一道关于在公交站，等车平均等待时间的问题

[junfei liang]

题目和思路，放在代码的注释里了，感觉思路是对的，但没有这个选项。求确认。

-------------------
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

//
// 有A和B两路公交车, 平均发车间隔时间分别是5min和10min.
// 某乘客在站点S可以任意选择两者之一乘坐, 假设A和B到达S的时刻无法确定.
// 那么该乘客的平均等待时间约为:
// A. 1min20s B. 3min20s C.2min30s D. 1min40s
// 来源: 2014 阿里巴巴 武汉站 校园笔试题目

// 5分钟一趟
// 10分钟一趟
// 假设单位是一秒
// 等5分钟一趟的车, 有300种情况
// 等10分钟一趟的车, 有600种情况
//
// 认为两者相互独立
// (x, y) 表示两辆车到达的时间, 单位为秒
// 则显然等待时间为z=min(x, y)
// 统计每个z出现的次数, 则可求出, p(Z=i)的概率 = count[i] / (300*600)
//
// 求平均等待时间, 就是求期望
// E(Z) = sum(z*p[z])
// = sum(i*count[i]) / (300*600)
// = 125.5
// 也就是说, 平均等待时间为2min5.5s
//
// 题目种的答案只有: 1m20s, 1m40s, 2m30s, 3m20s
// 这个题目没有正确答案.


int main(int argc, const char *argv[])
{
int count[5*60+1] = {0};

for(int i = 1; i <= 300; ++i) {
for(int j = 1; j <= 600; ++j) {
int z = min(i, j);
count[z]++;
}
}

double ez = 0;
for(int i = 1; i <= 300; ++i) {
ez += i * count[i];
}

ez /= 300;
ez /= 600;

cout << ez << endl;

return 0;
}
/**
* output: 125.5
*/

[Yang Ye]

应该是A。1/(1/2.5+1/5))=1/0.6=5/3分钟。按一分钟的概率。

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[Yang Ye]

之前计算结果是1分40秒，是D，不是A。不过不正确。

用模拟解决

from random import ＊

seed

sum=0

for i in range(10000)
   i=randrange(0,600,1)
   j=randrange(0,300,1)
   if i<j:
      sum+=i
   else:
      sum+=j

print sum/10000

答案和楼主一致。

[junfei liang]

先前的把问题离散化了，下面是用连续的思路来解决
算出的结果，是2min5s
应该是对的。

// FZ(z)表示, Z < z的概率
// FX(x)表示, X < x的概率
// FX(x)表示, Y < y的概率
//
// FZ(z)表示的意思是在时间z内等到车的概率
// FZ(z) = p(Z < z) // z的(0, 5]
// = 1 - p(Z >= z)
// = 1 - p(X >= z)p(Y >= z) // Z = min(X, Y)
// = 1 - (1- FX(z))(1- FY(z))
// = 1 - (1 - z/5)(1- z/10)
// 读FZ(z) 求积分,可得
// fZ(z) = (15- 2z)/50
// eZ = 定积分(z*fZ(z)) // z 的范围是0到5
// 计算的结果是, 25/12 min
// 2min5s

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[Nan Xue]

为什么x和y分别满足均匀分布？那我换个分布算出来的结果会不一样吧。

[junfei liang]

是的，如果换个分布，结果应该是会变的。
但这个，到底是什么分布，题目没提到。
假设成均匀分布是否合理？不太确定。
还得再研究研究....

[猛禽]

这个算法是对的。
LZ的思路不对。因为300种情况是在5分钟范围内，600种情况是在10分钟范围内。
平均分布是因为乘客的到达时间是随机平均分布的。车辆的达到时间当然不是平均分布，但是因为求的也是平均时间，所以这个分布对结果没有太大影响。

[junfei liang]

猛禽同学，均匀分布那块儿，我想我弄明白你的意思了。
在模型里，车到达某个车站的时间是固定的，但是因为人到到站的时间是随机均匀的(这也是个假设。。。)。
所以他的等待时间，是一个均匀分布。
但，你前面的结论，我没看懂。
1/(1/2.5+1/5))=1/0.6=5/3 的逻辑是?
因为300种情况是在5分钟范围内，600种情况是在10分钟范围内, 所以?
可以解释一下吗？

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[HYRY]

平均5分钟一趟和10分钟一趟的车加在一起就是平均10分钟三趟。即200秒一趟。
而公车到达S站的分布按照泊松分布计算。

S站前后两个Bus之间的时间为伽玛分布(k=1, lambda=1/200)

由于观察者偏差现象，更多的人会出现在更长的BUS间隔中。

所以结果是一个如下的定积分：

integrate(x*x*gamma.pdf(x, k=1, lambda=1/200), 0, inf) / 200 / 2 = 200秒



在 2013年12月22日星期日UTC+9下午5时54分17秒，junfei liang写道：

[HYRY]

下面是Python模拟程序，结果为200秒：

import numpy as np

N = 100000 # 到达S站的BUS的总次数
m = 200 #平均200秒一趟BUS
bus = np.random.rand(N) * (N*m)
bus = np.sort(bus) #BUS的到达时间
passenger = np.random.rand(1000000)*(N*m*0.5) #模拟100万人次在前半段时间到达S车站

# 计算平均等待时间
pos = np.searchsorted(bus, passenger)
print np.mean(bus[pos] - passenger)

在 2013年12月22日星期日UTC+9下午5时54分17秒，junfei liang写道：

[junfei liang]

google了一下，I found， http://www.cnblogs.com/jmp0xf/p/2014_Alibaba_Waiting_Bus.html
文中，指出把“平均发车间隔”理解为“发车间隔”是不对的，
因为题目种有指出，假定 A 和 B 到达 S 的时刻无法确定。
如果是发车间隔是固定的，则达到S的时间应该是确定的才对。
然后，泊松分布什么的。。。。orz。。。
结果是3min20s.
如果，发车时间间隔固定确实是2min5s
搜索的过程种，还发现matrix67等车的一篇文章，
文种指出，如果发车时间间隔是随机的，那么等待时间就是平均发车时间间隔。
有意思~

[猛禽]

看了你后面给的链接以后发现我也想错了。我想当然地认为平均等待时间为平均间隔的一半……