همه ی محاصبه های فیزیک در ریاضی

9 views

Skip to first unread message

sampad3hn

unread,

Jan 7, 2014, 3:34:14 AM1/7/14

to samp...@googlegroups.com

نیرو و جابجایی

کار و جابه‌جایی هر دو کمیت‌های برداری‌اند. ضرب نقطه‌ای (ضرب داخلی) این دو، کمیت نرده‌ای کار را می‌دهد:

$W = \bold{F} \cdot \bold{d} = F d \cos\phi$ (1)

در رابطهٔ بالا $\textstyle\phi$ زاویهٔ بین نیرو و جهت جابه‌جایی است. این رابطه تنها وقتی درست است که اندازهٔ نیرو و جهت آن ثابت بماند. مسیر حرکت ذره همیشه باید روی یک خط راست بماند، هرچند که جهت حرکتش می‌تواند عوض شود.

جاهایی که نیرو با گذشت زمان تغییر می‌کند، یا راستای حرکت خط راست نیست، معادلهٔ (۱) همیشه درست نیست. هر چند که می‌توان مسیر حرکت را به گام‌های کوچکی تقسیم کرد که در هر گام بردار نیرو تقریباً ثابت بماند، و کار کل را از جمع کارهای این گام‌ها محاسبه کرد. اما رابطهٔ کلی کار مکانیکی با انتگرال زیر داده می‌شود:

$W_C := \int_{C} \bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{s}$ (2)

که در آن

$\textstyle _C$ خم یا مسیری است که جسم روی آن حرکت می کند،

$\bold F$ بردار نیرو

$\bold s$ بردار تغییر مکان جسم است.

عبارت $\delta W = \bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{x}$ یک دیفرانسیل ناکامل است، به این معنی که محاسبه $\textstyle{ W_C}$ وابسته به مسیر است و دیفرانسیل آن $\bold{F} \cdot \mathrm{d}\bold{x}$ نمی شود. معادله ۲ نشان می دهد که چگونه کار نیروی غیر صفر می تواند برابر صفر شود. ساده ترین مورد زمانی است که نیرو عمود بر جابجایی است درنتیجه انتگرال عبارت همواره برابر صفر می شود مانند حرکت چرخشی.

وجود این امکان که یک نیروی غیر صفر کار صفر انجام دهد، تفاوت میان دو کمیت کار و ضربه را مشخص می‌کند. ضربه برابر است با انتگرال نیرو در زمان، از طریق ضربه ما می توانیم تغییرات اندازه حرکت جسم را بدست آوریم، یک بردار کمیتی حساس به جهت، درحالی که، کار تنها بزرگی سرعت را بررسی می کند. به طور مثال یک جسم در حرکت دایره ای یکنواخت که نصف دایره را طی کرده، نیروی جانب مرکز آن کاری انجام نداده درحالی که ضربه در آن ناصفر است.

گشتاور و دوران

کار انجام شده توسط یک گشتاور (لنگر) به روش مشابه محاسبه می‌شود. اگر گشتاور $\tau\;$ طی $\theta\;$ رادیان جابجایی دورانی وارد شود، کار انجام شده به این ترتیب محاسبه می‌شود:

$W= \tau \theta\$

قضیه کار-انرژی

اصل کار و انرژی جنبشی (یا همان قضیه کار-انرژی) بیان می‌کند که کار انجام شده توسط همه‌ی نیروهای وارد شده بر یک ذره (کار نیروی کل) برابر با تغییر در انرژی جنبشی ذره است. این تعریف را می‌توان با در نظر گرفتن کار گشتاور کل و انرژی جنبشی دورانی، از ذره به جسم صلب تعمیم داد.

این اصل را می‌توان چنین نوشت:

$W=\Delta E_k=\tfrac12mv_2^2-\tfrac12mv_1^2$

به دست آوردن اصل کار-انرژی برای ذره

در حالت کلی برای نیروی وارد بر ذره در حال حرکت در مسیری خمیده، می‌توان قضیه‌ی کار-انرژی را چنین نوشت:

$W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = m \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}dt = \frac{m}{2} \int_{t_1}^{t_2} \frac{d v^2}{dt}\,dt = \frac{m}{2} \int_{v^2_1}^{v^2_2} d v^2 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta {E_k}$

برای به دست آوردن رابطه‌ی $\textstyle \mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \frac{d v^2}{dt}$ داریم:

$\textstyle v^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$

$\textstyle \mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt}$

$\frac{d v^2}{dt} = \frac{d (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{dt} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \frac{d \mathbf{v}}{dt} = 2 \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} = 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}$

چارچوب مرجع

کاری که یک نیرو روی جسمی انجام می‌دهد، بستگی به چارچوب مرجع دارد، زیرا مسافت عمل نیرو به چارچوب مرجع بستگی دارد. بنابر قانون سوم نیوتن نیروی عکس‌العملی هم هست که کاری در جهت مخالف انجام می‌دهد. می‌توان نشان داد که کار کل همیشه مستقل از چارچوب مرجع است.

جستارهای وابسته

نیرو

پیوند به بیرون

Reply all

Reply to author

Forward

0 new messages