Respostas para: Ordenação de Números Complexos
Leo Akio
Ola a todos.
tentarei esclarecer alguns pontos:
1) o delta e o epsilon são números *reais*, afinal de contas | f(z) - w0 | é
um número real, não é mesmo?
2) vc falou em "verdadeira quantidade dos nºs complexos". seja lá o que isso
for, o fato de mais de um nº complexo ter o mesmo módulo não faz com que
estes caras sejam iguais. ou seja: a definição de igualdade entre nºs
complexos sequer olha pros valores dos seus modulos.
3) Quanto à ordenação dos complexos:
Não existe uma 'autêntica' relação de ordem nos Complexos.
Mas, para falar
a verdade, podemos até tentar criar uma relação de ordem
qualquer (a ordem lexográfica, por exemplo); mas nenhuma ordem que possamos
criar atende a todas as necessidades às quais ela deveria se prestar.
Trocando em miúdos: uma das propriedades que um conjunto numérico bem
ordenado deveria satisfazer é: x² >= 0, para qualquer elemento x deste
conjunto ordenado. Esta propriedade e válida nos complexos?
4) Finalmente, o limite de funções complexas define-se como está no texto da
wikipedia: é o valor para o qual uma função complexa converge à medida em
que a distância (portanto, o módulo!) em relação a um ponto fixado é cada
vez menor.
espero q possa ter lhe ajudado.
qq coisa, dá um reply aqui pro grupo de novo!
abs,
FH.
| Filipe Hasche ___________________________________________________ |
Obrigada pela resposta!
E, sim, era exatamente isto que eu achava antes de encontrar a afirmação que
linkei da wikipédia. Pois, para descobrirmos o limite de uma função, temos
que compará-la com certos valores... Se não há como comparar, não há como
definir limite, eu acredito... Por isso fiquei confusa... Não existiria,
então, limite para funções complexas?
Sobre as funções, sim, isso mesmo, isto é uma conclusão bem lógica se
observarmos o Teorema Fundamental da Álgebra. Mas, realmente, não entendo
como isto pode influenciar no cálculo do limite. Será que eu esqueci algo
importante?
Muito obrigada! Até mais! .ღCheshire Hime-chanღ
Olá, Cheshire Hime-chan
Gostaria de dar um palpite sobre a discussão em pauta sobre a ordem nos
complexos.
Em primeiro lugar, o que se espera de uma ordem
num conjunto numérico?
- Uma das coisas desejáveis é que haja compatibilidade da ordem com as
operações definidas no conjunto e que dão a estrutura algébrica do conjunto.
Os complexos, com a adição e a multiplicação tem estrutura algébrica de
corpo. É possível definir uma ordem nos complexos, a ordem lexicográfica, a
saber:
Se z=x+iy e w=u+iv definimos z(<)w quando x < u.
Por exemplo, com essa definição, temos
(a). -1 - i ( < ) 1 + i e (b). -1 + i ( < ) 1 - i
Porém, multiplicando por i, obtemos os resultados que não compatibilizam
com a ordem definida. Vemos nos exemplos que não podemos determinar o sinal
ocupada pela interrogação:
(a). 1 - i ( ? ) -1 + i e (b). -1 - i ( ? ) 1 + i
Dessa forma a ordem definida não é compatível com a estrutura algébrica de
C.
Atenciosamente
Carlos Henrique.
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Tanto d quanto e são npmeros reais e |Zo-Z| é a norma de um número complexo,
que é real também.
Portanto, a comparação de menor está sendo feita em núemros reais e não
entre complexos.
Leonardo Barichello
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Oi Cheshire Hime-chan tudo bem?
Fiz minha dissertação de mestrado sobre números complexos, você pode dar uma
olhadinha nela se for necessário.
O link é:
http://www.uss.br/arquivos/dissertacao-rafael-vfinal.pdf
Na realidade podemos dizer que na expansão da reta (Números reais) para o
plano (Números complexos), abrimos mão da ordenação, ou seja: Faz sentido
pensarmos em maior e menor para os reais, mas esta propriedade
é perdida
quando pensamos no plano.
Para mim os números complexos são uma encarnação geométrica dos números,
eles podem promover ampliações, rotações ou até as duas coisas ao mesmo
tempo.
Abraços
rafael vassallo
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Olás
Até dá para colocar uma ordem (no sentido de relação de ordem abstrata
= reflexiva, simétrica, transitiva), mas não dá para colocar nenhuma
ordem que funcione tão bem quanto a ordem nos reais (e inteiros,
racionais, etc). O problema está justamente com os quadrados.
Sendo mais claro, três propriedades fundamentais da ordem nos reais são:
dados a,b, temos a < b, a = b ou a > b
se a < b então a + c < b + c, para todo c
se a < b e c > 0 então ac < bc.
Não existe ordem nos complexos que satisfaça estas 3 condições e ainda
coincida com a ordem nos
reais quando z e w são reais (isto é,
complexos com parte imaginária = 0).
suponha que existe uma ordem assim em C; então, pela primeira
propriedade, dado um número complexo z não-nulo, temos z > 0 ou z < 0.
se z > 0 então z^2 > 0 (usando a terceira propriedade acima)
se z < 0 então, somando -z e usando a segunda propriedade, temos -z >
0. De novo, temos
z^2 = (-z)^2 > 0.
