Cymesuredd Ca2

[Akinlolu Watters]

Mewniaith gyffredin cyfeiria cymesuredd at synnnwyr o gyfartaledd a chydbwysedd. Mewn mathemateg mae iddo ystyr fwy pendant, sef bod gwrthrych yn sefydlog i drawsnewidiad, megis adlewyrchiad, ond hefyd mathau eraill o drawsnewdiad.

Ceir sawl math elfennol o gymersuredd gan gynnwys cymersuredd drwy: raddfa, adlewyrchiad, cylchdro a chymesuredd ffwythiannol. Ceir mathau gwahanol o gymesuredd hefyd mewn cerddoriaeth, iaith, gwrthrychau haniaethol, modelu mathemategol theori a hyd yn oed gwybodaeth.[1] Gellir ei ganfod o fewn gwrthrychau pob dydd megis person, crisialau, cwilt ar wely, teils ar lawr, adeiladau, moleciwlau neu o fewn y byd natur ac o fewn gwrthrychau haniaethol megis fformiwlu mathemategol.

Mae'r erthygl hon yn disgrifio cymesuredd o dri safbwynt: mewn mathemateg, gan gynnwys geometreg, y math cymesuredd mwyaf cyfarwydd i lawer o bobl; mewn gwyddoniaeth a natur; ac yn y celfyddydau, gan gwmpasu pensaernaeth, celf a cherddoriaeth.

Mae sip neu wrthrych geometrig yn gymesur os gellir ei rannu'n ddau neu ragor o ddarnau sy'n union yr un fath ac sydd wedi eu gosod mewn dull trefnus.[2] Mae hyn yn golygu bod gwrthrych yn gymesur os oes trawsnewidiad sy'n symud darnau unigol o'r gwrthrych, ond nad yw'n newid y sip cyffredinol.[3] Thus, a symmetry can be thought of as an immunity to change.[4] Mae'r math o gymesuredd yn cael ei bennu gan y ffordd y mae'r darnau wedi'u trefnu, neu yn l y math o drawsnewidiad:[5]

Gan ddilyn o gymesuredd geometregol yr adran flaenorol, gellir dweud bod gwrthrych mathemategol yn gymesur o ran gweithrediad mathemategol penodol, os yw'r gweithrediad hwn, pan gaiff ei gymhwyso i'r gwrthrych, yn cadw rhywfaint o eiddo'r gwrthrych fel ag y mae.[18] Mae'r set o weithrediadau sy'n gwarchod eiddo penodol y gwrthrych yn ffurfio grŵp.

Yn gyffredinol, bydd gan bob math o strwythur mewn mathemateg ei fath ei hun o gymesuredd. Ymhlith yr enghreifftiau mae eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannnau mewn calcwlws, grwpiau cymesur mewn algebra haniaethol, matricsau cymesur mewn algebra llinol, a grwpiau Galois yn theori Galois. Mewn ystadegau, mae cymesuredd hefyd i'w gael fel symmetric probability distributions, ac fel sgiwedd - anghymesuredd dosraniadau.[19]

Mae cymesuredd mewn ffiseg wedi'i gyffredinoli i olygu cysondeb - hynny yw, diffyg newid - o dan unrhyw fath o drawsnewidiad, er enghraifft trawsnewidiadau mympwyol cydlynu (arbitrary coordinate transformations).[20] Mae'r cysyniad hwn wedi dod yn un o offer mwyaf pwerus ffiseg ddamcaniaethol, gan ei bod wedi dod yn amlwg bod bron pob deddf natur yn tarddu o gymesuredd. Mewn gwirionedd, ysbrydolodd y rl hon yr enillydd Nobel PW Anderson i ysgrifennu yn ei erthygl 1972, More is Different, a ddarllenwyd yn eang, "nad yw ond yn gor-ddweud yr achos i ddweud mai ffiseg yw'r astudiaeth o gymesuredd." [21] Gweler theorem Noether (sydd, ar ffurf symlach iawn, yn nodi, ar gyfer pob cymesuredd mathemategol parhaus, ceir yr un faint cyfatebol wedi'i gadw fel egni neu fomentwm; cerrynt wedi'i gadw;[22] mae dosbarthiad Wigner, hefyd yn dweud bod cymesuredd deddfau ffiseg yn pennu priodweddau'r gronynnau a geir ym myd natur.[23]

