中途半端な投稿になります。申し訳ありません。
ご質問を読んで、おそらく国土数値情報の標高・傾斜度のデータだと思い、5次メッシュをダウンロードして試してみました。
まず、メッシュについては1つずつ選択できました。そのためトラブルを再現できず何とも言えない状況です。
次にメッシュの統合です。最初は簡単に考えていて、「ベクタ - 空間演算ツール - 融合」で処理できるかと思いましたが、うまくいきませんでした。
次の図はボーダースタイルをペン無しにして拡大したものです。もしかするとポリゴンの間が微妙に空いていて、それが邪魔しているのまもしれません。

これをなんとかしようとして、プロセッシングツールのv.cleanなどを試していますが、思わしい結果を得られていません。もう少し試行錯誤しようと思っています。
ただ、例に示されたような長方形のポリゴンを得るだけでしたら「ベクタ - 空間演算ツール - 凸包」で大丈夫でした。