Dúvida sobre raízes complexas de polinômio

[Juliana Chagas]

Olá colegas!

Hoje, dando aula surgiu uma dúvida. Sei que dado um polinômio p(x), se z (complexo) é raiz do polinômio, o conjugado de z também é. Isso só é válido para polinômios com coeficientes reais? Porque ao resolver um questão cujos coeficientes do polinômio não eram todos reais, não deu certo. Alguém saberia me explicar?

 

Juliana Chagas

[João Batista Nascimento]

Olá Juliana Chagas     Quando se conjuga todo um polinômio, obtemos outro em z barra em que os coeficientes são dos cojugados dos coeficiente originais. Caso os coeficientes sejam reais, fica o mesmo. Porém se algum não for real os polinômios são distintos. Att. Prof. João Batista

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[Bianca Coloneze]

Olá Juliana e colegas,

 

Realmente os coeficiente precisam ser todos reais para poder usar que se um complexo é raiz, seu conjugado tb será.

 

Segue em anexo a demosntração, é bem simples. Bata tomar um polinomio de grau n, usar que z é raiz (colocar z no lugar de x e igualar a zero). Depois tomar o comjugado em ambos os lados, usar as propriedades do conjugado de soma e produto e depois que vem o pq de a precisar ser real:

 

note que da passagem 2 para a 3 (em destaque) foi usaddo que o conjugado de cada coeficiente a é igual ao próprio a e isso só pode ser feito pq a é real. (se  a não fosse ele nao seria igual ao seu conjugado e o polinomio mudaria).

 

Espero ter ajudado.

 

Abraços a todos,

Bianca Coloneze

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[Antonio Noel Filho]

Juliana o Teorema diz: " Se um número complexo (a+bi) é raiz de um polinômio P(x) de coeficientes reais, então o número complexo (a-bi) também é raiz do mesmo polinômio." A prova deste teorema é muito fácil, se você quiser te envio. Para verificar que não vale para coeficientes complexos, basta pegar o polinômio P(x) = (1+i)x + 1 e calcular f(1+i) e f(1-i), que darão resultados diferentes.

 Noel

 

 

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Date: Thu, 9 Jun 2011 18:23:26 -0700
From: jsbc...@yahoo.com.br
Subject: [Profs Mat:3821] Dúvida sobre raízes complexas de polinômio
To: pro...@googlegroups.com

Olá colegas!

Hoje, dando aula surgiu uma dúvida. Sei que dado um polinômio p(x), se z (complexo) é raiz do polinômio, o conjugado de z também é. Isso só é válido para polinômios com coeficientes reais? Porque ao resolver um questão cujos coeficientes do polinômio não eram todos reais, não deu certo. Alguém saberia me explicar?

 

Juliana Chagas