こんにちは
福岡さんもおっしゃっていますが、レイヤの CRS を変換するには再投影を
行う必要があります。ラスタデータの場合、「再投影 (warp)」ツールです。
なお XYZ Tiles 形式の背景地図は再投影することができません。
『G空間情報センターが公開した地図データ』が具体的に何かはわかりませんが、
ベクタデータであれば、再投影のツールは「レイヤの再投影」です。
なお、距離や面積を計測する方法として、以下があると思います。
・ QGIS の計測ツールでマウス操作で範囲を指定する方法
・ラインやポリゴンレイヤを作成し、計測範囲に地物を作成し計算する方法
この、いずれの方法でも、 CRS に関わらず正確に計算されます。
計測ツールだと『回転楕円体』、ベクタレイヤだとフィールド計算機の式の
$length や $area で、 CRS に依存しない地球上の距離や面積の値となります。