[LA] nullmatrix diag! WARUM?!
Markus Klippel
ich hab noch nicht ganz gecheckt, wie das mit der diagonalisierbarkeit zu
prüfen ist...
WARUM ist die nullmatrix diagonalisierbar!?? wie berechnet man von der das
minimalpolynom? und wie lauten die eigenvektoren??!
wenn ich die nullmatrix aus IR^2x2 nehme, dann folgt bei mir, dass das
minimalpolynom= null ist (es ist aber X). Wenn ich dann die eigenvektoren
berechnen will kommt ebenfalls logischerweise ein lgs mit a_1*0 + a_2*0 =
0 raus... also ist der eigenvektor.... ach neee, der nullvektor ist ja NIE
eigenvektor,.... irgendwie komisch. ich nehme an, die eigenvektoren sind
(bei 2x2) [1,0]^T und [0,1]^T... kann mir das vielleicht jemand erklären?
Marco Lange hatte weiter unten schon mal folgendes zu diagbarkeit
gepostet...
> M aus K^{n x n} ist diagonalisierbar, wenn
>
> (1) K^n besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von M oder
> (2) M besitzt n verschiedene Eigenwerte oder
> (3) Das Minimalpolynom von M zerfällt in paarweise verschiedene
> Linearfaktoren
>
>Letzteres ist übrigens sowohl notwendige als auch hinreichende
>Bedingung, es gilt als
>
> M diagonalisierbar <=> mu_M zerfällt in paarw. verschiedene
> Linearfaktoren
wenn ich mich aber recht erinnere, steht sowohl im skript von stefan guha
als auch im beutelspacher, dass die erste bedingung AUCH hinreichend UND
notwendig ist... hab ich das jetz acuh falsch verstanden oder wo liegt hier
der irrtum?!
danke für eure hilfe!!
gruß, markus
Markus Klippel
news:c5n19f$kac$1...@nets3.rz.RWTH-Aachen.DE...
ok, das mit den eigenvektoren is mir jetz klar... man muss ja einen
parameter wählen... das polynom muss auch X sein, da es dann für den
eigenwert null eben auch null ist... =) ist also auch klar. aber wenn man
stur nach dem verfahren rechnet, bekommt man eben "0" als minpol raus.. das
hat mich gestört...
was ich eigentlich sagen wollte: ihr könnt mein posting vergessen! =)
sorry an alle, die mit dem durchlesen kurz vor der klausur noch ihre
kostbare zeit unnötigerweise vergeudet haben!!! :-/
Markus
Carsten Otto
> WARUM ist die nullmatrix diagonalisierbar!??
Weil alle Diagonalelemente Null sind
> wie berechnet man von der das
> minimalpolynom?
X
> und wie lauten die eigenvektoren??!
0x=s*x => s = 0
> wenn ich die nullmatrix aus IR^2x2 nehme, dann folgt bei mir, dass das
> minimalpolynom= null ist (es ist aber X).
Kann nicht. "0" heißt "E_2" (Einheitsmatrix) und die ist nicht Null.
> Wenn ich dann die eigenvektoren
> berechnen will kommt ebenfalls logischerweise ein lgs mit a_1*0 + a_2*0 =
> 0 raus... also ist der eigenvektor.... ach neee, der nullvektor ist ja NIE
> eigenvektor,.... irgendwie komisch. ich nehme an, die eigenvektoren sind
> (bei 2x2) [1,0]^T und [0,1]^T... kann mir das vielleicht jemand erklären?
Da sage ich lieber nichts zu, bin mir nicht sicher.
> Marco Lange hatte weiter unten schon mal folgendes zu diagbarkeit
> gepostet...
Unabhängig davon empfehle ich dir den Beutelspacher.
--
Carsten Otto
c-o...@gmx.de
www.c-otto.de
Michael Parting
> hallo!
> ich hab noch nicht ganz gecheckt, wie das mit der diagonalisierbarkeit zu
> prüfen ist...
> WARUM ist die nullmatrix diagonalisierbar!?? wie berechnet man von der das
> minimalpolynom? und wie lauten die eigenvektoren??!
Die ist diagonalisierbar, weil sie schon diagonal ist.
Michael Parting
> sorry an alle, die mit dem durchlesen kurz vor der klausur noch ihre
> kostbare zeit unnötigerweise vergeudet haben!!! :-/
>
Hatte eh Langeweile und ausserdem hab ich schon geschrieben. :P
> Markus
>
>
-Patte
Markus Klippel
"Carsten Otto" <c-o...@gmx.de> wrote in message
news:slrnc7u315...@gmx.de...
> On 2004-04-15, Markus Klippel <Markus....@rwth-aachen.de> wrote:
> > und wie lauten die eigenvektoren??!
>
> 0x=s*x => s = 0
danke für die definition von eigenwert, das war nicht meine frage ;)
> > wenn ich die nullmatrix aus IR^2x2 nehme, dann folgt bei mir, dass das
> > minimalpolynom= null ist (es ist aber X).
>
> Kann nicht. "0" heißt "E_2" (Einheitsmatrix) und die ist nicht Null.
was meinst du heir mit "0" heisst einheitsmatrix? also das minpol von der
2x2-einheitsmatrix ist bei mir mü = X-1.
> > Wenn ich dann die eigenvektoren
> > berechnen will kommt ebenfalls logischerweise ein lgs mit a_1*0 +
a_2*0 =
> > 0 raus... also ist der eigenvektor.... ach neee, der nullvektor ist ja
NIE
> > eigenvektor,.... irgendwie komisch. ich nehme an, die eigenvektoren sind
> > (bei 2x2) [1,0]^T und [0,1]^T... kann mir das vielleicht jemand
erklären?
