Koeffizientenvergleich = Partialbruchzerlegung ?
Markus Hossner
meint man mit Koeffizientenvergleich und Partialbruchzerlegung
eigentlich das Gleiche?
Mfg
Markus
Johannes Pietsch
> meint man mit Koeffizientenvergleich und Partialbruchzerlegung
> eigentlich das Gleiche?
Koeffizientenvergleich ist ein Verfahren, welches unter anderem bei der
Partialbruchzerlegung zur Anwendung kommt. Der Koeffizientenvergleich
kann jedoch auch bei vielen anderen mathematischen Problemen genutzt
werden.
Gruß,
Johannes
--
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Wolfgang Hoerner
"Markus Hossner"
> meint man mit Koeffizientenvergleich und Partialbruchzerlegung
> eigentlich das Gleiche?
Nein. Partialbruchzerlegung ist eine Methode, einen Bruch, der im Nenner ein
zerlegbares Polynom vom Grad > 1 enthält, in einzelne Brüche zu zerlegen,
deren Nenner vom Grad 1 (also linear) sind.
Bei der Durchführung der Partialbruchzerlegung machst du einen Ansatz, bei
dem der gegebene Bruch als Summe der zu findenden Brüche mit unbekannten
Zählern A, B, C usw. dargestellt wird. Um die Buchstaben A, B, C usw. zu
bestimmen, macht man den Ansatz nennerfrei und sortiert nach Potenzen von x,
wodurch man letzlich einen Ausdruck der Form
(a1*A + a2*B + a3*C + ...) * x^n + (b1*A + B2*B + B3*C + ...) * x^(n-1) ...
+ (entsprechend) * x + Absolutglied = 0
erhält. Hierin sind a1, a2 usw. (b1, b2 usw. ebenso) Zahlen, die sich beim
Nennerfreimachen ergeben (und also bekannt sind), und A, B, C... die
gesuchten Zähler.
Das "=0" bedeutet nun nicht wie sonst, dass die gefundenen Funktion eine
Nullstelle haben soll und die entsprechenden x-Werte gesucht sind, sondern,
dass die gefundene Funktion identisch = 0 sein soll (gelegentlich findest du
dafür auch die Schreibweise "=0" mit drei Strichen bei "="). Das heisst, die
Funktion muss für _jeden_ x-Wert null liefern, oder anders gesagt, sie muss
gleich
0*x^n + 0*x^(n-1) + ... + 0*x + 0 sein (*).
Damit kann man die A, B usw. bestimmen in dem man
entweder:
nacheinander geeignete x-Werte einsetzt und jedesmal eine lineare Gleichung
mit den Unbekannten A, B, C usw. erhält. Das so entstandene Gleichungssystem
kann man dann nach den gesuchten Buchstaben auflösen.
oder:
indem man die Koeffizienten (das sind die Klammerausdrücke in der Zeile mit
dem Wort "Absolutglied") auf beiden gleichsetzt (die "andere Seite" ist der
Ausdruck (*)), d.h. in dem man
a1*A + a2*B + a3*C + ... = 0
b1*A + b2*B + b3*C + ... = 0
...
(entsprechend) = 0
Absolutglied = 0
setzt. Diese Methode heisst Koeffizientenvergleich. Sie liefert ebenfalls
ein Gleichungssystem für A, B, C, das man dann lösen kann.
Koeffizientenvergleich kann man auch an anderen Stellen verwenden, wo es
darum geht, zwei identische Funktionen zu "verarbeiten".
Bsp: Du vermutest, dass die (eine) Stammfunktion von x^2*e^x ein Ausdruck
der Form (Ax^2 + Bx + C) * e^x ist. Dan leitest du den Ansatz (mit der
Produktregel) ab und erhältst
(2Ax + B)* e^x + ( Ax^2 + Bx + C) * e^x === x^2*e^x
Wenn du nun durch e^x (ungleich 0) dividierst, ausmultiplizierst und
sortierst, kriegst du
Ax^2 + (2A +B)*x + (B + C) = 1*x^2 + 0*x + 0
Koeffizientenvergleich liefert nun die drei Bedingungen
A = 1
2A + B = 0
B+C = 0
womit die Aufgabe gelöst werden kann.
HTH, Wolfgang Hoerner
HTH Wolfgang Hoerner
Joachim Mohr
Markus Hossner wrote:
> Hallo,
>
> meint man mit Koeffizientenvergleich und Partialbruchzerlegung
> eigentlich das Gleiche?
Zur Partialbruchzerlegung ist genügend gesagt.
Zum Koeefizientenvergleich noch folgende Bemerkung:
Hat man in einem Vektorraum linear unabhängige Vektoren a1, a2, ...
(d.h. x1*a1 + x2*a2 + ... = 0 impliziert x1=0 und x2=0 ....)
und hat man für einen Vektor a zwei Darstellungen
a = x1*a1 + x2*a2 + ... und
n= y1*a1 + y2*a2 + .... so folgt aus
x1*a1 + x2*a2 + ... = y1*a1 + y2*a2 + .... oder
(x1-y1)*a1 + (x2 - y2)*a2 + ... = 0,
dass die Koeffizienten gleich sein müssen:
x1 = y1
x2 = y2
....
Das nennt man "Koeefizientenvergleich"
MFG Joachim Mohr
http://delphi.zsg-rottenburg.de