Números Irracionais e Racionais

[Eliel Braga Ines]

Colegas, boa noite!!!

 

É possível representar um número irracional em forma de racional??

Se sim, como??? Se não, por que???

 

Eliel.

[Antonio Dionisio]

Bom dia Eliel,

Por definição, todo número racional deve ser uma razão entre dois números inteiros, ou seja, números que podem ser escritos na forma a/b onde a e b são primos entre si (isto é, fração na forma irredutível) e b é diferente de zero.

Não é possível representar um número irracional desta forma. Os irracionais são definidos como todo número não racional, dentro do domínio dos números reais, ou seja, dentro do conjunto dos números reais.

Veja, por exemplo, este número:

Há várias demonstrações de que ele nãopode ser racional, ou seja, é irracional.
Se achar que deva clique neste link...  http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada_de_dois  ...

Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas como  0,01001000100001...  ,   2,32332333233332... são números irracionais.

Espero ter explicado... Abração.

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Atenciosamente,
Antonio Neto Dionisio.

[Renato Matemático]

Oi, Eliel

Se é para representar em forma de fração, não é possível justamente
pela definição de número irracional. A menos que você trabalhe com
margem de erro, limitando seu número de casas decimais, daí você pode
aproximar um número irracional de um racional.
Não sei se entendi a sua pergunta.

Abraços.

[leonardo pires]

Acredito que não seja possível representar um número irracional em forma de racional (até porque se isto fosse possível o número seria racional). O que dá pra fazer é representar um número irracional em frações contínuas. Por exemplo o pi possui uma representação em frações contínuas.
Procure por esse assunto: Frações Contínuas.

Em 24 de junho de 2010 23:39, Eliel Braga Ines <eliel...@ig.com.br> escreveu:

--

[Luiz Antonio Romão]

Caro colegas, aproveitando este espaço lhes pergunto: a dizima periódica 0,99999999 ...  é um número inteiro ou um número < 1 ?

[Antonio Dionisio]

Bom dia Luiz,

Na forma em que este número esta representado, não. Ele é <1 por qualquer circunstância, porém existem livros que trazem que 1=0,99999999999...! O que querem dizer na verdade é que 0,99999999... pode ser uma ótima aproximação para 1, dependendo apenas do propósito da representação e utilização destes números. Mais rigorosamente,

Dado um número α=0,9999...=9/10+9/100+9/1000+...

Afirma-se que α =1. De fato, os os valores aproximados de α₁=0,9; α₂=0,99; α₃=0,999; etc, podem tornar-se tão pequenos quanto queiramos, fazendo 1 - α₁=0,1; 1 - α₂=0,01; 1 - α₂=0,001 e, em geral, 1 - α_n=10^-n. Então, tomando n suficientemente grande, a diferença acima pode torna-se tão pequena quanto desejemos. Ou seja, os números α=0,99...9 são valores cada vez mais aproximados de 1, ou seja, têm 1 como seu limite. (Matemática do ensino médio - Elon Lima)

Espero ter esclarecido... Abração...

Atenciosamente,
Antonio Neto Dionisio.

[Wellerson Quintaneiro da Silva]

α = 0,999... NÃO é uma ótima aproximação de 1, mas sim igual a 1.

Podemos usar o argumento do colega para justificar tal igualdade, pois se considerássemos, por exemplo, que fosse menor do que 1, pela densidade de R existiria β real (fixo) tal que α < β <1. Isso é um absurdo já que como o próprio colega afirmou podemos observar α tal próximo de 1 quanto queiramos.

Só por curiosidade esse tipo de representação (com 0,...999...) é o que quebra a injetividade da correspondência entre as expressões decimais e os números reais. Isto é, o número “um” tem duas representações decimais “1” e “0,999...” (Matemática do ensino médio - Elon Lima).

É bom ressaltar que a questão aqui proposta já apareceu em diversos vestibulares, concursos para professores aqui no Rio e numa prova de seleção para o mestrado em Ensino de Matemática da UFRJ. Essas fontes também podem ser observadas, a fim de analisar as soluções e gabaritos propostos pelas bancas.

Abs a tod@s

Wellerson

Wellerson Quintaneiro
Mestre em Ensino de Matemática (UFRJ)
Professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico do Cefet - RJ
https://sites.google.com/site/wellersonquintaneiro/

[Sonia Igliori]

Colegas

0,9999...é tanto igual a 1 quanto 0,333... é igual a 1/3. É interessante observar que a segunda igualdade dificilmente traz dúvida, e na primeira com muita frquência. no entanto as situações são identicas.

Bem a admissão de que 0,99999..é menor que 1 é um obstáculo já levantando nas pesquisas de Tall e outros, trata-se de se considerar que um limite se aproxima do resultado e não que o limite  é igual ao resultado.  

