O que é contar?
Humberto Bortolossi
Estou procurando por referências (livros, artigos, teses, em qualquer
idioma) que deem uma definição do que seja contar.
Obrigado e um forte abraço, Humberto.
Leo Akio Yokoyama
em minha tese estou definindo contar como um procedimento para
quantificar.
Quantificar seria determinar a cardinalidade de um conjunto discreto.
Contar é um procedimento para a quantificação.
O outro procedimento para quantificar seria o subitizing. Que é a
capacidade de determinar a quantidade de elementos de um conjunto
subitamente. Por exemplo, os 6 pontos da face de um dado é reconhecido
subitamente sem contagem.
Uma referência:
http://www.ipiageteditora.com/catalogo/detalhes_produto.php?id=430
Abs
Leo Akio
On 14 set, 17:16, Humberto Bortolossi <humberto.bortolo...@gmail.com>
wrote:
Luciana Felix
A contagem enquanto processo de quantificação não seria anterior a
noção de número como a propriedade que conjuntos finitos de mesma
cardinalidade têm em comum?
Acredito que a contagem seja um meio de controlar a quantidade de
elementos de determinado agrupamento através de uma correspondência um
para um, tomando como referência outro conjunto de mesma cardinalidade
daquele que queremos contar.
Só refletindo...
Um abraço,
Luciana Felix
(Professora das Redes Municipais do Rio de Janeiro e Duque de Caxias
e aluna do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática - IM/UFRJ)
Em 14 de setembro de 2011 17:38, Leo Akio Yokoyama
<leo...@yahoo.com.br> escreveu:
> --
> Para postar neste grupo, envie um e-mail para pro...@googlegroups.com
>
> Para ter acesso aos conteúdos passados do Grupo: http://groups.google.com.br/group/profmat?hl=pt-BR
>
> Visite também o Portal dos Professores de Matemática: www.leoakio.com
>
> Para receber um e-mail diário com o resumo das mensagens do dia, ou para cancelar a sua inscrição neste grupo, envie um e-mail para leo...@yahoo.com.br
>
João Paulo Rezende
Leo Akio Yokoyama
Concordo que a contagem é um "meio de controlar.." (ou seja, um
procedimento ou processo).
Quanto à sua primeira pergunta, o que quer dizer com "anterior a noção
de número"? Defina "noção de número".
Acredito que a contagem só surge após o surgimento das palavras-número
[um], [dois], [três], etc. e dos diversos símbolos numéricos.
No início da história dos números o que havia era a correspondência um-
a-um de "coleções-testemunho". Por exemplo, os antigos associavam cada
risco em um osso para uma ovelha, ou uma pedrinha no saco para cada
carneiro, etc.
Eles estavam contando?
Acredito que não. Mas eles tinham uma noção de quantidade, e
conseguiam determinar se a coleção era igual ou nao após um
determinado tempo.
Só a partir da criação dos símbolos e de cada palavra-número é que se
tem o princípio da ordem estável (ver Gelman e Gallistel), e
consequentemente o princípio da cardinalidade, e consequentemente, a
contagem.
O princípio da correspondência um-a-um já existe desde o início da
matemática.
O princípio da irrelevância da ordem também.
O princípio da abstração, acredito que também.
Então Humberto, tem ai mais uma referência.
Abs
On 14 set, 17:57, Luciana Felix <lulufe...@gmail.com> wrote:
> Oi Leo,
>
> A contagem enquanto processo de quantificação não seria anterior a
> noção de número como a propriedade que conjuntos finitos de mesma
> cardinalidade têm em comum?
>
> Acredito que a contagem seja um meio de controlar a quantidade de
> elementos de determinado agrupamento através de uma correspondência um
> para um, tomando como referência outro conjunto de mesma cardinalidade
> daquele que queremos contar.
>
> Só refletindo...
