Algebra Y Geometria Analitica
Saundra Balock
Il corso ho come scopo di introdurre il linguaggio dell'algebra lineare: spazi vettoriali, applicazioni lineari, forme bilineari, matrici. L'algebra lineare costituisce uno dei linguaggi pi completi ed efficaci della matematica moderna, ed utilizzata in tutti i corsi di matematica pi avanzati, sia applicata che teorica, che si trovano nei corsi di laurea di scienze e di ingegneria. La geometria euclidea nel piano e nello spazio verranno rivisitate sia per fornire alcuni degli esempi pi importanti per comprendere la teoria generale, sia per illustrare alcune applicazioni dell'algebra lineare (come la classificazione delle coniche e delle quadriche). L'ultima parte del corso un'introduzione alla geometria proiettiva, anch'essa come applicazione dell'algebra lineare.
I parte
1. Geometria analitica in R^2 e R^3: vettori liberi e vettori applicati, prodotto scalare, vettoriale e prodotto misto, sistemi di coordinate, piani e rette nel piano e nello spazio. Accenni a curve e superfici.
II parte
6. Autovalori e autovettori, polinomio caratteristico, polinomio minimo.Omomorfismi e matrici diagonalizzabili.
7. Prodotto scalare, spazi vettoriali euclidei, Gram-Schmidt: ortogonalizzazione. Automorfismi ortogonali. Proiezioni ortogonali.
8. Diagonalizzazione delle matrici simmetriche reali. Forme quadratiche reali.
9. Classificazione delle coniche e delle quadriche.
10. (solo per i Corsi di Matematica e SMID) Spazio affine e spazio proiettivo. Piano proiettivo e retta proiettiva reale. Affinita' e proiettivita'. Classificazione proiettiva delle coniche.
Si propone lo studio dei vettori geometrici, delle matrici e delle operazioni relative. Viene sviluppata la teoria dei sistemi lineari. Si considerano la costruzione e lo studio degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Si forniscono le nozioni e i concetti fondamentali riguardanti autovalori e autovettori. Si tratta il prodotto scalare euclideo. Si approfondisce il metodo delle coordinate cartesiane nel piano e nello spazio, anche attraverso il calcolo vettoriale, e con particolari applicazioni allo studio di problemi riguardanti rette, piani, coniche e quadriche.
Il docente si attende una comprensione che non sia limitata al solo enunciato di definizioni e di risultati, e alla risoluzione di esercizi standard, ma sia anche critica, in grado di distinguere differenti tipologie di problemi e di soluzioni, attraverso scelte consapevoli e giustificazione dei procedimenti seguiti.
Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nella scuola secondaria di secondo grado, incluse le nozioni di base di teoria degli insiemi. In maniera particolare si richiede la capacit di saper lavorare con i polinomi, di applicare le principali formule di trigonometria, di risolvere semplici equazioni, di saper utilizzare i metodi della geometria analitica nel piano.
Si intende innanzitutto introdurre lo studente al linguaggio e al rigore necessari per lo studio dei concetti
essenziali inerenti l'Algebra Lineare e la Geometria analitica: fra questi, teoria degli spazi vettoriali,
calcolo matriciale, risoluzione di sistemi lineari, applicazioni lineari, calcolo di autovettori e autovalori,
diagonalizzazione di matrici, rette e piani nello spazio, coniche nel piano e quadriche nello spazio.
Si richiede che lo studente sia in grado di applicare tali concetti e metodi alla risoluzione di problemi
concreti di algebra lineare e di geometria analitica che riguardano lo studio dei pi semplici oggetti
geometrici nel piano e nello spazio.
Lo studente affronter vari aspetti teorici degli argomenti affrontati, affinando le capacit logiche allo
scopo di utilizzare con rigore alcuni significativi metodi dimostrativi. Tali dimostrazioni saranno
presentate in modo tale da cogliere ogni singolo e minimo passaggio necessario al raggiungimento
dell'obiettivo.
Studiando l'Algebra Lineare e la Geometria e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni, lo studente
apprender a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparer che utilizzare un
linguaggio corretto uno dei mezzi pi importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico,
non solo in ambito matematico.
Gli studenti saranno in grado di utilizzare le nozioni, i concetti e le metodologie acquisite nell'ambito degli
studi successivi e verranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti.
Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi
significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente
esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.
Algebra Lineare:
1. Generalit sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine,
iniettivit, suriettivit, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture
geometriche: gruppi, anelli, campi.
2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto
scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante
componenti.
3. I numeri complessi, operazioni e propriet. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri
complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
4. Spazi vettoriali e loro propriet. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi.
Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli
scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz*, dimensione di uno spazio
vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
5. Generalit sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi
lineari, teorema di Rouch-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di
Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle
soluzioni.
6. Determinanti e loro propriet. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata.
Teorema di Binet*. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker*.
7. Applicazioni lineari e loro propriet. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettivit,
suriettivit, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^m,n. Studio delle applicazioni
lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli
autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.
Geometria:
1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni.
Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro
equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Propriet angolari di rette e piani.
Distanze. Fasci di piani.
3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti
ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle
coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di
coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni
e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione
delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.
Esercizi di Algebra Lineare
1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della semplicit di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando
possibile, una base di autovettori.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del
parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.
4. Esercizi su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte,
restrizioni ed estensioni.
Esercizi di Geometria
1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarit, distanze, proiezioni
ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, gi assegnato oppure da determinare. Studio completo di una
conica. Coniche sotto condizione.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica
intersezione di una quadrica con un piano.
Sono richieste le nozioni di base di algebra, geometria, geometria analitica, trigonometria, meccanica, termodinamica, elettricit e magnetismo previste nei programmi scolastici delle classi medie e medie superiori.
Gli studenti regolarmente iscritti alla prova secondo le modalit previste dal sistema VOL riceveranno tramite posta elettronica istituzionale istruzioni specifiche riguardanti i dettagli organizzativi subito dopo la chiusura ufficiale delle iscrizioni alla prova stessa.
Il colloquio integrativo verifica che gli studenti abbiano recuperato eventuali lacune emerse dalla prova scritta e completa la valutazione attraverso la verifica della preparazione su argomenti eventualmente non presenti nella prova scritta. La votazione finale, complessiva sulla prova scritta e orale, espressa in trentesimi ed eventuale lode.
4a15465005