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[Harold Yengo]

Análise Matemática 1 Exercícios Resolvidos

Análise matemática é o ramo da matemática que estuda as funções, os limites, as derivadas, as integrais, as séries e as equações diferenciais. É uma disciplina fundamental para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, da física, da engenharia e das ciências aplicadas.

Neste artigo, vamos apresentar alguns exercícios resolvidos de análise matemática 1, que abordam os seguintes tópicos:

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• Lógica e demonstração matemática

• Funções reais de uma variável real

• Limites e continuidade

• Derivadas e aplicações

• Primitivas e integrais

Os exercícios foram retirados de três fontes diferentes, que podem ser consultadas para mais detalhes e explicações:

• [MERGULHAR NA ANALISE MATEM ATICA 1 - UP]

• [ANÁLISE MATEMÁTICA I - ULisboa]

• [ANÁLISE MATEMÁTICA 1 EXERCíCIOS - PDF Download grátis]

Lógica e demonstração matemática

Nesta seção, vamos resolver alguns exercícios sobre as técnicas básicas de demonstração matemática, como o uso de tabelas-verdade, o princípio da contradição, o princípio da indução finita e o método da contrapositiva.

Exercício 1

Sejam P e Q duas proposições. Complete a tabela com F para falso e V para verdadeiro.

P Q P Q P Q P = Q P Q ------------------------------------ V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V

Fonte: [MERGULHAR NA ANALISE MATEM ATICA 1 - UP], Capítulo 1, Exercício 1.1.

Exercício 2

Demonstre por contradição que 2 é irracional.

Solução: Suponha por absurdo que 2 seja racional. Então existem dois números inteiros a e b tais que 2 = a/b, onde a e b são primos entre si. Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, obtemos:

$$2 = \fraca^2b^2$$

Multiplicando por b, temos:

$$2b^2 = a^2$$

Isto implica que a é par, pois é divisível por 2. Logo, a também é par, pois se fosse ímpar, o seu quadrado também seria ímpar. Assim, podemos escrever a = 2k, para algum inteiro k. Substituindo na equação anterior, temos:

$$2b^2 = (2k)^2$$

Dividindo por 2, obtemos:

$$b^2 = 2k^2$$

Isto implica que b é par, e portanto b também é par. Mas isto contradiz o fato de que a e b são primos entre si, pois ambos têm o fator comum 2. Logo, a suposição inicial de que 2 é racional é falsa, e concluímos que 2 é irracional.

Fonte: [ANÁLISE MATEMÁTICA I - ULisboa], Capítulo I, Exercício 1.1.

Exercício 3

Demonstre por indução finita que, para todo n N, vale a seguinte igualdade:

$$1 + 2 + 3 + ... + n = \fracn(n+1)2$$

Solução: Para demonstrar por indução finita, devemos verificar dois passos:

• Passo base: Mostrar que a igualdade é válida para n = 1. De fato, temos:

$$1 = \frac1(1+1)2$$

• Passo indutivo: Supor que a igualdade é válida para algum n 1 e mostrar que ela também é válida para n + 1. Ou seja, supor que:

$$1 + 2 + 3 + ... + n = \fracn(n+1)2$$

• e provar que:

$$1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = \frac(n+1)(n+2)2$$

Para isso, basta somar (n+1) em ambos os membros da hipótese de indução e simplificar os termos, obtendo:

$$\beginalign* 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) &= \fracn(n+1)2 + (n+1) \\ &= \fracn(n+1) + 2(n+1)2 \\ &= \frac(n+1)(n+2)2 \endalign*$$

Portanto, a igualdade é válida para n + 1, e o passo indutivo está concluído. Logo, pela indução finita, a igualdade é válida para todo n N.

Fonte: [ANÁLISE MATEMÁTICA 1 EXERCíCIOS - PDF Download grátis], Exercício 4.

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