Lösen kubischer Gleichungen - von der Normalform in die reduzierte Form
Marcus Goritz
Moin, ich komme mit der Umformung der folgenden Gleichungen nicht klar.
Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) in der Normalform
x^3+a*x^2+b*x+c=0
Über die Substitution
x=y-(a/3)
führt man die Normalform in die sog. reduzierte Normalform über. Diese
enthält kein quadratisches Glied mehr und lautet
y^3+p*y+q=0
mit
p=b-((a^2)/3) ; q=2*(a^3/27)-((a*b)/3)+c
Ich bekomme einfach die Schritte zwichen der Normalform und der reduzierten
Normalform nicht hin.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Wolfgang Hoerner
"Marcus Goritz"
> Moin, ich komme mit der Umformung der folgenden Gleichungen nicht klar.
>
> Ich bekomme einfach die Schritte zwichen der Normalform und der
reduzierten
> Normalform nicht hin.
gegeben x^3 + ax^2 + bx +c = 0
> Über die Substitution x = y - a/3...
also einsetzen:
(y-a/3)^3 + a(y-a/3)^2 + b(y-a/3) = 0
jetzt brauchst du die binomischen Formeln, oder du musst "von Hand" die
Klammern auflösen. Danach sortierst du nach Potenzen von y, wobei y^3 die
einzige dritte Potenz ist und y^2 nicht vorkommen sollte (das ist der Zweck
der Substitution).
Wenn du nun die Glieder mit y zusammenfasst, sollte yp mit dem von dir
angegebenen p herauskommen, der Rest sollte wie q aussehen.
HTH Wolfgang Hoerner
Wolfgang Hoerner
der Dreckfuhlerteufel hat wieder mal zugeschlagen - es fehlt das c:
(y-a/3)^3 + a(y-a/3)^2 + b(y-a/3) + c = 0
jetzt brauchst du die binomischen Formeln, oder du musst "von Hand" die
Klammern auflösen.
Wenn das dein Problem ist, dann frag nochmal nach.
Wolfgang Hoerner
Joachim Mohr
Marcus Goritz wrote:
> Moin, ich komme mit der Umformung der folgenden Gleichungen nicht klar.
>
> Ich bekomme einfach die Schritte zwichen der Normalform und der reduzierten
> Normalform nicht hin.
>
> wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Wenn Du konkrete Fälle ausrechnen willst, gibt Dir
http://delphi.zsg-rottenburg.de/ttmathe.html
Hilfestellungen bei der Substitution.
(Überhaupt sehr hilfreichm da die konkreten Rechnungen von Hand sehr
viel Sorgfalt benötigen. Vor allem, wenn Du an die allgemeine Gleichung
4. Grades kommst.)
MFG Joachim Mohr
Marcus Goritz
Wenn ich das "von Hand" Versuche kommt immer etwas anderes heraus als es
soll.
"Wolfgang Hoerner" <Woho...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:a6io9n$7rh$02$1...@news.t-online.com...
Bernd R. Mentjes
> (y-a/3)^3 + a(y-a/3)^2 + b(y-a/3) + c = 0
Wer das mit dem binomischen Lehrsatz und/oder dem Pascalschen Dreieck machen
möchte, dem sei das unbenommen. Hier kommt die simple, aber aufwändige
Version, die jedem Schüler ab Klasse 9 spätestens mit Kenntnis der
binmischen Formeln zuzutrauen sein sollte:
(y-a/3)^3 + a(y-a/3)^2 + b(y-a/3) + c
= (y-a/3)^2*(y-a/3) + a * (y^2 - 2/3 ay +1/9 * a^2) + by -ab/3 + c
= (y^2 - 2/3 ay +1/9 * a^2)*(y-a/3) + ay^2 - 2/3 a^2y + 1/9 a^3 + by - ab/3
+c
= .....
Gruß
BigBandi
Holger Keil
"Marcus Goritz" <marcu...@web.de> schrieb im Newsbeitrag
news:a6imu5$r55$01$1...@news.t-online.com...
>
[Hinführung zu y^3+(b-a^2/3)*y-2*(a^3/27)-(ab/3)+c]
>
Hallo,
Passt zwar nicht ganz zum Thread, aber zum Thema: Wie mache ich jetzt
weiter? Ich mein, ich hab zwar das quadratische Glied raus, kann die
Gleichung aber doch immer noch nicht (außer durch "ausprobieren", was ich
grauenhaft finde...) lösen. Gibt es da einen, für einen Schüler der 12
Klasse, verständlichen weiteren Weg?
Danke!
Holger Keil
Jürgen Edwartson
Jetzt substituierst du y:=u+v, was auf
u^3 + v^3 + (u+v)(3uv-3p) + 2q = 0 führt. Die Methode des
Koeffizientenvergleich führt zu:
u^3 + v^3 = -2q und uv = p <=> u^3v^3 = p^3
Nach dem Satz von Vieta sind nun u^3 und v^3 die Nullstellen des
quadratischen Polynoms: f(z) = z^2 - 2q*z + p^3
Woraus z1 = u^3 = q + sqrt(q^2-p^3)
und z2 = v^3 = q - sqrt(q^2-p^3)
Jetzt noch schnell die dritte Wurzel gezogen und kombiniert:
y1 = u + v
y2 = u exp(-i*2/3*pi) + v exp(+i*2/3*pi)
y3 = u exp(+i*2/3*pi) + v exp(-i*2/3 pi)
HTH
Jürgen