Ou seja, todo quadrado de um complexo não-nulo deveria ser positivo,
independente de quem seja a ordem. Mas o quadrado de i é -1, o que dá
uma contradição.
abs
marcelo
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Leo Akio Yokoyama
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ღCheshire Hime-chanღ
falando de algo que pudesse ser contado nos números complexos, como eu
sei que 4>2, eu gostaria de saber se 4i>2i ou 4i<2i.
Mas, realmente, acredito que números imaginários não possam ser
ordenados, logo, eles não tem uma idéia de quantidade. E era desta
forma que eu gostaria de ordenar o conjunto, do menor para o maior.
Mas, ok, vejamos. Como uma função complexa converge a algum ponto, se
seus pontos não estão ordenados?
O problema é... Eu não posso dizer que "os resultados da função são
cada vez mais próximos do número Z (com Z complexo), sempre que a
abscissa se aproxima de X", se não há uma idéia de "proximidade", pois
não há uma idéia de "ordenação".
2i é mais próximo de 2i-1 ou de 3i? Se a função retorna os valores:
2i,2i-1,3i,3i-5 ... Posso dizer que ela está se aproximando de 4i? De
quê ela estaria se aproximando? Como eu posso calcular o "limite"
dela?
Essa era minha dúvida.
Mas, realmente, como alguns de vocês disseram, o limite não considera,
neste caso, o valor do número complexo e sim de sua norma, que é um
número real. (eu não tinha atentado que aquele "|" também simbolizaria
norma, apenas considerei como "módulo", desculpe)
Mas, se analisarmos, isto não seria um equívoco? Não estamos
calculando o limite da própria função complexa, mas sim de uma função
real que representada como a norma dos números complexos.
Ou seja, não é que os números complexos estejam, realmente,
convergindo para aquele ponto, já que eles não podem convergir para
nada já que não estão ordenados.
Já que, sem uma ordenação, não existe a idéia de "proximidade", não
posso dizer se 2i é mais próximo de 2i+1 ou de 3i.
Então, esta definição de limite de função complexa não segue nenhum
padrão e nada tem a ver com o limite real da função? É apenas uma
convenção?
Ou eu estaria esquecendo outra coisa importante?
--
Desculpe a demora para responder. Tive alguns problemas de saúde
ultimamente.
E, muito obrigada por todas as respostas! Todas foram muito
importantes pra mim!
Até mais!
Marco Aurelio P. Cabral
> Ou seja, não é que os números complexos estejam, realmente,
> convergindo para aquele ponto, já que eles não podem convergir para
> nada já que não estão ordenados.
> Já que, sem uma ordenação, não existe a idéia de "proximidade", não
> posso dizer se 2i é mais próximo de 2i+1 ou de 3i.
A ideia de proximidade é topológica. Uma topologia pode ser dada por uma
relação de ordem ou por uma métrica (distância).
Existem topologia definidas diretamente, sem se utilizar de relação de
ordem nem métrica.
Enfim, no caso complexo a topologia usual (a noção de proximidade) é
gerada pela métrica dada pela norma |z|.
Então o que é uma métrica num conjunto A? É uma função d: A x A --> R que
será interpretada como a distancia d(x,y) entre os pontos x e y do
conjunto A. Esta função deve satisfazer algumas propriedades:
d(x,y) >= 0 para todo x,y em A
d(x,y) = 0 se, e somente se, x=y.
d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) para todo x,y,z (conhecida como desigualdade
triangular).
Assim, se A=R, d(x,y)=|x-y| (módulo). A função módulo em R tem como
principal aplicação determinar a distancia entre dois pontos da reta.
Se A=R^2 (pontos no plano), com x=(x_1, x_2) e y=(y_1,y_2),
d(x,y) = sqrt ( (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2). Isto é consequencia do
Teorema de Pitágoras.
Note que se A=R podemos escrever que d(x,y) = sqrt ( (x-y)^2).
Esta forma se generaliza para calcular a distancia entre dois pontos em
R^3, R^4 etc.
E se A=C (complexos)? Podemos identificar o número complexo a+bi com o
ponto do plano cartesiano (a,b). Dai a noção de distancia entre dois
complexos z=a+bi e w=c+di será dado por
d(z,w) = sqrt( (a-c)^2 + (b-d)^2). É um exercício mostrar que isto é igual
a |z-w| (módulo aqui de um número complexo). Assim,
d(z,w)=|z-w|.
Assim podemos ver o que significa um número complexo z estar proximo de um
numero complexo w: basta ele estar perto no sentido usual no plano
complexo.
Por exemplo: Identifique geometricamente o conjunto dos números complexos
w tais que |w - (2+3i)| = 5. Isto representa um círculo de raio 5
com centro no ponto (2,3), isto é, com centro no numero complexo 2+3i.
Espero ter ajudado o colega.
