Como mencioné en el otro hilo, ajax polling o websockets son tus mejores opciones.
Ajax polling es más sencillo de implementar, consiste en hacer una llamada ajax cada (por ejemplo) 1s para preguntar si la tarea ha terminado. Tu tarea sidekiq debe almacenar en algún lado un flag para indicar que ha finalizado. Si desde tu servidor puedes saber si existe o no el fichero (no sé dónde lo almacenas) no hace falta ningún flag, simplemente miras si el archivo existe o no y lo devuelves a la llamada ajax del cliente.
Websockets es algo más complejo y te lo dejo como ejercicio si quieres :)