>
> Um abraço,
>
> Luciana Felix
> (Professora das Redes Municipais do Rio de Janeiro e Duque de Caxias
> e aluna do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática - IM/UFRJ)
>
> Em 14 de setembro de 2011 17:38, Leo Akio Yokoyama
>
>
>
>
>
>
> > Olá Humberto,
>
> > em minha tese estou definindo contar como um procedimento para
> > quantificar.
>
> > Quantificar seria determinar a cardinalidade de um conjunto discreto.
>
> > Contar é um procedimento para a quantificação.
>
> > O outro procedimento para quantificar seria o subitizing. Que é a
> > capacidade de determinar a quantidade de elementos de um conjunto
> > subitamente. Por exemplo, os 6 pontos da face de um dado é reconhecido
> > subitamente sem contagem.
>
> > Uma referência:
> >http://www.ipiageteditora.com/catalogo/detalhes_produto.php?id=430
>
> > Abs
> > Leo Akio
>
> > On 14 set, 17:16, Humberto Bortolossi <humberto.bortolo...@gmail.com>
> > wrote:
> >> Caros amigos,
>
> >> Estou procurando por referências (livros, artigos, teses, em qualquer
> >> idioma) que deem uma definição do que seja contar.
>
> >> Obrigado e um forte abraço, Humberto.
>
> > --
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João Paulo Rezende
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Leo Akio Yokoyama
concordo contigo a respeito do início da quantificação efetiva
(através da contagem) com a noção de ordenação. É justamente o que eu
disse ao me referir ao princípio da ordem estável, ou seja, existe uma
ordem, de partes do corpo, de palavras-número ou símbolos, que não se
altera para uma determinada cultura, onde é possível determinar a
quantidade de um conjunto com a última parte referida (princípio da
cardinalidade).
Com relação à definição de contagem e quantificação, para mim são
coisas distintas. Concordo que os entalhes quantificam o conjunto de
ovelhas, mas os usuários dos entalhes não contavam o conjunto. Como
você mesmo colocou, neste momento não há ordenação.
Quantificar é determinar a quantidade de elementos de um conjunto
discreto.
Contar é um dos procedimentos para a quantificação. E o procedimento
de entalhar não é o mesmo procedimento da contagem.
Gostei da sua colocação com relação às tribos!
Abs
On Sep 14, 7:06 pm, João Paulo Rezende <joaopauloufla...@gmail.com>
wrote:
>
> me interesso muito pelo assunto mas tenho uma visão um pouco contrária a sua
> afirmação de que a contagem surgiu após o uso das palavras-numero. Pensando
> na contagem como um procedimento de quantificar, acredito que uma coleção de
> entalhes correspondentes a um grupo de animais tinha a função de estabelecer
> um controle da quantidade de animais, ou seja quantificar aquele conjunto.
> Além disso, o processo de contagem que utilizamos é semelhante ao do
> entalhe, porém fazemos a correspondência um a um com um conjunto abstrato.
> Talvez a passagem entre a simples comparação entre duas quantidades e
> quantificação efetiva de um conjunto tenha surgido com a noção de ordenação.
> Contudo, há relatos históricos de tribos que utilizavam do corpo para contar
> e cada parte do corpo representava uma certa quantidade. Por exemplo, ao
> apontar para a orelha direita poderia estar representando uma quantidade que
> se estabelecia pela ordem com que essa orelha aparece numa sequência de
> partes do corpo. Acredito ainda que as palavras-numero, surgiram da
> necessidade de representar as quantidades, ou seja, da necessidade da
> contagem que já havia se estabelecido mas necessitava de avanços como essas
> próprias palavras e depois a criação de símbolos e evolução dos mesmos.
>
> Outras boas referências são os livros: "Números: a história de uma grande
> invenção" de Ifrah e "A Magia dos Números" de Karlson.
>
> Um abraço!
