Vektorgeometrie;Symmetrieebene
Felix Plail
Trotz heftigen Nachdenkens habe ich Lösungsschwierigkeiten bei
folgender (Teil)aufgabe. Es sind drei Punkte (A,B,C), die genau eine
Ebene E_1 aufspannen, im dreidimensionalen Raum gegeben. Durch den Punkt
D und parallel zu E_1 verläuft die Ebene E_2. Über die linke Seite der
Hesse-Normalenform (HNF) kann man den Abstand zwischen diesen Ebenen
ermitteln. Aber als nächstes wird eine Normalengleichung der
Symmetrieebene E_3 verlangt. Ich denke, dass diese Ebene direkt
zwischen und damit parallel zu E_1 und E_2 liegt. Wie kann man die
Symmetriebene ermitteln? Meine Lösungsidee besteht darin, dass man
einfach den Abstand von E_1 und E_2 halbiert. Dort müsste dann die Ebene
liegen. Ich bräuchte aber noch einen Stützpunkt um die Ebenengleichung
aufstellen zu können.
Wie kann man hier vorgehen?
Als Instrumente stehen mir noch das Skalarprodukt und das Vektorprodukt
zur Verfügung. Ich weiß aber nicht wie ich sie in diesen Fall anwenden
könnte.
Vielen Dank für eure Antworten!
Felix
Lukas-Fabian Moser
wrote:
>Hallo an alle!
>Trotz heftigen Nachdenkens habe ich Lösungsschwierigkeiten bei
>folgender (Teil)aufgabe. Es sind drei Punkte (A,B,C), die genau eine
>Ebene E_1 aufspannen, im dreidimensionalen Raum gegeben. Durch den Punkt
>D und parallel zu E_1 verläuft die Ebene E_2. Über die linke Seite der
>Hesse-Normalenform (HNF) kann man den Abstand zwischen diesen Ebenen
>ermitteln. Aber als nächstes wird eine Normalengleichung der
>Symmetrieebene E_3 verlangt. Ich denke, dass diese Ebene direkt
>zwischen und damit parallel zu E_1 und E_2 liegt. Wie kann man die
>Symmetriebene ermitteln? Meine Lösungsidee besteht darin, dass man
>einfach den Abstand von E_1 und E_2 halbiert. Dort müsste dann die Ebene
>liegen. Ich bräuchte aber noch einen Stützpunkt um die Ebenengleichung
>aufstellen zu können.
>Wie kann man hier vorgehen?
Das ist ganz einfach, wenn man draufkommt: haben die Ebenen in
Normalenform den gleichen Normalenvektor, dann nimm einfach das Mittel
der Konstanten. Also beispielsweise
E_1: x_1 + 2x_3 - x_3 + 4 = 0
E_2: x_1 + 2x_3 - x_3 + 2 = 0
Dann ist die Symmetrieebene
E_s: x_1 + 2x_3 - x_3 + 3 = 0.
Die Begründung ist auch ganz einfach: Jeder Punkt auf E_s hat von E_1
und E_2 den gleichen Abstand, nur jeweils anders gerichtet.
Lukas (TFC)
Reinhard Gruber
> Symmetriebene ermitteln? Meine Lösungsidee besteht darin, dass man
> einfach den Abstand von E_1 und E_2 halbiert. Dort müsste dann die Ebene
> liegen. Ich bräuchte aber noch einen Stützpunkt um die Ebenengleichung
> aufstellen zu können.
> Wie kann man hier vorgehen?
Wie schon gesagt, muß die Symetrieebene parallel zu E1 und E2 sein. Ein
Stützpunkt ist schnell gefunden. Er muß genaudenselben Abstand zu E1 haben,
wie zu E2. Sprich: er muß genau in der Mitte liegen.
Also einen beliebigen Punkt A aus der Ebene E1 und einen beliebigen Punkt B
aus der Ebene E2 wählen. Der Vektor AB reicht von der Ebene E1 zur Ebene E2.
Also reicht der Vektor (AB)/2 genau bis zur Mitte. Folglich ist A+(AB)/2 ein
Stützpunkt der Symetrieebene.
Reinhard
Martin Seelge
Punkt A liegt auf E_1
Punkt D auf E_2
bestimme nun den Vektor AD
(A + AD = D => AD = D - A)
dann bekommst Du einen neuen Stützvektor mit
S = A + 1/2*AD
andere Möglichkeiten wären, über den Normalenvektor und Abstand der Ebenen
zu gehen.
Gruß,
Martin
Wolfgang Hoerner
"Kai Spitzley" schrieb:
> Felix Plail <Fe...@Plail.de> felt like saying:
>
> > [...] (Symmetrie-Ebene zwischen 2 parallelen Ebenen)
> >
> > Wie kann man hier vorgehen?
>
Du kanns aus jeder der beiden Ebenen einen beliebigen Punkt nehmen und die
Mitte berechnen (x = 1/2(a + b)), das ist ein Punkt der gesuchten Ebene.
Noch einfacher ist es, wenn Du die beiden Gleichungen einfach addierst, das
Ergebnis ist die gesuchte Ebenengleichung, sofern die Normalenvektoren
vorher gleich waren.
> Also den Abstand nenne ich mal d.
> Am besten einen Punkt auf einer der beiden Ebenen suchen (P) und den
> Einheitsnormalenvektor (N) bilden. Den gesuchten Punkt findest Du so:
> P + (d/2)*N - dabei auf die Richtung von N achten, sonst bekommst Du
> den Punkt auf der falschen Seite raus...
>
Das stimmt nicht, sondern nur dann, wenn die Länge von N gerade so gross ist
wie der Abstand der beiden Ebenen. Davon kann man aber i.A. nicht ausgehen.
Wolfgang
Wolfgang Hoerner
> Am besten einen Punkt auf einer der beiden Ebenen suchen (P) und den
> Einheitsnormalenvektor (N) bilden. Den gesuchten Punkt findest Du so:
> P + (d/2)*N - dabei auf die Richtung von N achten, sonst bekommst Du
> den Punkt auf der falschen Seite raus...
Wolfgang Hoerner