Objetosc asteroidy
Michal Lachowicz
x=a*sin(t)^3
y=a*cos(t)^3
obliczyc objetosc w granicach 0 do 2*pi()
wiec obliczam
dx
--- =-3acos(t)^2 sin(t) - chyba ze sie myle
dt
y^2=a^2cos(t)^6 - tu raczej sie nie myle
wiec
V=pi()* S[a;b] {y^2 dx/dt dt} =
= -3a^3 pi() S[0:2pi] { cos(t)^8 sin(t) }
i tu mam kosmos
Odp : 32/105 a ^3 pi()
Albo latwiejsze jak mi sie wydaje
y=e^(-x) x<0;ln(10)>
V=pi S[0,ln(10)] {e^(-2x)}
i znowu kosmos
Odp : 99/200 pi
Pozdrowienia
Michal
PS: W czym lezy moj problem z pozycji dydaktyka ?
Maciek
> x=a*sin(t)^3
> y=a*cos(t)^3
>
> obliczyc objetosc w granicach 0 do 2*pi()
(CIACH)
>
> Odp : 32/105 a ^3 pi()
>
Cos Ci sie chyba pokicialo w zalozeniach.
O ile dobrze rozumiem, asteroida jest plaska?
Jej rozmiary w kierunku X zaleza liniowo od parametru a.
W kierunku Y tak samo.
Wiec w wyniku powinienes miec a^2.
Zreszta, daj wielkosci a jednostke, powiedzmy metr.
Wynik powinien wyjsc w metrach kwadratowych, nie szesciennych.
Rozwiazanie podam w poniedzialek.
Sorry, teraz musze sie oderwac od komputra.
Maciek
Michal Lachowicz
Użytkownik Maciek <mac...@elkomtech.com.pl> w wiadomości do > > obliczyc
objetosc w granicach 0 do 2*pi()
> (CIACH)
objetosc musi byc w j.szesciennych
> Rozwiazanie podam w poniedzialek.
czekam
Pozdrowienia
Michal
Krzysztof Parzyszek
>parametryczna postac asteroidy to
>x=a*sin(t)^3
>y=a*cos(t)^3
A jakby Cie interesowal sam wynik + inne rzeczy, to zajrzyj na
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html
Famous Curves Index
--
Pozdrawiam,
~~KP
rudolf
Michal Lachowicz napisał(a) w wiadomości: ...
>parametryczna postac asteroidy to
>x=a*sin(t)^3
>y=a*cos(t)^3
>
>
>dx
>--- =-3acos(t)^2 sin(t) - chyba ze sie myle
>dt
>
Po pierwsze to moim skromnym zdaniem asteroida nie ma objetosci a jedynie
pole powierzchni. A jesli masz problemy z rozwiazaniem to siegnij do ksiazki
Krasicki, Wlodarski "Analiza matematyczna w zadaniach czesc I". Tam jest to
zadanie calkowicie rozwiazane i podaja jako rozwiazanie P=3/8pia^2
A wystarczy sobie to przecalkowac w przedziale od 0 do pi/2 i pomnozyc przez
4 i po drodze policzyc calke z (sinx)^4(cosx)^2dx.
Maciek
x = a sin^3(t), y = a cos^3(t), 0 <= t <= 2 pi [1]
Na poczatek nalezaloby sprawdzic, ze krzywa zadana tymi rownaniami
jest zamknieta i nie przecina samej siebie, bo inaczej proba
obliczenia pola moze dac istotnie 'ko(s)miczne' wyniki.
Zalozmy, ze to juz jest zrobione.
Poniewaz jest to krzywa zamknieta, wysoce symetryczna, o srodku
w poczatku ukladu wspolrzednych XY, to przeliczymy ja do ukladu
wspolrzednych biegunowych. Po co? Na przyklad dla sportu. I jeszcze
po to, zeby sobie rachunki uproscic.
Wspolrzedne nazwiemy R (promien) i f (kat). Wolalbym alfa, ale to za
duzo pisania, wiec niech bedzie fi - skrocone do jednej litery ;-))
Poczatek ukladu wspolrzednych R,f umiescimy w poczatku ukladu XY,
a f bedziemy liczyc od dodatniej polosi Y+ ku dodatniej polosi X+.