Uma forma interessante de se convencer de que 0,999...e 1 são representações distintas do mesmo número é buscar arrumar um número entre os dois se se está na suposição de que 0,99...é menor que 1.

saudações

Sonia Igliori

[Vitor Tinoco]

Todo número racional pode ser representado na forma de dízima periódica, já os irracionais, escritos na forma decimal, são dízimas não periódicas. 0,999... = 1 0,24999... = 2,5 -1,2999...=1,3 --- Em sáb, 26/6/10, Wellerson Quintaneiro da Silva <wellers...@ig.com.br> escreveu:

[João Batista Nascimento]

Olá Antonio Dionisio  e Todos   Note que o seu argumento é que tal seqüência não pode ser maior do que 1 e nem menor, portanto teria que ser igual a 1. De onde saiu essa certeza???   Perceba que isso é o fundamento de toda teoria de limite que produz todo o cálculo Newtoniano-Leiniziano.   Att. Prof. João Batista

De: Antonio Dionisio <antoni...@gmail.com> Assunto: Re: [Profs Mat:1327] Números Irracionais e Racionais Para: pro...@googlegroups.com

[leonardo pires]

1 = 0,9 + 0,09 +0,009 +.... ou seja, se você olhar a soma da série; 0,9999999.... é exatamente 1 logo inteiro, mas se olhar para as somas parciais 0,9; 0,9999999;   0,999999999999999999; ai trata-se de uma aproximação por falta do número 1 logo um racional (pois é dizima) menor que 1. 

[vinicius Garcia]

Caros colegas, a pergunta foi: se um número irracional pode ser escrito na forma de racional. a resposta é simples : não pois se vc consegue escrever na forma de racional o numero não é irracional. e quanto a 0,999...(que é racional) podemos ver da seguinte forma: 0,99999... = 3 x 0,33333.... = 3 x 1/3 = 3/3 =1
ou então
fazendo x=0,999...(1)
10x= 9,999....(2)
fazendo (2)-(1)
9x=9
daí
x=9/9=1
acho que está claro, e não tem pq tanta discurs]ao
 

---

Date: Sun, 27 Jun 2010 10:34:11 -0700
From: joaobatist...@yahoo.com.br
Subject: [Profs Mat:1331] Números Irracionais e Racionais e fundamentos da matemática
To: pro...@googlegroups.com

---

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[Victor Giraldo]

Caros colegas,
Considerar que 0,999.... < 1 é um erro comum e grave. Como várias
pessoas já comentaram, podemos verificar formalmente, com argumento de
convergência de séries que 0,999.... = 1.
Acredito que este erro tenha a ver com a confusão entre o limite de
uma sequência e os termos da sequência. No caso, 0,99999... é o limite
da sequência cujos termos são x_n = 0,99...9 (com um número n FINITO
de casas decimais). Assim, esse limite é um número fixo, igual a 1, e
não uma aproximação para 1. Os temos da sequência é que se aproximam
desse limite, o limite em si não se aproxima de nada, ele está parado,
é um ponto na reta, igual a 1!
Outra maneira, menos formal, de ajudar os alunos a perceber este fato
é o seguinte argumento. Se 0,9999... e 1 fosse números diferentes,
então teria que existir um número real situado estritamente entre
esses dois. Seria possível existir tal número?
abraços, Victor

2010/6/26 leonardo pires <00leo...@gmail.com>:

[Ana Teresa]

Considero que a explicação de Victor, com justificativa, está perfeita e
di´datica. Destaco que a última parte do que ele escreve está ao alcance dos
alunos, e contribui muito para a compreensão do fato em questão.
Abraços

Profa. Dra. Ana Teresa de C. C. de Oliveira
Faculdade de Educação da UFRJ-FE/UFRJ
Avenida Pasteur, 250-URCA CEP 22290-902 Tel:(21)2295-3246
Mestrado em Ensino de Matemática-PEMAT/IM/UFRJ

[Luiz Antonio Romão]

Gostaria de agradecer as várias explicações.

Mas observem um detalhe, de um simples problema, surgiram inúmeras explicações.

Obrigado por compartilhar vossos conhecimentos com a comunidade. Forte abraço em todos.

[Antonio Dionisio]

João,

Acredito que nossos colegas tenha respondido a questão sobre minha certeza, dando vários exemplos e falando sobre vários métodos para mostrar que 1=0,999999..., inclusive e bem colocado, o que disse Vinicius Garcia... No entanto, eu disse que depende somente do propósito a necessidade de tal definição.

E, ainda, concordo com Vinicius no sentido de que "Pronto! Esta definido, pra que complicar?". É por isso que amo matemática, "ou é ou é"...

Obrigado a todos e desculpas se causei alguma controvérsia...

[Marco A. P. Cabral]

Oi Victor,

juntando os contatos que vcs tem na comunidade internacional da EM, voces
nao pensaram em fundar uma revista (eletr�nica?) de Educa��o Matem�tica?

Acho que existe um espa�o grande e temos, no Rio de Janeiro, massa critica
suficiente.

Acho que temos como montar um corpo editorial de alto nivel, financiamento
via FAPERJ e ser disponibilizada livremente pela internet.

