Fakultäten und Binomialkoeffizient
Lara Will
ich lerne gerade Mathe (Stochastik) und bin bei einer Aufgabe auf
etwas gestoßen was ich nicht verstehe, vllt kann es mir jemand
erklären.
Aufgabe: Eine Anzahl Schüler einer Klasse tragen ein Schachturnier
aus. Insgesamt wurden an jedem der 24 Tage, die das Turnier dauert, 3
Partien gespielt. Bestimmen Sie die Anzahl der Turnierteilnehmer.
Dann steht in der Lösung:
n=x
k=2
C(n,k) = (n über k) = (x über 2)
Wegen der Hin- und Rücksiele ist diese Zahl, also C(x,2), mit zwei zu
multiplizieren.
(x über 2) = (x * (x-1)) / 1*2
Da Hin-und Rückspiele ausgetragen werden, folgt wegen 3*24=72 für x
die Beziehung:
x*(x-1) = 72
x²-x-72 = 0
----------------------------------------
Ich verstehe einfach nicht warum (x über 2) = (x*(x-1)) / 1*2 ist und
deswegen auch nicht den letzen Schritt mit der Beziehung für x.
Kann mir jemand weiter helfen?
Regina Henschel
Lara Will schrieb:
> Hallo,
>
> ich lerne gerade Mathe (Stochastik) und bin bei einer Aufgabe auf
> etwas gesto�en was ich nicht verstehe, vllt kann es mir jemand
> erkl�ren.
>
> Aufgabe: Eine Anzahl Sch�ler einer Klasse tragen ein Schachturnier
> aus. Insgesamt wurden an jedem der 24 Tage, die das Turnier dauert, 3
> Partien gespielt. Bestimmen Sie die Anzahl der Turnierteilnehmer.
>
Das hat eigentlich gar nichts mit Binomialkoeffizient zu tun, sondern
ist das einfache allgemeine Z�hlprinzip.
Eine Paarung besteht aus wei� und schwarz und du musst die Anzahl aller
Paare ermitteln. Beim bilden der Paare hast du f�r wei� x M�glichkeiten
und f�r schwarz dann noch x-1 (man spielt ja nicht gegen sich selbst),
also insgesamt x *(x-1) Paarungen.
mfG
Regina
Regina Henschel
Lara Will schrieb:
> ----------------------------------------
>
> Ich verstehe einfach nicht warum (x �ber 2) = (x*(x-1)) / 1*2 ist und
> deswegen auch nicht den letzen Schritt mit der Beziehung f�r x.
>
> Kann mir jemand weiter helfen?
Zweiter Teil, v�llig losgel�st vom Schachtunier. Du willst 3 Personen
auf 5 St�hle setzen. Dabei interessierst du dich aber nicht daf�r wer wo
sitzt, sondern nur ob der Stuhl �berhaupt besetzt ist.
Wenn du aufschreibst, wer wo sitzt, dann hast du f�r die erste Person 5
St�hle zur Auswahl, f�r die zweite Person 4 St�hle und f�r die dritte
Person 3 St�hle. Es gibt also 5*4*3 M�glichkeiten die Personen zu setzen.
Dich interessiert es aber nicht wer wo sitzt, sondern nur, ob der Stuhl
besetzt ist. Du fasst daher z.B. die M�glichkeiten
.a.bc
.a.cb
.b.ac
.b.ca
.c.ab
.c.ba
zusammen zu
.x.xx
Du ermittelst also, wie viele M�glichkeiten es gibt, wie drei Personen
auf drei St�hlen sitzen k�nnen; das sind jeweils 3*2*1.
Insgesamt erh�ltst du
5*4*3
----- = 120/6=20
3*2*1
Und das ist (5 �ber 3).
Warum dividieren? Stelle dir vor, du ordnest die M�glichkeiten die es
gibt in einem Rechteck an und schreibst dabei diejenigen M�glichkeiten,
die sich nur durch die Reihenfolge der Personen unterscheiden
untereinander. Dann erh�lst du ein Rechteck mit 120 Elementen insgesamt,
angeordnet in 6 Reihen, und du willst wissen, wie viele Spalten es sind.