Dlaczego tak? Poniewaz tak wlasnie biegnie punkt po asteroidzie, gdy
t zmienia sie od zera do 2 pi. Gdyby przyjac tradycyjnie kat od
polosi X+ przez Y+, to f biegloby przeciwnie do t, i w efekcie
scalkowane pole figury byloby ujemne.
W zasadzie to nie ma istotnego znaczenia. Roznica jest tylko taka, jak
przy spojrzeniu z przeciwnej strony kartki: odwracaja sie znaki pewnych
miar, ale wzajemne stosunki geometryczne pozostaja przeciez bez zmiany.
Majac zdefiniowany uklad biegunowy mozemy przeliczyc wspolrzedne:
R = (x^2 + y^2)^1/2 = a (sin^6(t) + cos^6(t))^1/2 [2]
tg(f) = x / y = tg^3(t) [3]
Kiedy parametr t zmienia sie o rozniczke dt, promien wodzacy punktu
na krzywej zakresla pewien sektor. Pole tego sektora jest rozniczka
szukanego pola figury ograniczonej krzywa [1]. Wolno je przyblizyc
trojkatem rownoramiennym o kacie wierzcholkowym rownym rozniczce df
i wysokosci R. Faktyczna nierownosc ramion sektora, zwiazana
z przyrostem R o dR, jest bez znaczenia. Tak samo jak w przedstawieniu
calki S y(x) dx przez sume prostokatow o wysokosci y i szerokosci dx
bez znaczenia jest trojkacik wystajacy o dy ponad krzywa y(x).
W obu przypadkach, gdy dx i df zbiegaja sie do zera, suma pol tych
obcietych trojkacikow takze maleje do zera.
Tak wiec rozniczka pola figury wynosi:
dP = 1/2 * (wys.sektora) * (podstawa sektora)
dP = 1/2 * R * (R * df) = 1/2 R^2 df
dP = 1/2 a^2 (sin^6(t) + cos^6(t)) df [4]
Teraz trzeba wyznaczyc rozniczke kata df. Rozniczkujemy stronami [3]:
d tg(f) = d tg^3(t)
1/cos^2(f) df = 3 tg^2(t)/cos^2(t) dt
1/cos^2(f) df = 3 sin^2(t)/cos^4(t) dt
Mnozymy obie strony przez cos^2(f):
df = 3 sin^2(t) cos^2(f) / cos^4(t) dt [5]
Bierzemy teraz tozsamosc:
cos^2(f) = 1 / (1 + tg^2(f))
i podstawiamy do niej tg(f) z rownania [3]:
cos^2(f) = 1 / (1 + tg^6(t))
Rozwijamy tangens do ilorazu sin/cos i redukujemy pietra ulamka:
cos^2(f) = cos^6(t) / (sin^6(t) + cos^6(t)) [6]
Podstawiamy [6] do [5] i skracamy ulamek o cos^4(t):
df = 3 sin^2(t) cos^2(t) / (sin^6(t) + cos^6(t)) dt
Korzystajac z tozsamosci:
sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)
zwijamy wyrazenie w liczniku:
df = 3/4 sin^2(2t) / (sin^6(t) + cos^6(t)) dt [7]
Podstawiamy [7] do [4]:
dP = 3/8 a^2 sin^2(2t) dt
Przywolujemy na pomoc kolejna dobrze znana tozsamosc:
sin^2(alfa) = (1 + cos(2 alfa)) / 2
i dostajemy:
dP = 3/16 a^2 (1 + cos(4t)) dt
Nadszedl czas na krok koncowy. Mamy dP wyrazone przez t i dt,
mozemy wiec scalkowac dP w zadanej dziedzinie t:
P = S[t=0; 2 pi] dP
P = S[0; 2 pi] 3/16 a^2 (1 + cos(4t)) dt
Wylaczamy stale przed calke:
P = 3/16 a^2 S[0; 2 pi] (1 + cos(4t)) dt
Funkcja pierwotna funkcji podcalkowej jest:
F(t) = t + sin(4t)/4 + C
wiec
P = 3/16 a^2 (F(2 pi) - F(0))
P = 3/16 a^2 ((2 pi + 0) - (0 + 0))
Ostatecznie:
P = 3/8 pi a^2
Proste, nie? Kiedy calka ma w miare prosta interpretacje geometryczna
warto przez chwile "wczuc sie" w te geometrie, poszukac symetrii,
proporcji itp. To bardzo ulatwia znalezienie odpowiednich podstawien.