Facilmente poderia ser nivel A na CAPES.

Deveriamos ser EXCLUSIVAMENTE em ingles, para ter inser��o internacional.

Voces ja pensaram nisso?

Abs

Lelo

[Gilda de La Rocque]

Bom dia Lelo
 
Acho a sua idéia excelente.
 
No entanto, peço que reconsidere a sugestão de "ser EXCLUSIVAMENTE em ingles, para ter inserção internacional". 
 
Do meu ponto de vista, ter inserção nacional é mais importante do que ter inserção internacional. Pelo menos, uma revista dessas deveria dar espaço para uma "fala" dos e para os professores que não dominam o ingles (principalmente técnico), e que muito poderiam contribuir e se beneficiar de reflexões cuidadosas sobre a matemática e a sua prática docente.
 
Um abraço Gilda
 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
> Date: Mon, 28 Jun 2010 19:46:37 -0300
> Subject: [Profs Mat:1344] Revista de EM
> From: mca...@labma.ufrj.br
> To: pro...@googlegroups.com

>
> Oi Victor,
>
> juntando os contatos que vcs tem na comunidade internacional da EM, voces

> nao pensaram em fundar uma revista (eletrônica?) de Educação Matemática?
>
> Acho que existe um espaço grande e temos, no Rio de Janeiro, massa critica

> suficiente.
>
> Acho que temos como montar um corpo editorial de alto nivel, financiamento
> via FAPERJ e ser disponibilizada livremente pela internet.
>
> Facilmente poderia ser nivel A na CAPES.
>

> Deveriamos ser EXCLUSIVAMENTE em ingles, para ter inserção internacional.

>
> Voces ja pensaram nisso?
>
> Abs
>
> Lelo
>
>

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[Léa Mello]

A idéia é excelente, mas opto pela sugestão da Gilda, pois temos excelentes trabalhos que carecem de divulgação nacional.

Abs,

Léa Mello

[Vinicius Mano]

Olá pessoal. Deixem-me dar minha humilde opinião em meio a tantos grandes nomes da EM.

Acho também uma excelente idéia, especialmete porque o RJ tem grande produção na área, e carece de boa divulgação, especiamente para que os professores que não tem acesso aos congressos possam acompanhar as pesquisas. 

Quanto ao idioma, também acho importante o português, para que todos possam ler. Mas por quê não fazê-la em duas versões: uma em português e outra em inglês? Uma vez que os artigos estão prontos, certamente que o mais difícil não será traduzí-los...

Abraços a todos...

 

Vinícius Mano

Colégio de Aplicação/UCP

Escola SESI

Mestrando em Ensino de Matemática/UFRJ

---

From: Léa Mello <leag...@gmail.com>
To: pro...@googlegroups.com
Sent: Tue, June 29, 2010 8:54:25 AM
Subject: Re: [Profs Mat:1346] Revista de EM

[Eduardo Sarquis Soares]

Pessoal,

 

Em que pese a defesa da língua nativa, coisa que valorizo, aliás o Brasil tem uma profusão enorme de línguas nativas que precisam ser protegidas, especialmente línguas indígenas, vamos também considerar que, hoje em dia, até cubano está escrevendo em inglês, que se tornou o que um dia foi o latim. Está aí o PME acontecendo em Belo Horizonte, com inglês como língua oficial. Portanto, se a gente quer se comunicar com o mundo, e acho que temos muito que aprender e ensinar, melhor é nos aperfeiçoarmos.

 

--
Eduardo Sarquis Soares


(31) 88114157

[Victor Paixão]

   Lelo,

   Acho a idéia ótima, mas assim como os colegas já disseram, e eu aqui dou ainda mais ênfase, o foco de uma revista eletrônica em educação matemática deve (ou pelo menos deveria) ser, em primeiro e absoluto lugar os professores (de todos os níveis), que terão a oportunidade de participar, contribuir, aprender e ensinar através da leitura e do diálogo com grandes pesquisadores da área.

   Uma coisa muito comum é o fato de que a maioria dos professores não comparece aos congressos (por motivos diversos), e assim não tem contato com materiais escritos (boletins, revistas, livros), minicursos, palestras, comunicações científicas, etc. Uma revista eletrônica facilitaria muito as coisas, e seria de grande valia e importância contar com nomes consagrados na área de educação matemática (brasileiros e estrangeiros).

   Resta saber se os pesquisadores aprovam e apóiam a idéia - para montar o "corpo editorial de alto nível" -, e o que pensam os fomentadores/financiadores...

   De resto, é mão na massa !!

   Abraços,

      Victor Paixão.

2010/6/29 Gilda de La Rocque <gil...@hotmail.com>

[Gilvan Luiz Machado Costa]

Estimados,
Me parece que a centralidade não está no idioma. O acento deve estar nas possibilidades de publicações.
Um forte abraço.
Gilvan

________________________________

--
Eduardo Sarquis Soares

(31) 88114157

[Leo Akio Yokoyama]

Pessoal,

Somando ao que o Gilvan disse, as possibilidades existentes são:
http://www.leoakio.com/revistas-educacao-matematica.html

E algumas delas já são eletrônicas e variadas possibilidades de
línguas.