>
> João Paulo
>
> Em 14 de setembro de 2011 18:34, Leo Akio Yokoyama
>
> --
> *João Paulo Rezende*
> *Prof. de Matemática*
> *Universidade Federal de Lavras - UFLA*
> *Núcleo de Desenvolvimento Oficina da Criança - Rede SESI*
> *UAB/UFLA - Projeto TIC's (Tutor)*
Bigode *
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Adlai Detoni
um ato humano por excelência, é o exercício da essência da regularidade
espaço-tempororal. Quando andamos, por exemplo, sem claudicar, agora
parafraseando Merleau-Ponty ( A prosa do mundo), desde já, todo o futuro da
adição, da multiplicação, da logaritmização, ..., está aberto em nós. Daí,
é so matematizar.
Verilda Speridiao Kluth
Tenho feito alguns estudos sobre este tema da Alfabetiza��o Matem�tica que
est�o condensados em um cap�tulo de livro.
KLUTH, V. S. Panorama fenomenol�gico sobre n�mero e sua imagem na
Alfabetiza��o Aritm�tica" . In Filosofia da Educa��o Matem�tica -
Fenomenologia concep��es, possibilidades did�tico-pedag�gicas. Maria A. V.
Bicudo (org). S�o Paulo: Editora UNESP, 2010.
Neste mesmo livro voc� poder� encontrar outros trabalhos que falam sobre
n�meros e mais especificamente sobre a multiplica��o, al�m de explicita��o
sobre os fundamentos que pautam os trabalhos fenomenol�gicos.
Um pequeno coment�rio sobre a abordagem:
A fenomenologia busca uma compreens�o sobre a "origem" da contagem.
Diferentemente de outras abordagens, n�o considera a correspond�ncia "um a
um", como sendo sua "origem" na rela��o homem-mundo.
Caso se interesse, desejo-lhe boa leitura.
Abra�o,
Verilda
----- Original Message -----
From: "Humberto Bortolossi" <humberto....@gmail.com>
To: "Professores Mat Brasil" <pro...@googlegroups.com>; "SBEMLISTA"
<sbe...@listas.rc.unesp.br>
Sent: Wednesday, September 14, 2011 5:16 PM
Subject: [Profs Mat:4542] O que � contar?
Caros amigos,
Estou procurando por refer�ncias (livros, artigos, teses, em qualquer
idioma) que deem uma defini��o do que seja contar.
Obrigado e um forte abra�o, Humberto.
--
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Veloso
Colegas
Recomendo a voces o livro abaixo, onde registros em argila da Mesopotâmia são testemunhos da origem da contagem e da escrita.
Jose Miguel
How writing came about
University of Texas Press, 1996 - Antiques & Collectibles - 193 pages
"Discoveries in the history of writing are rare, but Denise Schmandt-Besserat made one in realizing that phonetic writing in the West descends not from pictography, a view repeated everywhere, but from abstract, nonphonetic, mostly noniconographic accounting tokens used in Neolithic farming communities of the Near East beginning from about 8000 B.C. A condensation of volume I of Before Writing ...this book is a perfect production, utterly lucid, thoughtfully illustrated, and thoroughly convincing."
—American Journal of Archaeology
In 1992, the University of Texas Press published Before Writing, Volume I: From Counting to Cuneiform and Before Writing, Volume II: A Catalog of Near Eastern Tokens. In these two volumes, Denise Schmandt-Besserat set forth her groundbreaking theory that the cuneiform script invented in the Near East in the late fourth millennium B.C.—the world's oldest known system of writing—derived from an archaic counting device.
How Writing Came About draws material from both volumes to present Schmandt-Besserat's theory for a wide public and classroom audience. Based on the analysis and interpretation of a selection of 8,000 tokens or counters from 116 sites in Iran, Iraq, the Levant, and Turkey, it documents the immediate precursor of the cuneiform script.
Leo Akio Yokoyama
boa pergunta!
Para saber mais sobre subitizing olhe esses artigos:
http://www.google.com.br/#hl=pt-BR&sugexp=gsis%2Ci18n%3Dtrue&cp=14&gs_id=1s&xhr=t&q=subitizing+pdf&pf=p&sclient=psy-ab&biw=1440&bih=775&source=hp&pbx=1&oq=subitizing+pdf&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=&gs_upl=&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.&fp=688413c6514f817f
Definição de Mandler e Shebo: "The term subitizing was coined by
Kaufman, Lord, Reese, and Volkmann in 1949
to describe the rapid, confident, and accurate report of the
numerosity of arrays of elements presented for short durations."