>
> Da sage ich lieber nichts zu, bin mir nicht sicher.
>
> > Marco Lange hatte weiter unten schon mal folgendes zu diagbarkeit
> > gepostet...
>
> Unabhängig davon empfehle ich dir den Beutelspacher.
> --
> Carsten Otto
> c-o...@gmx.de
> www.c-otto.de
markus
Markus Klippel
----- Original Message -----
From: "Michael Parting" <Michael...@rwth-aachen.de>
Newsgroups: rwth.informatik.grundstudium
Sent: Friday, April 16, 2004 12:41 AM
Subject: Re: [LA] nullmatrix diag! WARUM?!
> Markus Klippel wrote:
> > hallo!
> > ich hab noch nicht ganz gecheckt, wie das mit der diagonalisierbarkeit
zu
> > prüfen ist...
> > WARUM ist die nullmatrix diagonalisierbar!?? wie berechnet man von der
das
> > minimalpolynom? und wie lauten die eigenvektoren??!
> Brauchst du doch gar nicht. Auf der Diagonalen stehen halt nur Nullen.
> Die ist diagonalisierbar, weil sie schon diagonal ist.
Wie jetz?? wenn auf der diagonalen nur nullen stehen, dann ist eine matrix
doch noch lange nicht diagonalisierbar! ich war in der 2. teilklausur
gruppeA und da war eine frage:
"Es sei A aus IQ^nxn mit n >= 2
Ist a_i,j = j-i für 1 <= i <= j <= n und a_i,j = 0 für 1<= j < i <= n, so
ist A diagonalisierbar!"
die richtige antwort ist NEIN, und bei diesem beispiel stehen nur nullen auf
der diagonalen! aber du und carsten otto begründet mir beide MEIN beispiel
mit eben dieser tatsache... was soll ich denn davon halten!?? :)
> > danke für eure hilfe!!
> >
> > gruß, markus
> >
markus
Eric Bodden
-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
Hash: SHA1
Die Matrix ist diagonalisierbar, wenn man Sie in eine Form bringen
kann so daß nur irgendwelche a_i an jeder Position (i,i) stehen und
sonst überall Nullen (für i!=j). Das gilt auch für die Nullmatrix mit
a_i=0 für alle i. Ist das denn so schwer zu verstehen?
Eric
- --
Eric Bodden
ICQ UIN: 12656220
Website: http://www.bodden.de
GPG: BB465582
-----BEGIN PGP SIGNATURE-----
Version: PGP 8.0.3
iQA/AwUBQH8l28wiFCm7RlWCEQKM9wCbBG6PQ/CvVipMjW9vjECSEvCpk4QAoMKV
226zSLo+0J3jp9YtJH97fhcN
=30N3
-----END PGP SIGNATURE-----
Michael Parting
diagonalen könnte noch was. Die Nullmatrix is voller Nullen (klar oder
;) ) also ist auch die Diagonale voller Nullen.
Ich seh /echt/ nicht was man daran nicht verstehn kann.
>
>
>>>danke für eure hilfe!!
>>>
>>>gruß, markus
>>>
>
>
> markus
>
>
-patte
Rebecca Freiburg
ausrechnest, kommt doch X^2 raus, oder? Also muss entweder X oder X^2 das
Minimalpolynom ssein, denn das enthält ja die gleichen Faktoren, nur mit
evtl. anderer Vielfachheit.
m(A)=0 , wenn m das Minimalpolyom. Schon bei m=X ist das gegeben, denn die
Matrix selbst ist ja schon 0, die braucht man nicht nochmal mit sich selbst
multiplizieren, damit die 0 gibt. Das gilt egal für welches n.
Nullstelle dieses Polynoms ist 0, also 0 Eigenwert.
Kern(A-0*EW) ist der
Und jetzt überleg dir, was passiert, wenn du z.Bsp. die Einheitvektoren e1,
e2,... en in die Abbildung einsetzt. Die geben alle multipliziert mit A 0,
sind also alle Eigenvektoren.
Zusammen ergeben sie außerdem eine Basis des |R^n, sind ja linear
unabhängig . Also hast du damit eine Eigenvektorbasis gefunden und A, also
die Nullmatrix ist diagonalisierbar.
Einfacher geht es natürlich, wenn man argumentiert, dass bei dr Nullmatrix
alle Einträge für i!=j 0 sind, denn das ist bei einer Diagonalmatrix immer
der fall und sie deswegen schon in Diagonalform ist.
Rebecca
Markus Klippel
news:c5n8ku$3mrir$1...@ID-231302.news.uni-berlin.de...
nee, das ist überhaupt nicht schwer zu verstehen. was mich nur ärgert ist,
wenn leute auf irgendeine spezifische frage hier in der ng ihr komplettes
(nicht-)wissen zu einem thema meinen äussern zu müssen, egal ob damit die
frage beantwortet ist oder nicht. und da das wieder ein typisches beispiel
dafür war, wollte ich das nur mal erwähnt haben.
ich weiss, dass die nullmatrix diag ist, weil ich weiss, wie so eine matrix
aussieht! hab ja auch im nachhinenin geschrieben, dass sich meine fragen
erübrigt haben. aber die begründung ("weil auf der diagonalen nur nullen
stehen") ist nunmal schlicht falsch. es muesste wohl viel mehr heissen, dass
SONST überall nullen stehen. war doch nicht böse gemeint! ich wollte das nur
nicht so stehen lassen, weil evtl. auch noch andere diese postings
lesen.....
sorry, wenn ich hier zu "kleinkariert" war. meiner meinung nach war es aber
angebracht das richtig zu stellen.
danke, für die rege aufmerksamkeit.
markus