Kosztem paru(...nastu) przeksztalcen otrzymujemy funkcje, ktora
w zasadzie calkuje sie w pamieci :-)))
Niestety, jest jeden haczyk. To rozwiazanie jest niepoprawne!
W rownaniu [3] po obu stronach wystepuje funkcja tangens, w pewnych
punktach nieokreslona. Skutkiem tego dalej, we wzorze [5] pojawia sie
cosinus w mianowniku, a wyprowadzajac [7] skracamy ulamek przez
tenze cosinus - co w tych samych punktach daje dzielenia przez zero.
Uratowac wywod mozna na dwa sposoby: analitycznie albo inteligentnie.
Analitycznie trzeba by policzyc granice odpowiednich ilorazow
i pokazac, ze interesujace nas stosunki pozostaja zachowane pomimo
ze wartosci rozbiegaja sie do nieskonczonosci.
Inteligentnie nalezy skorzystac z okresowosci i symetrii funkcji
trygonometrycznych.
To znowu mozna na dwa sposoby: na wprost albo trickiem.
Metoda na wprost polega na wykazaniu, ze kazdy kolejny przedzial
[n * pi/4, (n+1) * pi/4], n = 0,1,...,7
wartosci t odpowiada takiemuz przedzialowi wartosci f, i ze ksztalt
kazdej takiej 1/8 asteroidy jest taki sam.
Stad takie same sa ich pola, wiec wystarczy scalkowac dP w jednym
takim przedziale i pomnozyc wynik przez osiem. Bierzemy pierwszy
przedzial, od 0 do pi/4 - w nim cos(t) sie nie zeruje i tangens
jest skonczony, i muzyka gra.
Wynik:
P = 8 * 3/16 a^2 S[0;pi/4] (1 + cos(4t)) dt
P = 8 * 3/16 a^2 (F(pi/4) - F(0))
P = 8 * 3/16 a^2 ((pi/4 + sin(4 * pi/4)/4) - (0 + 0))
P = 8 * 3/16 a^2 pi/4
P = 3/8 a^2 pi
- zgadze sie.
A trick wyglada tak: odwracamy [3] stronami do postaci:
ctg(f) = y/x = ctg^3(t)
i krytyczne przejscie wykonujemy raz na tangensach i ze skracaniem
cosinusa, a raz na cotangensach ze skracaniem sinusa. Obiema drogami
uzyskuje sie ten sam wynik (wzor [7]), ktory na mocy jednego
wyprowadzenia jest sluszny dla calej asteroidy z wyjatkiem byc moze
parzystych kolcow (x=0, cos(t)=0, tg(t)=+/-inf), a na mocy drugiego
- wszedzie z wyjatkiem nieparzystych (y=0, sin(t)=0, ctg(t)=+/-inf).
W sumie - jest dobry wszedzie.
Koniec? Niestety, nie. Przeciwko wyprowadzeniu wzoru [7] mozna znalezc
jeszcze jeden argument, takze zwiazany z [3].
Otoz w podanej dziedzinie t mieszcza sie dwa okresy funkcji tg(t).
Ten sam tangens moze miec parametr rozny o pi, bo oczywiscie
x/y = (-x)/(-y)
A wiec calkujac po t wcale nie wiemy, czy przejscia do dziedziny f
i z powrotem prawidlowo nam odwzorowaly R(t).
Oczywiscie ze jest dobrze, to widac na oko z rysunku, ale ocena
"na oko" w matematyce, to...
Albo cos wynika z aksjomatow (daje sie udowodnic), albo jest
nieprawda. A odpowiedniosci dziedziny f i t nie udowodnilismy.
Z takiego zarzutu tez mozna sie wybronic, ale to juz trudniej.
Trick z cotangensem nic nam tutaj nie pomoze.
Pozostaje uzyc metody przedstawionej wczesniej: oprzec sie na
okresowosci i parzystosci sinusa i cosinusa, udowodnic symetrie
figury i scalkowac jej polowke po czym podwoic wynik.
Albo i nie: gdy juz symetria jest udowodniona, to obojetne jest,
czy calka nam sie liczy po calej krzywej (po obu takich samych
polowkach), czy tez dwukrotnie po jednej polowce - wynik jest
ten sam.
Tak czy owak, trzeba te symetrie wykazac.