Se alguém souber de mais alguma revista me escreva diretamente que eu
acrescento no site.

Um abraço a todos.

On 29 jun, 11:18, "Gilvan Luiz Machado Costa" <gilvan.co...@unisul.br>
wrote:

> Para cancelar a sua inscrição neste grupo, envie um e-mail para leoa...@yahoo.com.br
>
>  winmail.dat
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[Marcelo de Carvalho Borba]

E eu acho que análise não-standard teria outras respostas ainda. Se o Baldino estiver nesta lista, ele nos mostraria isso.

Ou seja, na matemática, como em outras áreas.. .é ... e não é....

abraços,
marcelo c. borba

Marcelo C. Borba

GPIMEM - Grupo de Pesquisa em Informática, Outras Mídias e Educação Matemática
UNESP (Sao Paulo State University at Rio Claro)
Av. 24A, 1515
13506-900  Rio Claro-SP
Brazil
fax/phone: 55-19-35340123
55-19-35269394
e-mail: mbo...@rc.unesp.br

Programa de Pós Graduação em Educação Matemática
UNESP
Membro do CA de Educação do CNPq

[Fernando Villar]

Caro Borba,

tenho interesse em saber/entender mais e melhor a sua conclusão:

"na matemática, como em outras áreas.. .é ... e não é.... "

Por gentileza, envie referências a respeito.

Saudações matemáticas

Fernando Villar

Projeto Fundão/ CAp UFRJ

Doutorando Nutes-UFRJ

[mbo...@rc.unesp.br]

Prezado Fernando, colegas,
desculpe a pressa, mas ela vai continuar....

procure o bolema 18, online. la voce ve dois matematicos e logicos dizendo
dos limites de se acreditar em uma demonstracao como algo so logico. Ha o
processo social que valida, por exemplo a analise, ou a analise nao
standard. Eles mostram que a demonstracao pode nao ser o caminho puro para
a verdade.

Ha exemplos outros, mostrando que a matematica e humana.

escrevi algo sobre ideologia da certeza, argumentando que a matematica
prima por tirar (ou tentar tirar) tudo de incerto. Com isso, ela se coloca
na posicao top para dizer.. eu sou a melhor ciencia para modelar/entender
problemas economicos, fisicos, amorosos, etc... mas tem coisa bem melhor.

Philip Davis, Ruben Hersch e outros falam da experiencia matematica como
algo nao tao logico, mas como algo que tem paixao, e e claro LOGICA.

Desculpe a pressa.

abracos,
marcelo c. borba

> Caro Borba,
>
> tenho interesse em saber/entender mais e melhor a sua conclus�o:
> "na matem�tica, como em outras �reas.. .� ... e n�o �.... "
> Por gentileza, envie refer�ncias a respeito.
r>
> Sauda��es matem�ticas
>
> Fernando Villar
> Projeto Fund�o/ CAp UFRJ

> Doutorando Nutes-UFRJ
>
> Em 29 de junho de 2010 12:10, Marcelo de Carvalho Borba
> <mbo...@rc.unesp.br>escreveu:
>

>> E eu acho que an�lise n�o-standard teria outras respostas ainda. Se o

>> Baldino estiver nesta lista, ele nos mostraria isso.
>>

>> Ou seja, na matem�tica, como em outras �reas.. .� ... e n�o �....
>>
>> abra�os,

>> marcelo c. borba
>>
>>
>> At 14:31 28/06/2010, you wrote:
>>

>> Gostaria de agradecer as v�rias explica��es.
>>
>> Mas observem um detalhe, de um simples problema, surgiram in�meras
>> explica��es.

>>
>> Obrigado por compartilhar vossos conhecimentos com a comunidade. Forte

>> abra�o em todos.

>>
>> Em 28 de junho de 2010 13:44, Ana Teresa <at...@uol.com.br> escreveu:

>> Considero que a explica��o de Victor, com justificativa, est� perfeita
>> e
>> di�datica. Destaco que a �ltima parte do que ele escreve est� ao alcance
>> dos
>> alunos, e contribui muito para a compreens�o do fato em quest�o.
>> Abra�os

>>
>>
>> Profa. Dra. Ana Teresa de C. C. de Oliveira

>> Faculdade de Educa��o da UFRJ-FE/UFRJ

>> Avenida Pasteur, 250-URCA CEP 22290-902 Tel:(21)2295-3246

>> Mestrado em Ensino de Matem�tica-PEMAT/IM/UFRJ

>>
>>
>> ----- Original Message ----- From: "Victor Giraldo" <
>> victor....@gmail.com >
>> To: <pro...@googlegroups.com >
>> Sent: Monday, June 28, 2010 10:30 AM

