbruch war, zumindest an einigen Stellen, durchaus so gewollt, es
> sollte die Lesbarkeit verbessern, aber wenn ich nun sehe, was da
> zurückkam...
Das was zurückkam, war das was mein Donnervogel auf die 72 Zeichen
zurechgestutzt hatte, da er keinen Umbruch gesehen hat (war auch keiner
da, wenn ich das Fenster breiter gezogen habe, sind die Zeilen immer
länger geworden). Die Absätze lässt er dabei weitgehend stehen. [/OT]
> Mfg Arno
> P.S. Für die Partialbruchzerlegung nimmst Du hier die beiden Komplexen
> Nullstellen x=i und x=-i, aber auch erst bei der partiellen Imtegration
> mit u=x und v'=x/(1+x^2).
>
x^2/(1+x^2) ist ja ein echt Rationaler Ausdruck.
Wir haben beim letzten reellen Polynom da immer Schluss gemacht, und
dann wieder in einer "Schlauen-Tabelle" vom Prof. geguggt. Wenn ich das
Nennerpolynom komplex auflöse komme ich auf:
x^2/(x+j)(x-j) = A/(x+j)+B/(x-j). =>
x^2 = A(x-j)+B(x+j)
Beim Koeffizientenvergleich kommen da aber wieder 0 für A und B raus??
Also stehe ich als Gelegenheitsmathematikanwender ;-) wieder vor dem
Problem, dass ich mir Substitutionen ausdenken/raussuchen muss...
Moment... partielle Integration... ist nicht Partialbruchzerlegung...
Wieso eigentlich u=x und nicht u=x^2+v'=1/(x^2+1)? Erfahrungswert?
Roland
Arno Kizina
> Und so sprach Arno Kizina:
>
>> Hallo Roland,
>> natürlich hätte ich den Blick in die Formelsammlung nicht nötig gehabt,
>> ich lebe davon, dass ich so etwas auch so hinkriege. Außerdem muss
>> mancher diese Lösung, auch als Hausaufgabe, auf diese Art erzeugen. Mein
>> Zeilenumbruch war, zumindest an einigen Stellen, durchaus so gewollt, es
>> sollte die Lesbarkeit verbessern, aber wenn ich nun sehe, was da
>> zurückkam...
> Das was zurückkam, war das was mein Donnervogel auf die 72 Zeichen
> zurechgestutzt hatte, da er keinen Umbruch gesehen hat (war auch keiner
> da, wenn ich das Fenster breiter gezogen habe, sind die Zeilen immer
> länger geworden). Die Absätze lässt er dabei weitgehend stehen. [/OT]
>
Ok, ich bin da eher faul, früher habe auch oft an Dingen (Einstellungen)
herumgeschraubt, mittlerweile mache ich das eher bei häufig genutzten
Programmen, den Rest lasse ich so.
>> Mfg Arno
>> P.S. Für die Partialbruchzerlegung nimmst Du hier die beiden Komplexen
>> Nullstellen x=i und x=-i, aber auch erst bei der partiellen Imtegration
>> mit u=x und v'=x/(1+x^2).
>>
> x^2/(1+x^2) ist ja ein echt Rationaler Ausdruck.
eben nicht, es ist = 1-1/(1+x^2), diese 1 vorne liefert das x aus der
Integration, ggf lässt sich diese Aufgabe so auch noch einfacher lösen:
x=tan(t), dx/dt=1+x^2...
> Wir haben beim letzten reellen Polynom da immer Schluss gemacht, und
> dann wieder in einer "Schlauen-Tabelle" vom Prof. geguggt. Wenn ich das
> Nennerpolynom komplex auflöse komme ich auf:
> x^2/(x+j)(x-j) = A/(x+j)+B/(x-j). =>
> x^2 = A(x-j)+B(x+j)
> Beim Koeffizientenvergleich kommen da aber wieder 0 für A und B raus??
>
> Also stehe ich als Gelegenheitsmathematikanwender ;-) wieder vor dem
> Problem, dass ich mir Substitutionen ausdenken/raussuchen muss...
>
> Moment... partielle Integration... ist nicht Partialbruchzerlegung...
> Wieso eigentlich u=x und nicht u=x^2+v'=1/(x^2+1)? Erfahrungswert?
>
> Roland
Genau, häufig gemacht, gesehen, dass 0.5*2x in etwa die Ableitung von 1+x^2
ist, losgelegt und an andere Wege keinen Gedanken verschwendet...
Arno
Detlef Müller
Und wenn die Funktion nicht direkt in der Formelsammlung steht:
arctan(x)'=1/(1+x²) sollte bekannt sein.
Dann hat man:
x²/(1+x²) = (x²+1-1)/(1+x²) = (x²+1)/(1+x²) - 1/(1+x²) =
1- 1/(1+x²)
Nun finden wir für jeden Summanden die Stammfunktion, und
kommen auf Rolands Ergebnis.
<Doziermodus>
Wie kommt man auf arctan(x)'=1/(1+x²)?
Über die Umkehrfunktion, die Ableitung von tan(x)=sin(x)/cos(x)
ist (Quotientnregel):
tan(x)' = {cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x)} / {cos(x)^2} =
{cos(x)^2+sin(x)^2}/{cos(x)^2} =
cos(x)^2/cos(x)^2+(sin(x)^2/cos(x)^2}) =
1+tan(x)^2
arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens, daher gilt
tan(arctan(x))=x
Wenn wir auf beiden Seiten ableiten, kitzelt links die Kettenregel
die gesuchte Ableitung als innere Ableitung heraus:
arctan(x)' * (1 + tan(arctan(x)^2) = 1
Weil immernoch tan(arctan(x))=x gilt, folgt:
arctan(x)' * (1+x^2) = 1, also
arctan(x)'=1/(1+x²)
<\Doziermodus>
Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Detlef Müller
> Roland Ertelt wrote:
...
> Und wenn die Funktion nicht direkt in der Formelsammlung steht:
> arctan(x)'=1/(1+x²) sollte bekannt sein.
Ooops, war ja schon ein Schwanz Antworten da :)
Aber ich denke mein weniger formaler Weg ist dennoch
ganz lehrreich ...
Prinzip: erst mal schauen, ob man den Ausdruck in solche
mit bekannter Lösung aufbrechen kann.
Manche Lehrer ärgert das (weil sie nicht nach Schema-F
abhaken können), manche begrüßen es.