Albo... moze by sobie rozrysowac, jak przy zmianie t o dt przemieszcza
sie punkt T = [ x(t), y(t) ] na krzywej. Zaznaczamy promien wodzacy
R-> oraz jego przyrost dR-> (smieszne sa te strzalki, ale nie wiem jak
inaczej oznaczyc wektor w ascii). Wektory te maja skladowe:
R = [ x, y ]
dR = [ dx, dy ]
czyli
R = [ a sin^3(t), a cos^3(t) ]
dR = [ 3a sin^2(t) cos(t) dt, -3a cos^2(t) sin(t) dt ]
Z rysunku wyprowadzimy zaleznosc na rozniczke kata df:
df = sin(e) * |dR| / |R| [1']
gdzie e oznacza kat pomiedzy wektorami. Wartosc sin(e) wyliczymy ze
skladowych obu wekorow. Dla niezerowych wektorow A=[Xa,Ya] B=[Xb,Yb]
sinus kata pomiedzy A i B wynosi:
sin( k(A,B) ) = (Xb Ya - Yb Xa) / (|A| |B|)
Latwo to udowodnic, jesli wyjdzie sie od stwierdzenia, ze kat pomiedzy
A i B jest roznica katow pomiedzy osia Y i kazdym z nich, a nastepnie
podstawi Xb/|B|, Ya/|A|,... za odpowiednie sinusy i cosinusy we
wzorze na sinus roznicy katow.
A zatem:
sin(e) = (dx y - dy x) / (|R| |dR|) [2']
Dalej podstawiamy te rownosc do [1']
df = (dx y - dy x) / (|R| |dR|) * |dR| / |R| [3']
df = (dx y - dy x) / |R|^2 [4']
podstawiamy skladowe wektorow w liczniku (mianownik pozniej):
df = (3 a^2 sin^2(t) cos^4(t) dt +
3 a^2 cos^2(t) sin^4(t) dt ) / |R|^2
wylaczamy wspolne czynniki:
df = 3a^2 sin^2(t)cos^2(t) (cos^2(t) + sin^2(t)) / |R|^2
redukujemy jedynke trygonometryczna:
df = 3a^2 sin^2(t) cos^2(t) / |R|^2
zwijamy licznik a rozwijamy mianownik:
df = 3/4 a^2 sin^2(2t) / (x^2 + y^2) dt
podstawiamy brakujace skladowe w mianowniku:
df = 3/4 a^2 sin^2(2t) / (a^2 sin^6(t) + a^2 cos^6(t)) dt
i po skroceniu a^2 stwierdzamy, ze mamy rownanie [7]:
df = 3/4 sin^2(2t) / (sin^6(t) + cos^6(t)) dt
Na tej sciezce tez mamy zerowanie mianownika: na wszystkich ostrzach
asteroidy dR-> jest wektorem zerowym. Arytmetycznie daje to przy
przejsciu od [3'] do [4'] skrocenie ulamka przez zero.
Jednak tym razem zbywamy zarzut lekkim wzruszeniem ramion:
kiedy dR-> jest zerowe, to:
R-> + dR-> = R->
a wiec natychmiast:
df=0 [8']
oraz:
dP=0.
To, ze sin(e) ze wzoru [2'] jest nieoznaczony nie wnosi zadnego bledu
do obliczenia df. Nieciaglosc dotyczy bowiem wartosci kata e, nie zas
sin(e). Na ostrzu e zmienia wartosc z 0 na pi, ale sin(e) przechodzi
z 0 na 0; nieciaglosc ma wiec taki sam charakter, jak dla funkcji
f(x)=x/x w punkcie x=0. Mozna ja usunac uznajac, ze sin(e) wynosi 0.
Cala reszta wyprowadzenia pozostaje wtedy poprawna.
Albo tez mozemy zastrzec, ze wyprowadzenie nie obowiazuje dla
t_n = n * pi/2, n = 0, 1, 2, 3, 4
po czym wzor [7] z dziurami w punktach t_n uzupelnic przez [8']:
df_(t=tn) = 0
co zamyka problem.
No dobra, to tyle by bylo tej zabawy.
W zadaniu zapewne jednak nie chodzi o to, by policzyc pole asteroidy,
ale zeby pokazac umiejetnosc radzenia sobie z pewnym typem calek.