>> Subject: Re: [Profs Mat:1339] N�meros Irracionais e Racionais
>>
>>
>>
>> Caros colegas,
>> Considerar que 0,999.... < 1 � um erro comum e grave. Como v�rias
>> pessoas j� comentaram, podemos verificar formalmente, com argumento de
>> converg�ncia de s�ries que 0,999.... = 1.
>> Acredito que este erro tenha a ver com a confus�o entre o limite de
>> uma sequ�ncia e os termos da sequ�ncia. No caso, 0,99999... � o limite
>> da sequ�ncia cujos termos s�o x_n = 0,99...9 (com um n�mero n FINITO
>> de casas decimais). Assim, esse limite � um n�mero fixo, igual a 1, e
>> n�o uma aproxima��o para 1. Os temos da sequ�ncia � que se aproximam
>> desse limite, o limite em si n�o se aproxima de nada, ele est� parado,
>> � um ponto na reta, igual a 1!

>> Outra maneira, menos formal, de ajudar os alunos a perceber este fato

>> � o seguinte argumento. Se 0,9999... e 1 fosse n�meros diferentes,
>> ent�o teria que existir um n�mero real situado estritamente entre
>> esses dois. Seria poss�vel existir tal n�mero?
>> abra�os, Victor
>>
>>
>> 2010/6/26 leonardo pires <00leo...@gmail.com >:
>> 1 = 0,9 + 0,09 +0,009 +.... ou seja, se voc� olhar a soma da s�rie;
>> 0,9999999.... � exatamente 1 logo inteiro, mas se olhar para as somas

>> parciais 0,9; 0,9999999; 0,999999999999999999; ai trata-se de uma

>> aproxima��o por falta do n�mero 1 logo um racional (pois � dizima) menor
>> que
>> 1.
>>
>> Em 26 de junho de 2010 08:14, Luiz Antonio Rom�o <laco...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>> Caro colegas, aproveitando este espa�o lhes pergunto: a dizima peri�dica
>> 0,99999999 ... � um n�mero inteiro ou um n�mero < 1 ?

>>
>> Em 25 de junho de 2010 16:42, leonardo pires <00leo...@gmail.com>
>> escreveu:
>>

>> Acredito que n�o seja poss�vel representar um n�mero irracional em forma
>> de racional (at� porque se isto fosse poss�vel o n�mero seria racional).
>> O
>> que d� pra fazer � representar um n�mero irracional em fra��es
>> cont�nuas.
>> Por exemplo o pi possui uma representa��o em fra��es cont�nuas.
>> Procure por esse assunto: Fra��es Cont�nuas.

>>
>>
>>
>> Em 24 de junho de 2010 23:39, Eliel Braga Ines <eliel...@ig.com.br>
>> escreveu:
>>
>> Colegas, boa noite!!!
>>

>> � poss�vel representar um n�mero irracional em forma de racional??
>> Se sim, como??? Se n�o, por que???

>>
>> Eliel.
>>
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[Everaldo Silveira]

Seguindo as indicaçoes do Marcelo, um livro imperdível seria Provas e refutações de Lakatos.

Abrax

evera

Everaldo Silveira

Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

> Date: Thu, 1 Jul 2010 23:23:44 -0300
> Subject: Re: [Profs Mat:1370] Números Irracionais e Racionai s
> From: mbo...@rc.unesp.br
> To: pro...@googlegroups.com

>
> Prezado Fernando, colegas,
> desculpe a pressa, mas ela vai continuar....
>
> procure o bolema 18, online. la voce ve dois matematicos e logicos dizendo
> dos limites de se acreditar em uma demonstracao como algo so logico. Ha o
> processo social que valida, por exemplo a analise, ou a analise nao
> standard. Eles mostram que a demonstracao pode nao ser o caminho puro para
> a verdade.
>
> Ha exemplos outros, mostrando que a matematica e humana.
>
> escrevi algo sobre ideologia da certeza, argumentando que a matematica
> prima por tirar (ou tentar tirar) tudo de incerto. Com isso, ela se coloca
> na posicao top para dizer.. eu sou a melhor ciencia para modelar/entender
> problemas economicos, fisicos, amorosos, etc... mas tem coisa bem melhor.
>
> Philip Davis, Ruben Hersch e outros falam da experiencia matematica como
> algo nao tao logico, mas como algo que tem paixao, e e claro LOGICA.
>
> Desculpe a pressa.
>
> abracos,
> marcelo c. borba
>
> > Caro Borba,
> >

> > tenho interesse em saber/entender mais e melhor a sua conclusão:
> > "na matemática, como em outras áreas.. .é ... e não é.... "
> > Por gentileza, envie referências a respeito.