Abraços,
Marco Aurélio P. Cabral
Depto. de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática - UFRJ
Helder
Gostaria de acrescentar algumas coisas ao que já foi dito:
Ah, veja só... quando falei de uma verdadeira quantidade, estava
falando de algo que pudesse ser contado nos números complexos, como eu
sei que 4>2, eu gostaria de saber se 4i>2i ou 4i<2i.
Mas, realmente, acredito que números imaginários não possam ser
ordenados, logo, eles não tem uma idéia de quantidade. E era desta
forma que eu gostaria de ordenar o conjunto, do menor para o maior.
Mas, ok, vejamos. Como uma função complexa converge a algum ponto, se
seus pontos não estão ordenados?
Por exemplo, se considerar as sucessivas aproximações da função exponencial
dada por meio da série de Taylor,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+series+exp%28x%29
perceberá que é razoável dizer que "as funções convergem para a função exponencial".
Mesmo assim, não é necessariamente verdade que uma de tais funções seja menor (ou maior)
do que uma das outras.
O problema é... Eu não posso dizer que "os resultados da função são
cada vez mais próximos do número Z (com Z complexo), sempre que a
abscissa se aproxima de X", se não há uma idéia de "proximidade",
pois não há uma idéia de "ordenação".
Assim, a convergência pode ser definida precisamente até mesmo em espaços
topológicos, em que não precisa estar definida uma "distância" (ou "métrica"),
e muito menos um "ordem parcial", e a "aproximação" está vinculada a ideia
de "vizinhança". Veja por exemplo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function#Functions_on_topological_spaces
2i é mais próximo de 2i-1 ou de 3i?
Aliás, mesmo se considerarmos os complexos acima como sendo os pontos
(0,2), (-1,2) e (0,3) do plano cartesiano, e escolhermos para a noção de proximidade
qualquer uma das outras p-normas,
http://en.wikipedia.org/wiki/P-norm#p-norm
(em vez da 2-norma, que é a distância Euclidiana usual), ainda assim, o ponto (0,2)
continuará equidistante dos outros dois.
Veja por exemplo esta comparação para p=1 (métrica da soma), p=2 (usual)
e p=infinito (métrica "do sup"):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+Norm[{x%2Cy}-{0%2C2}%2C+Infinity]+%3D+1%2C+Norm[{x%2Cy}-{0%2C2}%2C+1]+%3D+1%2C+Norm[{x%2Cy}-{0%2C2}%2C+2]+%3D+1+for+x%3D-2..2%2C+y%3D0..4
Se a função retorna os valores:
2i,2i-1,3i,3i-5 ... Posso dizer que ela está se aproximando de 4i?
se for uma quantidade finita deles). Para haver convergência da função, é preciso que
toda sequência que converja para determinado ponto do domínio dê origem a
uma sequência de imagens que converge para um mesmo valor.
Mesmo que tivesse sido dada a fórmula para função cujos valores mencionou acima,
provavelmente o 4i não seria um bom palpite para o limite ;-)
(a não ser que pela formula que define a função fique claro que para
outros valores do domínio as imagens comecem a ficar mais próximos de 4i)
De quê ela estaria se aproximando?
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=plot+{{0%2C2}%2C+{-1%2C2}%2C+{0%2C3}%2C+{-5%2C3}%2C+{0%2C4}%2C+{-15%2C4.5}%2C+{0%2C4.5}%2C+{-20%2C5.2}}
Como eu posso calcular o "limite" dela?
apenas em uma vizinhança daquele ponto no qual quer saber o limite);
* A partir de propriedades que a função tem, mesmo sem saber exatamente os valores
(como no "teorema do sanduíche", ou "do confronto")
* Alguma outra informação disponível no contexto específico...
Essa era minha dúvida.
Mas, realmente, como alguns de vocês disseram, o limite não considera,
neste caso, o valor do número complexo e sim de sua norma, que é um
número real. (eu não tinha atentado que aquele "|" também simbolizaria
norma, apenas considerei como "módulo", desculpe)
Mas, se analisarmos, isto não seria um equívoco? Não estamos
calculando o limite da própria função complexa, mas sim de uma função
real que representada como a norma dos números complexos.
Note por exemplo que mesmo entre funções de R em R, se f(x) tende a L
quando x --> a, então | f(x) - L | tende a zero quando | x - a | tende a 0. De fato,
as duas coisas são equivalentes (isto é, "vale a volta"). Assim, embora
a função f seja diferente da função que a cada x associa o valor | f(x) - L |,
o limite desta só existe se também existir o limite da primeira
(mas enquanto o da f é L, o desta última é zero).
Ou seja, não é que os números complexos estejam, realmente,
convergindo para aquele ponto, já que eles não podem convergir para
nada já que não estão ordenados.
Já que, sem uma ordenação, não existe a idéia de "proximidade", não
posso dizer se 2i é mais próximo de 2i+1 ou de 3i.
"ordem" e "proximidade".
Então, esta definição de limite de função complexa não segue nenhum
padrão e nada tem a ver com o limite real da função? É apenas uma
convenção?
Ou eu estaria esquecendo outra coisa importante?
Ela segue o padrão usado para a definição de convergência em espaços métricos em geral.
Att,
Helder
Dirceu
roberto pinto
--
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