Riyaziyyatda Istifadə Olunan Işarələr
Elida Obrian
Riyazi fəaliyyətin əsas hissəsi abstrakt (mcərrəd) obyektlərin xassələrini aşkarlamaqdan və isbat etməkdən (saf mhakimə yolu ilə) ibarətdir. Bu obyektlər ya təbiətdən təcridetmə yoluyla (məsələn, natural ədədlər və ya xətlər), ya da (masir riyaziyyatda) aksiomlar adlanan əsas xassələrlə məyyən edilən abstrakt varlıqlardır. İsbat bəzi deduktiv qaydaların artıq məlum olan nəticələrə, o cmlədən qabaqcadan isbatlanmış teoremlərə, aksiomlara və (təbiətdən təcridetmə halında) nəzərdən keirilən nəzəriyyənin həqiqi başlanğıc nqtələri hesab edilən bəzi əsas xassələrə ardıcıl tətbiqindən ibarətdir. İsbatın nəticəsi teorem adlanır.
Bir sıra elmlərdə hadisələrin modelləşdirilməsi n riyaziyyatdan geniş istifadə olunur. Bu, eksperimental qanunlardan kəmiyyət nəticələrini ıxarmağa imkan yaradır. Məsələn, Nyutonun cazibə qanununun kməyilə planetlərin hərəkətini yksək dəqiqliklə təxmin etmək olar. Riyazi həqiqətin hər hansı təcrbədən mstəqil olması belə proqnozların doğruluğunun yalnız reallığı təsvir edən modelin adekvatlığından asılı olduğunu nəzərdə tutur. Beləliklə, bəzi qeyri-dəqiq proqnozlar ortaya ıxdıqda, bu, riyaziyyatın yanlışlığından deyil, modelin təkmilləşdirilməli və ya dəyişdirilməli olduğundan xəbər verir. Məsələn, Merkurinin periheli presessiyasını Nyutonun cazibə qanunu ilə izah etmək olmaz, lakin bu Eynşteynin mumi nisbilik nəzəriyyəsi ilə dəqiq izah olunur. Eynşteynin bu nəzəriyyəsinin eksperimental təsdiqi onu gstərir ki, Nyutonun cazibə qanunu yalnız bir nv yaxınlaşmadır (lakin gndəlik həyatda hələ də ox dəqiqdir).
Riyaziyyat təbiət elmləri, mhəndislik, tibb, maliyyə, kompter elmi və sosial elmlər də daxil olmaqla bir ox sahə n vacibdir. Riyaziyyatın bəzi sahələri, məsələn, statistika və oyunlar nəzəriyyəsi, onların tətbiqi ilə birbaşa əlaqəli şəkildə inkişaf etdirilir və ox vaxt tətbiqi riyaziyyat adı altında qruplaşdırılır. Digər riyazi sahələr hər hansı bir tətbiqdən asılı olmayaraq inkişaf etdirilir (və buna grə də saf riyaziyyat adlanır), lakin bir ox hallarda onların da praktik tətbiqləri sonralar aşkar edilir.[8][9] Uyğun bir nmunə, tarixi Evklidə qədər gedib ıxan, amma RSA kriptosistemində (kompter şəbəkələrinin təhlkəsizliyi n) istifadə edilməmişdən ncə praktik tətbiqə malik olmayan tamı vuruqlara ayırma problemidir.
Riyaziyyat yazılı qeydlərin mvcud olduğu antik dvrlərdən bəri bəşəri fəaliyyət sahəsi olmuşdur. Bununla belə, "isbat" anlayışı və onunla əlaqəli "riyazi ciddilik" ilk dəfə Yunan riyaziyyatında, xsusilə də Evklidin Başlanğıclar əsərində ortaya ıxır.[10] Riyaziyyat, cəbr və sonsuz kiiklər hesabının əsas riyazi sahələr kimi hesab və həndəsəyə qoşulduğu İntibah dvrnə qədər nisbətən zəif srətlə inkişaf etdi. O vaxtdan bəri riyazi yeniliklər və elmi kəşflər arasındakı qarşılıqlı əlaqə riyazi kəşflərin xeyli dərəcədə artmasına səbəb oldu. 19-cu əsrin sonunda riyaziyyatın əsaslı bhranı aksiomatik metodun sistemləşdirilməsinə səbəb oldu. Bu isə z nvbəsində riyaziyyatın və onun tətbiq sahələrinin sayca kəskin artmasına səbəb oldu; riyaziyyatın altmışdan ox birinci səviyyəli sahəsini qeyd edən blmələr zrə təsnifat bunu təsdiqləyir.