> r>
> > Saudações matemáticas
> >
> > Fernando Villar
> > Projeto Fundão/ CAp UFRJ

> > Doutorando Nutes-UFRJ
> >
> > Em 29 de junho de 2010 12:10, Marcelo de Carvalho Borba
> > <mbo...@rc.unesp.br>escreveu:
> >

> >> E eu acho que análise não-standard teria outras respostas ainda. Se o

> >> Baldino estiver nesta lista, ele nos mostraria isso.
> >>

> >> Ou seja, na matemática, como em outras áreas.. .é ... e não é....
> >>
> >> abraços,

> >> marcelo c. borba
> >>
> >>
> >> At 14:31 28/06/2010, you wrote:
> >>

> >> Gostaria de agradecer as várias explicações.
> >>
> >> Mas observem um detalhe, de um simples problema, surgiram inúmeras
> >> explicações.

> >>
> >> Obrigado por compartilhar vossos conhecimentos com a comunidade. Forte

> >> abraço em todos.

> >>
> >> Em 28 de junho de 2010 13:44, Ana Teresa <at...@uol.com.br> escreveu:

> >> Considero que a explicação de Victor, com justificativa, está perfeita
> >> e
> >> di´datica. Destaco que a última parte do que ele escreve está ao alcance
> >> dos

> >> alunos, e contribui muito para a compreensão do fato em questão.
> >> Abraços
> >>
> >>

> >> Profa. Dra. Ana Teresa de C. C. de Oliveira

> >> Faculdade de Educação da UFRJ-FE/UFRJ

> >> Avenida Pasteur, 250-URCA CEP 22290-902 Tel:(21)2295-3246

> >> Mestrado em Ensino de Matemática-PEMAT/IM/UFRJ

> >>
> >>
> >> ----- Original Message ----- From: "Victor Giraldo" <
> >> victor....@gmail.com >
> >> To: <pro...@googlegroups.com >
> >> Sent: Monday, June 28, 2010 10:30 AM

> >> Subject: Re: [Profs Mat:1339] Números Irracionais e Racionais
> >>
> >>
> >>
> >> Caros colegas,
> >> Considerar que 0,999.... < 1 é um erro comum e grave. Como várias
> >> pessoas já comentaram, podemos verificar formalmente, com argumento de
> >> convergência de séries que 0,999.... = 1.

> >> Acredito que este erro tenha a ver com a confusão entre o limite de
> >> uma sequência e os termos da sequência. No caso, 0,99999... é o limite

> >> da sequência cujos termos são x_n = 0,99...9 (com um número n FINITO
> >> de casas decimais). Assim, esse limite é um número fixo, igual a 1, e
> >> não uma aproximação para 1. Os temos da sequência é que se aproximam
> >> desse limite, o limite em si não se aproxima de nada, ele está parado,
> >> é um ponto na reta, igual a 1!

> >> Outra maneira, menos formal, de ajudar os alunos a perceber este fato

> >> é o seguinte argumento. Se 0,9999... e 1 fosse números diferentes,
> >> então teria que existir um número real situado estritamente entre
> >> esses dois. Seria possível existir tal número?

> >> abraços, Victor
> >>
> >>
> >> 2010/6/26 leonardo pires <00leo...@gmail.com >:

> >> 1 = 0,9 + 0,09 +0,009 +.... ou seja, se você olhar a soma da série;

> >> 0,9999999.... é exatamente 1 logo inteiro, mas se olhar para as somas

> >> parciais 0,9; 0,9999999; 0,999999999999999999; ai trata-se de uma

> >> aproximação por falta do número 1 logo um racional (pois é dizima) menor
> >> que
> >> 1.
> >>
> >> Em 26 de junho de 2010 08:14, Luiz Antonio Romão <laco...@gmail.com>
> >> escreveu:
> >>

> >> Caro colegas, aproveitando este espaço lhes pergunto: a dizima periódica

> >> 0,99999999 ... é um número inteiro ou um número < 1 ?

> >>
> >> Em 25 de junho de 2010 16:42, leonardo pires <00leo...@gmail.com>
> >> escreveu:
> >>

> >> Acredito que não seja possível representar um número irracional em forma
> >> de racional (até porque se isto fosse possível o número seria racional).
> >> O
> >> que dá pra fazer é representar um número irracional em frações
> >> contínuas.
> >> Por exemplo o pi possui uma representação em frações contínuas.
> >> Procure por esse assunto: Frações Contínuas.
> >>
> >>
> >>

> >> Em 24 de junho de 2010 23:39, Eliel Braga Ines <eliel...@ig.com.br>
> >> escreveu:
> >>
> >> Colegas, boa noite!!!
> >>

> >> É possível representar um número irracional em forma de racional??
> >> Se sim, como??? Se não, por que???

> >>
> >> Eliel.
> >>
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LEVE SEU MESSENGER PARA ONDE VOCÊ ESTIVER PELO SEU CELULAR. CLIQUE E VEJA COMO FAZER.

[Douglas Goyos]

PRAZO PRORROGADO!!

 

SELEÇÃO DE ALUNOS e TUTORES PARA PROVIMENTO DAS VAGAS EXISTENTES PARA O CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA, NA MODALIDADE ABERTA E A DISTÂNCIA - UFSJ/UAB.

