こんにちは
面積を求めることができないというのは、一般的な求める方法がわからないということでしょうか?
それともフィールド計算機を使っても、面積が求められないということでしょうか?
QGISの操作に関しては、こちらが参考にあると思います。
GIS実習オープン教材 -基本的な空間解析-
フィールド計算機を使って面積が得られない場合は、ポリゴンに問題があるように思います。
すぐに思い浮かぶのは、一見ポリゴンのようにみえていてもラインだったり、ポリゴンにジオメトリエラーがあったりすることです。
ジオメトリエラーについては、プロセッシングツールの「ベクタジオメトリ - 有効性チェック」で確認できます。
エラーがあった場合は、プロセッシングツールの「ベクタジオメトリ - ジオメトリの修復」を使うと良いように思います。
それと蛇足かもしれませんが、CRSは投影系をお使いください。
地理座標系(緯度経度)ですと面積は出てきますが、非常に小さい値になってしまいます。