Mewn bioleg, defnyddir y syniad o gymesuredd yn bennaf i ddisgrifio siapiau'r corff. Mae anifeiliaid bilateria, gan gynnwys bodau dynol, yn gymesur fwy neu lai o ran yr plan sagittal sy'n rhannu'r corff yn haneri chwith a dde.[24] O reidrwydd mae gan anifeiliaid sy'n symud i un cyfeiriad ochrau uchaf ac isaf, pen a chynffon, ac felly chwith a dde. Mae'r pen wedi arbenigo gydag organau ceg a synnwyr, ac mae'r corff yn dod yn gymesur yn ddwyochrog at bwrpas symud, gyda pharau cymesur o gyhyrau ac elfennau ysgerbydol, er bod organau mewnol yn aml yn anghymesur.[25]

Yn aml mae gan blanhigion ac anifeiliaid digoes (ynghlwm) fel anemoni mr gymesuredd reiddiol neu gylchdro, sy'n addas iddyn nhw oherwydd gall bwyd neu fygythiadau gyrraedd o unrhyw gyfeiriad. Mae cymesuredd pum gwaith i'w gael yn yr echinoderms, y grŵp sy'n cynnwys sr mr, a lili'r mr.[26]

Mewn bioleg, defnyddir y syniad o gymesuredd hefyd fel mewn ffiseg, hynny yw i ddisgrifio priodweddau'r gwrthrychau a astudiwyd, gan gynnwys sut mae nhw'n rhyngweithio. Eiddo rhyfeddol esblygiad biolegol yw'r newidiadau cymesuredd sy'n cyfateb i ymddangosiad rhannau a dynameg newydd.[27][28]

Mae cymesuredd yn bwysig i gemeg oherwydd ei fod yn seilwaith i bob rhyngweithiad penodol rhwng moleciwlau y byd natur. Mae rheoli cymesuredd moleciwlau a gynhyrchir mewn synthesis cemegol modern yn cyfrannu at allu gwyddonwyr i gynnig ymyriadau therapiwtig gyda'r sgl-effeithiau lleiaf posibl. Drwy ddealltwriaeth drylwyr o gymesuredd gellir egluro arsylwadau sylfaenol mewn cemeg cwantwm, ac ym myd sbectrosgopeg a grisialeg. Mae theori a chymhwyso cymesuredd i'r meysydd hyn o wyddor gorfforol yn tynnu'n helaeth ar faes mathemategol theori grŵp.[29]

I arsylwr dynol, mae rhai mathau o gymesuredd yn fwy amlwg nag eraill, yn enwedig adlewyrchiad ag echelin fertigol, fel yr un sy'n bresennol yn yr wyneb dynol. Gwnaeth Ernst Mach yr arsylwad hwn yn ei lyfr "The analysis of sensations" (1897)[30]. Mae astudiaethau o ymddygiad a niwroffisioleg wedi cadarnhau'r sensitifrwydd arbennig i gymesuredd adlewyrchu mewn pobl ac mewn anifeiliaid eraill.[31] Awgrymodd astudiaethau cynnar yn nhraddodiad Gestalt fod cymesuredd dwyochrog yn un o'r ffactorau allweddol mewn grwpio canfyddiadol. Gelwir hyn yn Gyfraith Cymesuredd. Cadarnhawyd rl cymesuredd mewn grwpio a threfnu ffigyrau / daear mewn llawer o astudiaethau.[32] Mae astudiaethau o ganfyddiad dynol (human perception) a seicoffiseg wedi dangos bod canfod cymesuredd digwydd yn gyflym ac yn effeithlon. Er enghraifft, gellir canfod cymesuredd o fewn 100 a 150 milieiliad.[33]

Mae astudiaethau niwroddelweddu mwy diweddar wedi dogfennu pa ranbarthau'r ymennydd sy'n weithredol yn ystod canfyddiad cymesuredd. Defnyddiodd Sasaki et al.[34] i ddelweddu cyseiniant magnetig swyddogaethol (fMRI) i gymharu ymatebion ar gyfer patrymau dotiau cymesur neu hap. Roedd gweithgaredd cryf yn bresennol mewn rhanbarthau allwthiol o'r cortecs occipital ond nid yn y cortecs gweledol cynradd. Roedd y rhanbarthau allwthiol yn cynnwys V3A, V4, V7, a'r occipital ochrol (LOC). Mae astudiaethau electroffisiolegol wedi canfod l-negyddoldeb hwyr sy'n tarddu o'r un ardal.[35] Yn gyffredinol, ymddengys bod rhan fawr o'r system weledol yn ymwneud phrosesu cymesuredd gweledol, ac mae'r meysydd hyn yn cynnwys rhwydweithiau tebyg i'r rhai sy'n gyfrifol am ganfod a chydnabod gwrthrychau.[36]

