Rzut zbioru borelowskiego
olejman
zbiorem borelowskim (w przestrzeniach R^n) ???
pozdrawiam
olej
--
============= P o l N E W S ==============
archiwum i przeszukiwanie newsów
http://www.polnews.pl
Puławski
wsk:
a czy B( R^2) = \sigma(B(R^1)*B(R^1))??
i moze podobnie jest dla wiekszych wymiarow?
Ł.P
Wlodzimierz Holsztynski
> zbioru borelowskiego jest
> zbiorem borelowskim (w przestrzeniach R^n) ???
>
>pozdrawiam
>olej
Na ogol nie. przyklad jest opisany w Kuratowski-Mostowski,
w dawnym wydaniu. W nowszym moze zostal przesuniety
do monografii Mostowskiego, nie jestem pewny.
(W ogole, pisze z pamieci)
Przyklady takie mozna generowac korzystajac
z operacji Suslina.
Najprosciej skonstruowac zbior nieborelowski
metoda Sikoskiego, zwlaszcza w kostce hilberta.
W zbiorze Kantora tez, ale w kostce hilberta
mozna skorzystac z punktu stalego (co w wypadku
dowodu klasy uniwersalnych zbiorow
borelowskich Sikorskiego zauwazyl Engelking).
Warto na pewno zajrzec do relatywnie nowej monografii
teoriomnogosciowej Ciesielskiego, wydanej przez
Springe-Verlag.
To tyle, co obecnie potrafioe powiedziec na ten temat.
Ale mamy na liscie specjaliste, moze sie odezwie.
Pozdrawiam,
Wlodek
Marcin Kysiak
tak, to przepraszam. Od razu mówię też, że nie znam trickowego, prostego
dowodu. Ten, który naszkicuję to po prostu solidny fragment teorii
zbiorów analitycznych.
Jeżeli się gdzieś pomyliłem, to krzyczcie.
olejman wrote:
> Czy ktoś może potrafiłby mi wyjaśnic czy rzut zbioru borelowskiego
> jest zbiorem borelowskim (w przestrzeniach R^n) ???
I. Odpowiedź brzmi: NIE.
1. Będziemy pracować w przestrzeni Baire'a, złożnonej ze wszystkich
nieskończonych ciągów o wyrazach naturalnych, oznaczmy ją przez N (w
druku jest to na ogół $\mathcal N$, czyli takie N kaligraficzne).
Wiadomo, że N jest homeomorficzna z liczbami niewymiernymi (jeżeli to
budzi wątpliwości, to proszę o sygnał). Zatem N to modulo zbiór
przeliczalny to samo co R, łatwo więc uwierzyć, że zagadnienie "da się
przenieść".
2. Definicja: zbiór X\subseteq N nazwiemy analitycznym, jeżeli jest
rzutem zbioru domkniętego w NxN. Równoważne warunki na analityczność, z
których chyba nie skorzystam, to:
a) rzut zbioru borelowskiego,
b) ciągły obraz zbioru borelowskiego,
c) borelowski obraz zbioru borelowskiego.
d) ciągły (borelowski) obraz N.
Każdy zbiór borelowski jest analityczny, co wynika np. z b).
3. Definicja: Niech G będzie klasą zbiorów (np. analityczne,
borelowskie). Powiemy, że U \subseteq NxN jest uniwersalny dla G,
jeżeli:
a) U \in G(NxN).
b) dla każdego A \in G(N) istnieje x\in N, że A = U_x = {y \in N :
<x,y>\in U}.
4. Twierdzenie: nie istnieje uniwersalny zbiór dla zbiorów borelowskich.
Dwd. Przypuśćmy, że U uniwersalny. Rozważmy B={x\in N : <x,x>\not\in U}.
Łatwo sprawdzić, że B - borelowski, ale \forall x U_x\not= B.
5. Pokażemy, że istnieje zbiór uniwersalny dla zbiorów analitycznych.
a) Robimy zbiór uniwersalny dla zbiorów otwartych. W tym celu numerujemy
elementy kanonicznej bazy topologii w N, mamy {p_n : n\in\omega}.
Kładziemy U\subseteq NxN zdefniowany:
<x,y>\in U <=> x\in \bigcup_n p_{y(n)}.
b) Dopełnienie U jest zbiorem uniwersalnym dla zbiorów domkniętych.
c) Ponieważ NxN jest homeomorficzne z N, istnieje zbiór F\subset Nx(NxN)
uniwersalny dla zbiorów domkniętych, tzn. każdy zbiór domknięty w NxN
jest pewną sekcją F wyznaczoną przez pierwszą współrzędną.
d) Rzutujemy F na trzecią oś i sprawdzamy, że mamy zbiór uniwersalny dla
analitycznych.