Popatrzmy wiec, jak policzyc to pole w ukladzie kartezjanskim,
podstawowa metoda calkowania prostokatami.
Rozbijamy pole P na rozniczki dP w ksztalcie prostokatow o wysokosci
y i szerokosci dx. Pole takiego prostokata:
dP = y * dx [1"]
Z [1] jest:
y = a cos^3(t)
dx = 3a sin^2(t) cos(t) dt
wiec po podstawieniu do [1"] mamy:
dP = 3 a^2 cos^4(t) sin^2(t) dt [2"]
No i calkujemy to po calej dziedzinie:
P = S[t=0; 2 pi] dP
P = 3 a^2 S[0;2 pi] cos^4(t) sin^2(t) dt [3"]
Aby oszczedzic sobie pisania, zajmijmy sie sama calka nieoznaczona:
I1 = S cos^4(t) sin^2(t) dt
Najpierw zastepujemy sin(t)cos(t) przez sin(2t)/2
po czym za pozostaly cos^2(t) podstawiamy (1 + cos(2t)) / 2:
I1 = 1/8 S sin^2(2t) (1 + cos(2t)) dt [4"]
Podstawiamy nowa zmienna:
u = 2t, dt = 1/2 du
I1 = 1/16 S sin^2(u) (1 + cos(u)) du
Mamy zatem:
I1 = 1/16 ( I2 + I3 ) [5"]
gdzie:
I2 = S sin^2(u) du
I3 = S sin^2(u) cos(u) du [6"]
Calke I2 obliczamy podstawiajac sin^2(u) = (1 - cos(2u)) / 2:
I2 = 1/2 S (1 - cos(2u)) du
I2 = 1/2 u - 1/4 sin(2u) + C [7"]
Calke I3 obliczamy natychmiast, gdy zauwazymy ze jest tam iloczyn
funkcji zlozonej (kwadrat sinusa) i pochodnej funkcji wewnetrznej
cos(u) = sin'(u). A wiec:
I3 = 1/3 sin^3(u) + C [8"]
Podstawiamy [7"] i [8"] z powrotem do [5"]:
I1 = 1/16 ( u/2 - sin(2u)/4 + sin^3(u)/3 ) + C
i wracamy do zmiennej t = u/2:
I1 = 1/16 ( t - sin(t)/4 + sin^3(t/2)/3 ) + C
Z ta calka wracamy teraz do [3"]:
P = 3/16 a^2 ( t - sin(t)/4 + sin^3(t/2)/3 )[0;2 pi]
Oba sinusy zeruja sie dla t = 2*pi oraz t = 0, zatem:
P = 3/16 a^2 ( (2 pi - 0 + 0) - (0 - 0 + 0) )
P = 3/16 a^2 * 2 pi
P = 3/8 pi a^2
KONIEC :-))
Maciek
To znaczy, ze mowiny o bryle ograniczonej powierzchnia
w przestrzeni 3-wymiarowej, nie o krzywej plaskiej.
Gdzie zatem rownania dla wspolrzednej Z?
Powierzchnia (jesli zadanie nie jest zlosliwe) jest lokalnie
podobna do plaszczyzny. Powinna byc zatem opisana jednym
rownaniem (badz w przedzialach - pojedynczymi rownaniami)
z trzema zmiennymi:
f(x,y,z) = 0
np. dla kuli:
x^2 + y^2 + z^2 + R^2 = 0
lub (parametrycznie) trzema rownaniami z dwoma parametrami:
x = f(u,v)
y = g(y,v)
z = h(u,v)
gdzie u i v beda odpowiadaly za przemieszczanie punktu (x,y,z)
po powierzchni w dwu niezaleznych, niekoniecznie prostopadlych,
kierunkach. Np. dla kuli
x = R sin(fi) sin(lambda)
y = R sin(fi) cos(lambda)
z = R cos(fi)
gdzie fi,lambda - szerokosc i dlugosc geograficzna.
Maciek
Maciek
> podobna do plaszczyzny. Powinna byc zatem opisana jednym
> rownaniem (badz w przedzialach - pojedynczymi rownaniami)
> z trzema zmiennymi
Maciek
> Powierzchnia (jesli zadanie nie jest zlosliwe) jest lokalnie
> podobna do plaszczyzny. Powinna byc zatem opisana jednym
> rownaniem (badz w przedzialach - pojedynczymi rownaniami)
> z trzema zmiennymi:
> (...)