Mae pobl yn arsylwi natur cymesuredd, gan gynnwys cydbwysedd anghymesur yn aml, a hynny mewn amrywiaeth o gyd-destunau cymdeithasol. Mae'r rhain yn cynnwys asesiadau o ddwyochredd, empathi, cydymdeimlad, ymddiheuriad, deialog, parch, cyfiawnder a dial. Ceisir cyrraedd rhyw 'ecwilibriwm myfyriol', sy'n gydbwysedd mewnol trwy addasu dros amser. Mae rhyngweithiadau cymesur yn anfon y neges foesol "rydyn ni i gyd yr un fath" tra gall rhyngweithiadau anghymesur anfon y neges "Rwy'n arbennig; gwell na chi." Mae perthnasoedd cyfoedion, fel y gellir eu llywodraethu gan y rheol euraidd, yn seiliedig ar gymesuredd, ond mae'r cam-ddefnydd o bŵer yn seiliedig ar anghymesuredd.[37] Gellir cynnal perthnasoedd cymesur i ryw raddau trwy strategaethau syml (theori gm) a welir mewn gemau cymesur fel tit for tat.[38]

Mae cymesuredd yn canfod ei ffyrdd i mewn i bensaernaeth ar bob graddfa, o olygfeydd allanol cyffredinol adeiladau fel eglwysi cadeiriol Gothig a'r Tŷ Gwyn, trwy'r cynlluniau llawr unigol, ac i lawr i ddyluniad elfennau adeiladu unigol fel brithwaith teils neu frics. Mae adeiladau Islamaidd fel y Taj Mahal a mosg Lotfollah yn gwneud defnydd cywrain o gymesuredd yn eu strwythur ac yn eu haddurniadau.[39][40] Felly hefyd nifer o adeiladau mwyaf y 20g yng Nghaerdydd a'r Llyfrgell Genedlaethol.[41]

Ers y defnydd cynharaf o'r olwyn bwrw clai mewn crochenwaith, cynhyrchwyd i helpu i siapio llestri a photiau clai, mae cymesuredd wedi bod yn rhan annatod a chreiddiol o fewn crochenwaith. Gyda'r olwyn glai, cafwyd llestri gyda chymesuredd cylchdro llawn yn ei groestoriad, gan ganiatu rhyddid sip sylweddol i'r cyfeiriad fertigol.

Defnyddiodd y Tsieineaid hynafol, er enghraifft, batrymau cymesur yn eu castiau efydd mor gynnar 'r 17g CC. Roedd cychod efydd yn arddangos prif fotiff dwyochrog a dyluniad ffin wedi'i gyfieithu ailadroddus.

Dywedwyd mai dim ond penseiri gwael sy'n dibynnu ar "gynllun cymesur blociau, masau a strwythurau";[42] mae pensaernaeth fodern, gan ddechrau gydag arddull Ryngwladol, yn dibynnu 'n hytrach ar "adenydd a chydbwysedd masau".[42]

Mae traddodiad hir o ddefnyddio patrymau cymesuredd mewn carpedi a ryg, a hynny mewn llawer o ddiwylliannau. Defnyddiodd Indiaid Americanaidd Navajo groeslinau beiddgar a motiffau hirsgwar. Mae gan lawer o rygiau Dwyreiniol batrymau cywrain lle mae cymesuredd yn amlwg. Nid yw'n syndod bod gan rygiau hirsgwar gymesuredd petryal nodweddiadol - hynny yw, motiffau sy'n cael eu hadlewyrchu ar draws yr echelinau llorweddol a fertigol.[43][44]

Mae cymesuredd wedi cael ei ddefnyddio fel cyfyngiad ffurfiol gan lawer o gyfansoddwyr, megis y ffurf bwa (chwyddo) (ABCBA) a ddefnyddir gan Steve Reich, Bla Bartk, a James Tenney. Mewn cerddoriaeth glasurol, defnyddiodd Bach gymesuredd yn helaeth.[45]

Mae dilyniannau tonyddol cylchol yng ngweithiau cyfansoddwyr Rhamantaidd fel Gustav Mahler a Richard Wagner yn ffurfio dolen ag olyniaeth traw cylchol yng ngherddoriaeth atonaidd Modernaidd fel Bartk, Alexander Scriabin, Edgard Varse, ac ysgol Fienna.[46][47]

Mae cymesureddau yn ymddangos wrth ddylunio gwrthrychau o bob math. Ymhlith yr enghreifftiau mae gwaith gleiniau, dodrefn, paentiadau tywod, clymau Celtaidd, croesau Celtaidd masgiau ac offerynnau cerdd. Mae cymesureddau yn ganolog i gelf MC Escher a'r nifer o gymwysiadau brithwaith mewn ffurfiau celf a chrefft fel papur wal, gwaith teils ceramig fel mewn addurn geometrig Islamaidd, batik, ikat, carpedi, a sawl math o batrymau tecstilau a brodwaith.[48]

3a8082e126