请问一个问题：怎么构造[0,1]到(0,1)的一一映射？

[Gestorm]

以前问过一个同学为什么[0,1]和(0,1)元素个数是相等的，他给了个证明：
如果card S表示集合S的基数，那么从x=2y可得card (0,1) == card (0,2)
然而显然有card (0,1) <= card [0,1] <= card (0,2)
从而得证。
然后我就想这个映射要怎么建立呢？一直没想出来，边上的洞洞怎么也搞不定。

[鋆邓]

除了映射以外还有一种方法可以证明无穷大的相等性，就是夹逼定理

在高数求极限的时候，有一个方法就是如果证明一个数列A从有限位置开始大于某个数列B，且小于某个数列C，并且数列B和C的极限都为N，那么可证明数列A的极限为N

比较无穷大的相等性也是，如果无穷大A大于无穷大B，且小于无穷大C，并且无穷大B和C相等，那么无穷大A和B、C都相等。

注意无穷大的大于、小于和等于可能是同时满足的，部分可能等于整体是无穷大的性质之一

 

对于这个问题，可以证明[0,1]的元素个数> (0,1)的元素个数>[0.1, 0.9]的元素个数=[0,1]的元素个数，因此得证[0,1]的元素个数等于(0,1)的元素个数

2008/8/27 Gestorm <zhcfr...@126.com>

[james lee]

这个不难，
定义映射f: [0,1] -> (0,1)如下：
f(0) = 1/2, f(1) = 1/4

f(2^(-i)) = 2^(-i-2), i >= 1
其它为 f(x) = x

2008/8/27 Gestorm <zhcfr...@126.com>

[鋆邓]

恩……楼上的映射构造的很强大，有《从一到无穷大》里那个旅馆店主的风范……崇拜……

2008/8/27 james lee <jamesl...@gmail.com>

[Mingli Yuan]

更一般化的处理，请参照下面的定理和证明：

Cantor–Bernstein–Schroeder theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%E2%80%93Bernstein%E2%80%93Schroeder_theorem

2008/8/27 鋆邓 <tdzl...@gmail.com>

[pongba]

2008/8/27 鋆邓 <tdzl...@gmail.com>

恩……楼上的映射构造的很强大，有《从一到无穷大》里那个旅馆店主的风范……崇拜……

同意！同拜！Orz..

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刘未鹏(pongba)|C++的罗浮宫
http://blog.csdn.net/pongba
TopLanguage
http://groups.google.com/group/pongba

[pongba]

2008/8/27 Gestorm <zhcfr...@126.com>

以前问过一个同学为什么[0,1]和(0,1)元素个数是相等的，他给了个证明：
如果card S表示集合S的基数，那么从x=2y可得card (0,1) == card (0,2)
然而显然有card (0,1) <= card [0,1] <= card (0,2)

 

这个方法似乎有一个前提，即无穷集的基数也像有穷数一样是可以比较大小，甚至是全序的。

[obtuseSword]

楼主的问题已经被大家圆满解决了，我只多嘴一下james lee的强大构造是怎么想到的：

[0,1] 和 (0,1) 只相差两个元素 { 0, 1 }，但它们有相同的基数，所以现在我们想构造一个一一对应的函数。
显然这个函数不容易用1/x,sin(x),exp(x)之类的初等函数表示，所以不像构造[0,1]和[0,2]的一一对应那样明朗，
应该换个思路。

由于两个集合只相差两个元素，所以它们应该很接近，我们不妨让这个映射保持大多数的元素不动，
仅对部分元素作变动。对哪些元素作变动呢？肯定要把0和1这两个元素映射到(0,1)中，但是0和1映射后，又“抠去”了(0,1)中的两个元素，这不
好办了。 仔细想想为何[0,1]和(0,1)有相同的基数，是因为它们有无穷个元素，这在有限个元素中是不可能发生的，所以我们应该从[0,1]和
(0,1)中分别取出一个子集S1,S2，使得S1和S2能够一一对应，而[0,1]-S1和(0,1)-S2一模一样，同时在S1和S2之间建立一一
对应要比原先简单得多。 这使你想到了什么呢？ 对，取S1,S2为一个可数集，这样我们就能逐个元素地确定对应关系。 不妨取 S1 =
{1,0,1/2,1/3,1/4...},取S2={1/2,1/3,1/4,...}，这样，很快可以构造出一个映射来： f(0) =
1/2, f(1) = 1/3, f(1/2) = 1/4, f(1/3) = 1/5,...

