[LA] Begleitmatrix
Carsten Otto
Ich habe mich heute mit der Begleitmatrix auseinandergesetzt, aber noch
Fragen dazu. Bisher weiß ich "nur", dass jedes Polynom vom Grad n eine
Matrix A (nxn) hat, so dass das char. Polynom dieser Matrix eben jenes
Polynom ist.
In der Klausur und im Skript-Beispiel hat die Begleitmatrix den Aufbau
einer "nach unten verschobenen Einheitsmatrix", also oben eine Zeile
Nullen und darunter die Einheitsmatrix (und als letzte Spalte etwas
anderes).
a) Sehen alle Begleitmatrizen so aus? Kann ich mir kaum vorstellen...
b) Hat es etwas besonderes zu bedeuten, wenn die Matrix so aussieht?
c) Welchen Sinn hat die letzte Spalte, kann ich da etwas ablesen?
Nach aktuellem Wissensstand würde ich zB bei der Klausuraufgabe (2.
Schein, Pahlings 03) das char. Pol. der Matrix berechnen und ausnutzen,
dass man beim Einsetzen 0 herausbekommt. Nach einer Polynomdivision
erhält man dann X+1 als Rest, was man als Lösung nehmen kann.
Gibt es da einen intelligenteren Weg?
Danke,
--
Carsten Otto
c-o...@gmx.de
www.c-otto.de
Simon Reinhardt
Du hast es ja so gewollt, dass ich meinen "Schrott" ausm Chat hier mal
zum Auseinanderreissen poste. Also das haste nun davon. :P
a) Ja, alle sehen so aus.
b) Man kann das charakteristische Polynom...
c) ...aus der letzten Spalte ablesen.
Meines Wissens alle Vorzeichen umdrehen, aufsummieren und 1*x^(n+1)
davorhängen, wobei n der höchste Exponent im bisherigen Polynom ist. So
ist es dann normiert.
Halbwissen ist auch ein Wissen - also bitte mal alle Fehler rausfiltern...
VG Simon
--
http://www.gso-koeln.de/simon/rwthinf/
IRC: #RWTH.info @quakenet
Carsten Otto
> a) Ja, alle sehen so aus.
Das würde ich anzweifeln. In der Klausur sehen die vielleicht alle so
aus, aber das mit der Pseudo-Einheitsmatrix sieht mir stark nach einer
Vereinfachung aus.
> b) Man kann das charakteristische Polynom...
> c) ...aus der letzten Spalte ablesen.
>
> Meines Wissens alle Vorzeichen umdrehen, aufsummieren und 1*x^(n+1)
> davorhängen, wobei n der höchste Exponent im bisherigen Polynom ist. So
> ist es dann normiert.
Wenn von oben nach unten in der letzten Spalte die Einträge a_0 bis
a_(n-1) stehen, ist das Char. Pol. dieser Matrix
a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ... + a_(n-1)*x^(n-1) + x^n (ohne besonderen Vorfaktor,
also normiert - steht nicht in der Matrix!)
Carsten Otto
Da ist der ganze Kram noch einmal etwas übersichtlicher aufgelistet :)