 

link: http://www.nead.ufsj.edu.br/site/index.php/institucional/principal

 

[Marcelo Batarce]

O termo 'forma racional' é impreciso. Numeros racionais designam um conjunto e não uma 'forma'.

 

Vc deve estar se referindo a definicao que comumente aparece:

 

a - Um numero racional eh um numero que pode ser colocado na forma a/b com a e b inteiros e b distinto de zero.

 

Entao agora a pergunta é a seguinte: O que é um número irracional.

 

Resposta e definição:

 

b - Todo numero que nao racional (não pode ser colocado na forma a/b com a e b inteiros e b distinto de zero) é irracional. 

 

Conclusao, Um numero irracional nao pode ser colocado na 'forma' racional simplesmente porque pela definicao um numero é dito irracional se ele não é racional.

 

A pergunta que poderia ter sido colocada, até mesmo como motivação para a definição é a seguinte: Existem esses números? É facíl mostrar que eles existem.

 

0,9999.... = 1 Isso é facil de se mostrar usando o algoritimo que se aprende no colegio para transformar dizimas periodicas em fracoes.

 

O cerne da confusao neste caso é que ninguem explicou (para os alunos) o que significam notações do tipo 0,999... . No entanto esta questão não é simples de ser contextualizada ela depende de uma discussão sobre a definicao de numero real. Isso se chama construcao dos numeros reais via decimais infinitos.

 

Abracos

Marcelo batarce

[Marcelo Batarce]

desculpem eu nao tinha observado que a discussao continuou.

 

o problema de 0,999... = 1 é simples. Ninguem disse aos alunos o que siginifica a notacao 0,999... . Contextualizar o significado desta notacao é complicado porque levaria a construcao nos reais via decimal infinita.

 

A confusao sobre o limite estar 'parado' ou 'andando' se 'aproximando' é novamente um problema conceitual. O que se deve enender é que, quando há convergencia O LIMITE É UM NUMERO. A definicao comeca assim:

 

Diz que lim = L  Bla Bla Bla, ou seja, L é um número, o que vem antes do sinal de igual é IGUAL a L portanto é um numero. Voltando a questao anterior, o problema é relacionar a notacao 0,999... com a teoria de limites. Não sei se isso é possivel ou desejavel no colegio. Sem essa conexao, pergunta-se o que é 0,999... ???? Não há resposta. Uma possibilidade é mostar via algoritmo que pode se transformar isso em uma fracao e essa fracao é o numero 1.

 

Sobre os infinitesimais, o que ocorre é que a concepcao de que 0,999... < 1 , comumente apresentada espontaneamente por alunos, é válida. A beleza do trabalho do Baldino é a de mostrar como a matemática oficial, e nós que disemos saber matemática, despreza (por ignorar) concepcoes espontaneas de alunos, que como mostrou Robson, podem ser justificadas dentro da propria matematica. Mais do que isso, o trabalho do Baldino vai alem das justificativas dos demais colegas, que, assim como eu disse, dizem que 0,999... = 1 por definicao. Isso é verdade, mas meia verdade. Essa definicao, foi uma convencao estabelecida historicamente quando a teoria dos limites tentou varrer da historia os infinitesimos.

 

Abracos

Marcelo batarce

[João Batista Nascimento]

Olá Marcelo Batarce     Note que essa definição  ¨ a - Um numero racional eh um numero que pode ser colocado na forma a/b com a e b inteiros e b distinto de zero.¨ cria um problema de transposição didática, posto que, número complexo estaria incluso entre os irracionais.   Att. Prof. João Batista

De: Marcelo Batarce <bata...@gmail.com> Assunto: Re: [Profs Mat:1382] Números Irracionais e Racionais e fundamentos da matemática Para: pro...@googlegroups.com Data: Domingo, 4 de Julho de 2010, 21:20

O termo 'forma racional' é impreciso. Numeros racionais designam um conjunto e não uma 'forma'.   Vc deve estar se referindo a definicao que comumente aparece:   a - Um numero racional eh um numero que pode ser colocado na forma a/b com a e b inteiros e b distinto de zero.   Entao agora a pergunta é a seguinte: O que é um número irracional.   Resposta e definição:   b - Todo numero que nao racional (não pode ser colocado na forma a/b com a e b inteiros e b distinto de zero) é irracional.    Conclusao, Um numero irracional nao pode ser colocado na 'forma' racional simplesmente porque pela definicao um numero é dito irracional se ele não é racional.   A pergunta que poderia ter sido colocada, até mesmo como motivação para a definição é a seguinte: Existem esses números? É facíl mostrar que eles existem.   0,9999.... = 1 Isso é facil de se mostrar usando o algoritimo que se aprende no colegio para transformar dizimas periodicas em fracoes.   O cerne da confusao neste caso é que ninguem explicou (para os alunos) o que significam notações do tipo 0,999... . No entanto esta questão não é simples de ser contextualizada ela depende de uma discussão sobre a definicao de numero real. Isso se chama construcao dos numeros reais via decimais infinitos.   Abracos Marcelo batarce

Em 27 de junho de 2010 13:34, João Batista Nascimento <joaobatist...@yahoo.com.br> escreveu:

Olá Antonio Dionisio  e Todos   Note que o seu argumento é que tal seqüência não pode ser maior do que 1 e nem menor, portanto teria que ser igual a 1. De onde saiu essa certeza???