İntibahdan əvvəl riyaziyyat iki əsas sahəyə: ədədlər zərindəki əməllərə həsr olunmuş hesaba və fiqurları yrənən həndəsəyə ayrılırdı. Bu dvrdə riyaziyyatdan xeyli faydalanan numerologiya və astrologiya kimi psevdoelmlər də mvcud idi.
İntibah dvrndə iki əsas sahə meydana ıxdı. Riyazi işarələrin tətbiqi, kobud desək, dsturların yrənilməsi və onlar zərindəki əməllərdən ibarət olan cəbrə gətirib ıxardı. Diferensial və inteqral hesabı, qısaca "kalkyulus" arqumentlərin dəyişməsini və onlar arasındakı əlaqəni modelləşdirən kəsilməz funksiyaların tədqiqidir. Drd əsas sahəyə grə aparılan bu blg 19-cu əsrin sonlarına qədər qvvədə qaldı, baxmayaraq ki, ox vaxt riyaziyyata aid edilən gy mexanikası və bərk cisim mexanikası kimi bəzi sahələr indi fizikaya aid edilir. Həminin, bu dvrdə inkişafda olan bəzi fənlər, ancaq sonralar muxtar sahələr olaraq qəbul edilən ehtimal nəzəriyyəsi və kombinatorika kimi riyaziyyatın (mxtəlif hissələrə blnmş) sahələrindən ncə mvcud idi.
20-ci əsrin əvvəllərində riyaziyyatda mvcud olan istiqamətlər haqqında tarixi Paris Konqresinin blmələrinin siyahısına əsasən fikir syləmək olar. Bu, əsas drd blmədən: hesab və cəbr; analiz; həndəsə; mexanika və riyazi fizika, həminin daha iki: tarix və biblioqrafiya; tədris və metodologiya blmələrindən ibarətdir.
O dvrdən keən zaman ərzində elmdə olan dəyişikliklər barədə masir konqreslərin blmələr siyahısına əsasən məlumat əldə etmək olar: riyazi məntiq və riyaziyyatın əsasları; cəbr; ədədlər nəzəriyyəsi; həndəsə; topologiya; cəbri həndəsə; kompleks analiz; Li qrupu və gstərişlər nəzəriyyəsi; həqiqi və funksional analiz; ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika; xsusi trəməli diferensial tənliklər; adi diferensial tənliklər; riyazi fizika; ədədi sullar və hesablama nəzəriyyəsi; diskret riyaziyyat və kombinatorika; informatikanın riyazi aspektləri; qeyri-fiziki fənlərə riyaziyyatın tətbiqi; riyaziyyat tarixi; riyaziyyatın tədrisi.
Ədədlər nəzəriyyəsinin znəməxsusluğu ondan ibarətdir ki, o elementar kimi grnən bir ox ətin məsələləri həll etmək n təkmil həll metodlarından istifadə edir. Diqqətəlayiq bir nmunə, 1637-ci ildə Pyer Ferma tərəfindən ifadə edilmiş və yalnız 1994-c ildə Endryu Uils tərəfindən kateqoriya nəzəriyyəsi və homoloji cəbrin kməyilə isbat edilən Fermanın son teoremidir. Başqa bir misal, 2-dən byk hər bir ct tam ədədin iki sadə ədədin cəmi olduğunu iddia edən Qoldbax fərziyyəsidir. 1742-ci ildə Xristian Qoldbax tərəfindən bildirilmişdir ki, bu, xeyli səylərə baxmayaraq isbatsız qalır.
Tədqiq olunan problemlərin və həll sullarının mxtəlifliyi baxımından ədədlər nəzəriyyəsi hazırda bir neə alt sahəyə blnr, bunlara analitik ədədlər nəzəriyyəsi, cəbri ədədlər nəzəriyyəsi, ədədlərin həndəsəsi (metod ynml), Diofant tənlikləri və transendent nəzəriyyə (problem ynml) daxildir.