Descrição de Clements: "...a brief historical review of the early
development of quantitative knowledge. For example, is it based in
logic, in counting, or in some other process? As an example of the
last, early sensitivity to number, and the ability the recognize or
name a number without counting, has been called subitizing—the direct
and rapid perceptual apprehension of the numerosity of a group, from
the Latin “to arrive suddenly”
Segundo Tobias Dantzig, senso numérico:
"O homem, mesmo nas mais baixas etapas de seu desenvolvimento, possui
a faculdade que, por falta de um nome melhor, chamarei de senso
numérico. Essa faculdade permite-lhe reconhecer que alguma coisa mudou
numa pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto
foi retirado ou adicionado à coleção."
Acredito que o senso numérico e subitizing tenham muito em comum. Mas
o senso numérico vem antes do subitizing. Há estudos que bebês de 2
meses conseguem diferenciar 2 objetos de 3 objetos, eles estão usando
o senso numérico.
Porém esses mesmos bebês não conseguem diferenciar 4 de 5 objetos,
neste caso o senso numérico deles ainda não está tão desenvolvido.
No subitizing você determina a quantidade, ou seja, fornece uma
palavra-número que representa aquela quantidade. E acredito que para
isso esteja usando seu senso numérico. Por exemplo, se você olhar para
uma configuração de pontos 3x3 imediatamente você reconhece 9 pontos,
SEM contar. Parece-me que subitizing se aprende, e senso numérico é
inato. Este engloba aquele? não sei...
O subitizing é como bater o olho num ideograma e saber o que ele
significa.
Por outro lado, se há 87 bolinhas desenhadas em uma cartolina e 88 em
outra, não há senso numérico que diga se existe diferença, a
princípio. A não ser que essas bolinhas estejam organizadas. Ou ainda,
existe um livro chamado "Como ensinar matemática a seu bebê" onde o
autor afirma que crianças treinadas desde os primeiros meses,
conseguem diferenciar as 87 das 88 bolinhas! Vai saber...
Abs
Leo Akio
On Sep 15, 5:23 am, "Bigode *" <big...@pentaminos.mat.br> wrote:
> Leo é a primeira vez que vejo este termo que você usou "subitizing" no que
> ele difere do chmado "senso numérico" (Tobias Dantzig) ?
>
> Bigode
>
> Em 14 de setembro de 2011 17:38, Leo Akio Yokoyama
> <big...@pentaminos.mat.brTwitter><big...@pentaminos.mat.brTwitter>
>
> *Twitter: @bigodemat*
Ana Paula Perovano
encontrei em Fayol:
"A contagem é uma habilidade cognitiva precoce (Wilkison,1984). Trata-
se de uma habilidade, pois necessita de atividades visuais, manuais e
vocais. Ela emana do cognitivo, visto que repousa sobre um
conhecimento abstrato que diz respeito à ordem e à cardinalidade. Ela
se manifesta, praticamente em paralelo á aparição da linguagem
(Durkin, Shire, Riem, Crowther e Rutter, 1986)." (FAYOL, 1996, p. 60).
FAYOL, Michel. A criança e o número: da contagem à resolução de
problemas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
Leo, tenho interesse em sua tese tb.
Abraços,
Ana Paula
> Para saber mais sobre subitizing olhe esses artigos:http://www.google.com.br/#hl=pt-BR&sugexp=gsis%2Ci18n%3Dtrue&cp=14&gs...
Luciana Felix
Respondendo...
> Quanto à sua primeira pergunta, o que quer dizer com "anterior a noção
> de número"? Defina "noção de número".
Entendo por número justamente a constatação da cardinalidade comum a
dois conjuntos, ou seja, o número não é a contagem em si , mas o
produto desse processo de controle.