Czyli klasy zbiorów borelowskich i analitycznych są różne, bo jedna nie
ma własności zbioru uniwersalnego, a druga ma.
II. Jak już mamy odpowiedź, to można pomyśleć o konkretnych przykładach.
1. Definicja: zbiór A \subset Y (gdzie Y jest dowolną przestrzenią
polską) nazwiemy zupełnym dla klasy zbiorów analitycznych, jeżeli dla
dowolnego zbioru analitycznego B w przestrzeni polskiej X istnieje
funkcja borelowska
f: X->Y taka, że B=f^{-1}[A].
2. Fakt. Zbiór zupełny dla zbiorów analitycznych nie może być
borelowski. To staje się jasne, jeżeli za B podstawimy zbiór analityczny
nieborelowski, a wiemy już, że taki istnieje.
3. Wiadomo, że zbiór IF wszystkich drzew nieufundowanych (tzn. mających
nieskończoną gałąź) na \omega jest zupełny dla zbiorów analitycznych.
Zatem nie jest on borelowski.
Ja bardzo lubię ten przykład, dlatego, że ma on ciekawą strukturę
logiczną. Aby udowodnić, że nasz przykład ma żądaną własność, musimy
wiedzieć, że jakiś przykład istnieje, co osiągamy zupełnie innymi
metodami.
III. Warto jeszcze wspomnieć, że ciągły i *różnowartościowy* obraz
zbioru borelowskiego musi być borelowski.
IV. Warto też wiedzieć, że każdy zbiór analityczny jest mierzalny w
sensie Lebesgue'a.
Jako lekturę polecam A. K. Kechris - "Classical Descriptive Set Theory"
(Springer Verlag, GTM, vol. 156). Dość zaawansowana, ale bardzo
przystępnie napisana monografia.
Pozdrawiam
Marcin
--
Marcin Kysiak
mkysiak(a)poczta.onet.pl
Wysyłając do mnie pocztę, usuń "USUNTO" z mojego adresu.
Wlodzimierz Holsztynski
>wsk:
>a czy B( R^2) = \sigma(B(R^1)*B(R^1))??
A co ta notacja po prawej oznacza?
Przeliczalne sumy zbiorow postaci G'xG",
gdzie G' i G" sa borelowskie w R?
Wtedy na pewno nie dostanie sie B(R^2).
Jest to prosta obserwacja, wiec jej
nie wygadam. Zreszta niczego nie wnosi
do tematu.
Pozdrawiam,
Wlodek
PS. A "wsk:" oznaczalo wskazowke? :-)
>i moze podobnie jest dla wiekszych wymiarow?
>Ł.P
>
>
Puławski
"Wlodzimierz Holsztynski" <senn...@yahoo.com> wrote:
> >
> >wsk:
> >a czy B( R^2) = \sigma(B(R^1)*B(R^1))??
>
> A co ta notacja po prawej oznacza?
>
> Przeliczalne sumy zbiorow postaci G'xG",
> gdzie G' i G" sa borelowskie w R?
>
> PS. A "wsk:" oznaczalo wskazowke? :-)
istotnie, "wsk." oznaczalo wskazowke,
ale \sigma(costam) to nie jest to co zaproponowales.
moze to nie jest standardowa notacja, ale chodzilo o
\sigma-cialo generowane przez costam.
pzdr.
Ł.O.
Wlodzimierz Holsztynski
Tylko pytalem. Jezeli sigma(K) oznacza
sigma-cialo zbiorow, generowane przez K,
to oczywiscie rownosc, ktora podales
zachodzi. Ale wydaje sie to tylko epsilon
krok w kierunku odpowiedzi, a wiec wciaz
za malo na wskazowke. widac to po slicznym
artykule Marcina, w tym watku.
Pozdrawiam,
Wlodek
PS. PolNews rwie wątki. szukam artykulow
z danego wątku uzywajac przeszukiwarki,
na przyklad bioraz za slowo kluczowe "borel".
Meczace to.
Marcin Kysiak
> d) Rzutujemy F na trzecią oś i sprawdzamy, że mamy zbiór
> uniwersalny dla analitycznych.
Nie o to chodziło. Miało być: bierzemy odwzorowanie <x,y,z> |-> <x,z>,
tzn. rzutujemy na produkt pierwszej i trzeciej osi.