总而言之，这里的构造思路是“去繁就简，降低复杂度”。实数集太繁杂了，不妨抽离出其中的可数集，使问题大大化简。
在可数集之间建立一一对应具有先天的简单性和机械性，因为一旦列出了可数集的元素，也就建立了与自然数集的一一对应，两个可数集都与自然数集一一对应
了，即 an=f(n),bn=g(n), 那么 n=g'(bn), an=f(n)=f(g'(n)) ，很容易得出 an 和 bn 的一一对
应。

[ZelluX]

貌似是某年复旦自主招生的题目

[denny.wang]

我只说说我第一感觉想到的一个办法：

因为相差两个元素，我首先想到的就是把这两个集合都拆成两部分，一个可数集(含{0,1})和另外一部分。

两者的后一部分元素都相同，虽不可数，但一一对应很容易构造

前一部分两个可数集很容易构造一一映射(...)，这样就完成了.

依次方法，构造的方法任你想了

 

在这里给出另外一个问题，忘了，这样的构造的映射的个数是多少？势为多少？

 

在08-8-27，ZelluX <zel...@gmail.com> 写道：

--
Best Regards!

From: Denny Wang

[Gestorm]

> 我们应该从[0,1]和
> (0,1)中分别取出一个子集S1,S2，使得S1和S2能够一一对应，而[0,1]-S1和(0,1)-S2一模一样，同时在S1和S2之间建立一一
> 对应要比原先简单得多。 这使你想到了什么呢？ 对，取S1,S2为一个可数集，这样我们就能逐个元素地确定对应关系。 不妨取 S1 =
> {1,0,1/2,1/3,1/4...},取S2={1/2,1/3,1/4,...}，这样，很快可以构造出一个映射来： f(0) =
> 1/2, f(1) = 1/3, f(1/2) = 1/4, f(1/3) = 1/5,...

原来如此，我开始还没想通，原来james lee的i是整数啊。果然不同凡响。

[Gestorm]

On 8月27日, 下午1时56分, "james lee" <jamesliyuf...@gmail.com> wrote:
> 这个不难，
> 定义映射f: [0,1] -> (0,1)如下：
> f(0) = 1/2, f(1) = 1/4
>
> f(2^(-i)) = 2^(-i-2), i >= 1
> 其它为 f(x) = x
>

很强大!!!!
不过为什么要用 i 呢？开始我还以为是复数，发现大于1我又以为是实数，看了楼下几位的解说才明白是整数，如果用N的话立即就知道了。
哦，明白了，你也是程序员吧，for(i = 0; i < N; i++)里的i ^_^

[Gestorm]

On 8月27日, 下午11时25分, denny.wang <wxiao...@gmail.com> wrote:
> 我只说说我第一感觉想到的一个办法：
> 因为相差两个元素，我首先想到的就是把这两个集合都拆成两部分，一个可数集(含{0,1})和另外一部分。
> 两者的后一部分元素都相同，虽不可数，但一一对应很容易构造
> 前一部分两个可数集很容易构造一一映射(...)，这样就完成了.
> 依次方法，构造的方法任你想了
>

看了你的解说就全懂了，谢谢。

[Gestorm]

On 8月27日, 下午11时25分, denny.wang <wxiao...@gmail.com> wrote:

> 在这里给出另外一个问题，忘了，这样的构造的映射的个数是多少？势为多少？
>
> 在08-8-27，ZelluX <zel...@gmail.com> 写道：
>

映射的个数似乎不小于[0,1]的可数子集的个数。

[Gestorm]

On 8月27日, 下午2时09分, "Mingli Yuan" <mingli.y...@gmail.com> wrote:
> 更一般化的处理，请参照下面的定理和证明：
>
长见识了，谢谢

[hayate]

都很强大啊 哈哈