> Acredito que a contagem só surge após o surgimento das palavras-número
> [um], [dois], [três], etc. e dos diversos símbolos numéricos.
Quanto a essa afirmação, eu discordo... Uma criança, mesmo antes de se
apropriar das "palavras-número" (como você as chama), já é capaz de
perceber quando uma das bolinhas de um conjunto de bolinhas (até mesmo
idênticas) que estava brincando desaparece (quando digo se apropriar,
não estou me referindo a saber pronunciar tais palavras, mas saber o
que estas significam, ou seja, que estão associadas a uma quantidade,
a um número). Ela sabe, de alguma forma, que aqule conjunto não tem a
mesma quantidade (cardinalidade) do conjunto original. Ao comparar
quantidades de conjuntos, acredito que não estamos mais apenas
contando, mas já trabalhando com o número em si (como já defini
anteriormente).
> No início da história dos números o que havia era a correspondência um-
> a-um de "coleções-testemunho". Por exemplo, os antigos associavam cada
> risco em um osso para uma ovelha, ou uma pedrinha no saco para cada
> carneiro, etc.
> Eles estavam contando?
> Acredito que não. Mas eles tinham uma noção de quantidade, e
> conseguiam determinar se a coleção era igual ou nao após um
> determinado tempo.
Discordo novamente... No meu entendimento eles estavam contando sim,
mas não tinham, talvez, se apropriado do conceito (mais abstrato) de
número.
> Só a partir da criação dos símbolos e de cada palavra-número é que se
> tem o princípio da ordem estável (ver Gelman e Gallistel), e
> consequentemente o princípio da cardinalidade, e consequentemente, a
> contagem.
Não! Esse é um passo posterior ao da contagem. Depende de uma
abstração...E, portanto, o princípio da cardinalidade nos remete ao
conceito de abstrato de número e não contagem...
Mais reflexões...
Leo Akio Yokoyama
Boas reflexões!
Entendi que contagem para vocês começa com os primeiros homens que
registravam quantidades através de entalhes ou pedrinhas, etc. sem a
necessidade das palavras-número ou símbolos ou partes do corpo.
Por isso divergimos nos desdobramentos da definição de contagem.
O que vocês colocam é totalmente plausível e coerente.
Justificando minha discordância: a definição de contagem que estou me
baseando é a partir dos estudos de Gelman e Gallistel, que definem 5
princípios de contagem. Eu necessito desta abordagem justamente porque
estou analisando a contagem e quantificação pelas crianças com
síndrome de down. E desta maneira, a contagem através de outro tipo de
controle de quantidades não se aplica, pelo menos até agora, ao caso
da minha tese.
Obrigado pelas reflexões
Abs
Luciana Felix
Não esqueça de nos convidar para a defesa, hein!
De qualquer forma vou agregar mais essas referências à minha pilha de
coisas pra ler (hahahahahaha).
Com certeza devemos refletir sobre a gênese da noção de número (algo
ainda tão controverso) sob vários pontos de vista distintos.
Essa discussão foi bastante produtiva...
Um abraço,
Luciana Felix
(Professora das Redes Municipais do Rio de Janeiro e Duque de Caxias
e aluna do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática - IM/UFRJ)
Em 18 de setembro de 2011 14:48, Leo Akio Yokoyama
<leo...@yahoo.com.br> escreveu:
> --
> Para postar neste grupo, envie um e-mail para pro...@googlegroups.com
>
> Para ter acesso aos conteúdos passados do Grupo: http://groups.google.com.br/group/profmat?hl=pt-BR
>
> Visite também o Portal dos Professores de Matemática: www.leoakio.com
>
> Para receber um e-mail diário com o resumo das mensagens do dia, ou para cancelar a sua inscrição neste grupo, envie um e-mail para leo...@yahoo.com.br
>
João Batista Nascimento
Heitor Antônio Gonçalves
Heitor Antônio Gonçalves - UFSJ
Departamento de Ciências da Educação
Coordenador UAB/UFSJ