Eine andere Sichtweise von Binomialkoeffizient ist die Frage, wie viele
M�glichkeiten es gibt, aus einer Menge mit 5 Elementen, Teilmengen mit 3
Elementen zu bilden. Du stellst dir also vor, aus 5 Elementen drei
Elemente zu ziehen. Auch dort muss man dann durch 3*2*1 dividieren, weil
es bei einer Menge keine Reihenfolge der Elemente gibt.
mfG
Regina
Rainer Willis
> Aufgabe: Eine Anzahl Sch�ler einer Klasse tragen ein Schachturnier
> aus. Insgesamt wurden an jedem der 24 Tage, die das Turnier dauert, 3
> Partien gespielt. Bestimmen Sie die Anzahl der Turnierteilnehmer.
>
> Dann steht in der L�sung:
>
> n=x
> k=2
>
> C(n,k) = (n �ber k) = (x �ber 2)
>
> Wegen der Hin- und R�cksiele ist diese Zahl, also C(x,2), mit zwei zu
> multiplizieren.
Wo steht denn in der Aufgabe was von R�ckspielen? Aufgabe und L�sung
sind schlecht formuliert.
> (x �ber 2) = (x * (x-1)) / 1*2
Was soll der Faktor 1 im Nenner?
> Da Hin-und R�ckspiele ausgetragen werden, folgt wegen 3*24=72 f�r x
> die Beziehung:
> x*(x-1) = 72
> x�-x-72 = 0
Sch�n, also 9 Sch�ler. (9 �ber 2) ergibt 36, und das wird wegen der
R�ckspiele verdoppelt.
> ----------------------------------------
>
> Ich verstehe einfach nicht warum (x �ber 2) = (x*(x-1)) / 1*2 ist und
> deswegen auch nicht den letzen Schritt mit der Beziehung f�r x.
>
> Kann mir jemand weiter helfen?
Naja, (n �ber k) ist eben definiert als n!/((n-k)!*k!). F�r k=2 also
n!/((n-2)!*2!), und das kann man zu n*(n-1)/2 umformulieren. Wenn du n!
durch (n-1)! teilst, erh�ltst du n, wenn du n! durch (n-2)! teilst
erh�ltst du n*(n-1).
Gru� Rainer
Detlef Müller
> Lara Will schrieb:
>
>> Aufgabe: Eine Anzahl Sch�ler einer Klasse tragen ein Schachturnier
>> aus. Insgesamt wurden an jedem der 24 Tage, die das Turnier dauert, 3
>> Partien gespielt. Bestimmen Sie die Anzahl der Turnierteilnehmer.
>
> Wo steht denn in der Aufgabe was von R�ckspielen? Aufgabe und L�sung
> sind schlecht formuliert.
>
Wer w�rde an so einem Marathon-Turnier teilnehmen wollen ... ?
>> (x �ber 2) = (x * (x-1)) / 1*2
>
> Was soll der Faktor 1 im Nenner?
>
Der ist eine Sch�ne Eselsbr�cke, wie man sich folgende Formel f�r den
Binomialkoeffizienten "k aus x" merken kann:
Im Nenner stehen die Faktoren von 1 bis k, und im Z�hler dar�ber
f�ngt man bei x an und z�hlt abw�rts - wenn man jeden Faktor
oben �ber einen der unteren Schreibt kommt die Anzahl hin.
Es ergibt sich:
(x)*(x-1)* ... * (x-k+1)
------------------------
1 * 2 * ... * k
Der Sinn der 1 ist, da� man sich dann mit dem letzten Term oben
nicht mehr verhaspeln kann (also das "+1" vergessen, das n�tig ist,
weil man ja bei (x-0) anf�ngt und k Faktoren hat).
Die Formel ist nat�rlich das Gleiche wie (x!)/(k!(x-k)!), es
tauchen aber weniger monstr�se Zahlen auf, und man kann vor
dem Ausrechnen meist reichlich k�rzen.
(Obendrein kann man so "x �ber k" formal auf reelle x verallgemeinern.)
Gru�,
Detlef
--
Dr. Detlef M�ller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de