Os projetos do QGIS guardam o caminho relativo, desde que os arquivos estejam na mesma pasta do projeto (e não estejam dentro de alguma subpasta) ele vai abrir normalmente, basta configurar em Projetos > Propriedades do projeto aba geral

Lembrando, se o seu dado estiver dentro de alguma subpasta, ele vai apontar o erro.
Nesse caso há duas soluções:
1: Após o projeto aberto, mudar cada um dos endereços manualmente...
2: O projeto do QGIS pode ser aberto e editado em um editor de texto como o NOTEPAD, NOTEPAD++ (windows), VI, VIM, GEDIT (UNIX), sendo assim, vc pode mandar o bloco de notas substituir o caminho que não existe mais pelo novo caminho.
Sei que esse é um pouco mais complicado de se fazer, mas resolve a questão bei mais rápido que, dependendo da quantidade de arquivos, editar na mão cada um deles..