Perceba que isso é o fundamento de toda teoria de limite que produz todo o cálculo Newtoniano-Leibniziano.

[Marcelo Batarce]

Prezado Wellerson,

 

O que faltou ao Elon foi somente ler o trabalho do Baldino, conforme eu observei na discussão anterior. E pela rápida leitura que fiz dos outros e-mails, percebi que ninguem leu o trabalho do Baldino. Todo mundo para na crença de que dizer que 0,999 < 1 é um erro. Grande parte dos matemáticos conseguem chegar apenas até aqui. O que o Baldino mostra, penso eu, não é que isso está errado, mas que o certo e o errado neste caso é uma construção históricas. Em relação ao ensino de matemática, a critica que o Baldino desenvolve, penso eu, está na hipotese de que essa 'falta' de conhecimento matemático (pelos proprios matemáticos) é daninha ao ensino.

 

Abracos

Marcelo Batarce 

Em 26 de junho de 2010 13:53, Wellerson Quintaneiro da Silva <wellers...@ig.com.br> escreveu:

α = 0,999... NÃO é uma ótima aproximação de 1, mas sim igual a 1.

Podemos usar o argumento do colega para justificar tal igualdade, pois se considerássemos, por exemplo, que fosse menor do que 1, pela densidade de R existiria β real (fixo) tal que α < β <1. Isso é um absurdo já que como o próprio colega afirmou podemos observar α tal próximo de 1 quanto queiramos.

Só por curiosidade esse tipo de representação (com 0,...999...) é o que quebra a injetividade da correspondência entre as expressões decimais e os números reais. Isto é, o número “um” tem duas representações decimais “1” e “0,999...” (Matemática do ensino médio - Elon Lima).

É bom ressaltar que a questão aqui proposta já apareceu em diversos vestibulares, concursos para professores aqui no Rio e numa prova de seleção para o mestrado em Ensino de Matemática da UFRJ. Essas fontes também podem ser observadas, a fim de analisar as soluções e gabaritos propostos pelas bancas.

Abs a tod@s

Wellerson

Em 26 de junho de 2010 14:07, Antonio Dionisio <antoni...@gmail.com> escreveu:

--

Wellerson Quintaneiro
Mestre em Ensino de Matemática (UFRJ)
Professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico do Cefet - RJ
https://sites.google.com/site/wellersonquintaneiro/

[Marcelo Batarce]

Joao,

 

Nao sei se esse eh um problema de transposicao didatica. Parece mais um problema de logica.

Do ponto de vista historico penso que os numeros racionais, irracionais e reais formam parte de um mesmo conceito (contexto). Do ponto de vista da matematica penso eu que o processo de construcao impoe uma hierarquia. Ou seja, o numero irracional aparece a partir do momento que existem numeros que nao podem ser escritos na forma a/b. Mas ai vem a pergunta que gera um circulo vicioso: Mas o que eh um numero? Vc soh pode dizer que existem numeros que nao podem ser escritos na forma a/b se vc souber de ante mao o que eyh um numero. Em que sentido por exemplo Raiz(2) eh um numero? Acho que eh uma questao deste tipo que o Baldno levanta no artigo "A ética de uma definição circular de número real." (eu ainda nao li o artigo). Ao que eu ouvi falar o artigo do Baldino vai dizer que  a falta (ou buraco) na reta é instituida, ela não existe a priori.

 

Com essas observacoes retomo sua questao. vc diz, se eu disser que os irracionais sao aqueles que nao sao racionais entao os complexos passam a ser irracionais visto que eles nao sao racionais. Eu teria entao de acrescentar que os irracionais sao numeros reais que nao sao racionais. De outro lado eu soh posso falar de reais se eu disser o que sao irracionais, ja que os reais sao os racionais UNIAO com os irracionais.

 

Independente de tudo isso, essencialmente um numero irracional é um numero que nao eh racional. Nao ha como fugir disso.

 

abracos

marcelo batarce

[Marcelo Batarce]

mais uma observacao. Estou falando "numeros que nao podem ser colocados na forma a/b", mas acho que o mesmo raciocinio pode ser feito se pensarmos que existem intervalos encaixantes cuja a interseccao nao contem um numero racional. Entao se cria o numero irracional para preencher esse "buraco".

[Leandro Katzer Maciel]

Atenção!

O prazo para envio de trabalhos para o XIV EBRAPEM foi prorrogado para o dia 30/07/2010, impreterivelmente!

Avisamos que a tabela de preços para inscrição continua sendo a mesma.