Həndəsə hesab ilə birlikdə riyaziyyatın ən qədim qollarından biridir. O, əsasən lmə və memarlığın ehtiyaclarından ortaya ıxan xətlər, bucaqlar və evrələr kimi formalara aid empirik təriflərlə başlandı.
Əsas yenilik qədim yunanlar tərəfindən isbatların işlənib hazırlanması idi: məsələn, iki uzunluğun bərabər olduğunu lmə ilə yoxlamaq kifayət deyil. Belə bir xassə əvvəllər isbat edilmiş nəticələrdən (teoremlərdən) və əsas xassələrdən (bunlar isbatın (postulatların) predmeti olmaq n ox sadə olduğuna grə zlyndə aydın hesab olunur) mcərrəd əsaslandırma ilə isbat edilməlidir. Btn riyaziyyatın əsasını təşkil edən bu prinsip həndəsə n işlənib hazırlanmış və təqribən miladdan ncə 300-c ildə Evklid tərəfindən Başlanğıclar kitabında sistemləşdirilmişdir.
Nəticədə meydana ıxan Evklid həndəsəsi Evklid mstəvisində (mstəvi həndəsəsində) və (ll) Evklid fəzasında xətlər, mstəvilər və evrələrin kməyilə qurulan fiqurların yrənilməsidir.[b]
Evklid həndəsəsi 17-ci əsrə qədər, Rene Dekartın indi Kartezian koordinatları adlanan şeyi təqdim etməsinə qədər sul və ya əhatə dairəsi dəyişmədən irəliləməyə davam etdi. Bu, paradiqmanın əsas dəyişikliyi idi, nki həqiqi ədədləri xətt paralarının uzunluqları kimi təyin etmək əvəzinə, o, nqtələrin ədədlərdən (onların koordinatlarından) ibarət təsvirindən cəbrdə və daha sonra kalkulusda həndəsi məsələlərdə istifadə etməyə imkan yaradırdı. Bu paralanmış həndəsə yalnız metodları ilə fərqlənən iki hissəyə: sırf həndəsi sullardan istifadə edən sintetik həndəsəyə və koordinat sistemindən istifadə edən analitik həndəsəyə blnr.
Analitik həndəsə yeni fiqurların, xsusən də evrə və xətlərlə əlaqəli olmayan əyrilərin yrənilməsinə imkan verir; bu əyrilər ya funksiyaların qrafiki (tədqiqi diferensial həndəsəni doğurmuşdur) kimi, ya da məchullu tənliklər, ox vaxt polinomial tənliklər (cəbri həndəsənin doğurub) ilə məyyən edilir. Analitik həndəsə artıq fiziki fəzanın modeli olmayan dən byk fəza llərini (dən artıq koordinatı nəzərə almaq kifayətdir) nəzərə almağa imkan verir.
19-cu əsrdə həndəsə srətlə genişləndi. 19-cu əsrin ikinci yarısındakı byk hadisə isə paralellik postulatının imtina olunduğu qeyri-Evklid həndəsələrinin meydana ıxması idi. Bu, Rassel paradoksu ilə yanaşı, yuxarıda qeyd olunan postulatın doğruluğunu şbhə altına almaqla riyaziyyatın təməl bhranının başlanğıc nqtələrindəndir. Bhranın bu cəhəti aksiomatik metodun sistemləşdirilməsi və seilmiş aksiomların doğruluğunun riyazi problem olmadığını qəbul etməklə həll edilmişdir. z nvbəsində, aksiomatik sul ya aksiomların dəyişdirilməsi, ya da fəzanın xsusi evrilmələri zamanı invariant olan xassələri nəzərə almaqla əldə edilən mxtəlif həndəsələrin yrənilməsinə imkan verir. Bu, həndəsənin bir sıra alt sahələri və mumiləşdirmələri ilə nəticələnir:
16-cı əsrdə Jerar Dezarq tərəfindən irəli srlən proyektiv həndəsə, paralel xətlərin kəsişdiyi sonsuzluq nqtələrini daxil edərək Evklid həndəsəsini genişləndirir. Bu, kəsişən və paralel xətlərə fərqli yanaşmadan boyun qaırmaqla, klassik həndəsənin bir ox aspektlərini sadələşdirməyə imkan verir.
59fb9ae87f