>
> lub (parametrycznie) trzema rownaniami z dwoma parametrami:
> x = f(u,v)
> y = g(y,v)
> z = h(u,v)
Oczywiscie, mialo byc:
x = f(u,v)
y = g(u,v)
z = h(u,v)
Maciek
PS.
Przepraszam za powtorke, to przez pospiech :-((
Maciek
x = R cos(fi) sin(lambda)
y = R cos(fi) cos(lambda)
z = R sin(fi)
Podane wczesniej rownania dzialaja tak samo dobrze,
tylko ze fi ma w nich interpretacje jako odleglosc
katowa od bieguna, nie od rownika, tj. oznacza
fi = (90 stopni) - (szerokosc geograficzna)
Maciek
zmiennej u z powrotem do t popelnilem blad.
Powinno byc:
>
> I3 = 1/3 sin^3(u) + C [8"]
>
> Podstawiamy [7"] i [8"] z powrotem do [5"]:
> I1 = 1/16 ( u/2 - sin(2u)/4 + sin^3(u)/3 ) + C
>
> i wracamy do zmiennej t = u/2:
> I1 = 1/16 ( t - sin(4t)/4 + sin^3(2t)/3 ) + C
>
> Z ta calka wracamy teraz do [3"]:
> P = 3/16 a^2 ( t - sin(4t)/4 + sin^3(2t)/3 )[0;2 pi]
>
Na szczescie, sinusy tak czy inaczej zeruja sie tam gdzie
trzeba, wiec wynik sie zgodzil.
Tym nie mniej wzory sa nieprawidlowe, za co przepraszam
wszystkich czytelnikow.
Maciek
Michal Lachowicz
Użytkownik Michal Lachowicz <Mlach...@elka.pw.edu.pl>
Przeprasza za niescislosc
Chodzilo oczywiscie o obrot asteroidy podanymi
rownaniami parametrycznymi
wokol osi ox
Jeszcze raz przepraszam za niescislosc
Jezeli teraz ktos chce pomoc to te rownania
sa w pierwszym post'cie
Pozdrowienia
Michal Lachowicz
Maciek
> Chodzilo oczywiscie o obrot asteroidy podanymi
> rownaniami parametrycznymi
> wokol osi ox
>
Obrot asteroidy ..... rownaniami parametrycznymi?
Czy przypadkiem nie zjadlo Ci sie jakies slowo
w miejscu kropek?
Aha, i moze jeszcze uprzejmie podasz, o jaki kat ma
byc ten obrot, bo bez tego rachunki moga sie zle skonczyc.
Dlaczego zle, powinienes sam zgadnac. Zgadniesz?
Maciek
PS.
Nie wiem, jak z pozycji dydaktyka, ale z mojej pozycji
to wyglada na to, ze Twoim problemem jest brak zainteresowania
zadaniem, objawiajacy sie brakiem porzadku w pisaniu (a byc moze
tez i w mysleniu) o nim.
Sorry, to przykre, ale tak to wyglada.
Marek Szyjewski
<Mlach...@elka.pw.edu.pl> wrote:
>parametryczna postac asteroidy to
Asteroida to cialo niebieskie niewielkich rozmiarow. Pas asteroid jest
w Ukladzie Slonecznym miedzy orbitami Marsa i Jowisza.
>x=a*sin(t)^3
>y=a*cos(t)^3
To jest rownanie parametryczne ASTROIDY - krzywej plaskiej lezacej na
plaszczyznie Oxy w kole x^2 + y^2 =< a^2, opisywanej przez punkt
okregu o promieniu a/4, toczacym sie bez poslizgu po okregu x^2 + y^2
= a^2 od wewnatrz.
>
>obliczyc objetosc w granicach 0 do 2*pi()
Hmmm... Astroida jest krzywa plaska. Dlugosc jej luku (miara
jednowymiarowa) od wierzcholka (punktu zwrotu) przy t = 0 do t = T
wynosi (3/2)Rsin^2 (T). Bedac krzywa zamknieta i kawalkami gladka,
astroida ogranicza obszar ograniczony i mierzalny, o polu powierzchni
(miara dwuwymiarowa) (3/8)\pi*a^2.
O co chodzi z ta objetoscia (miara trojwymiarowa)?
Z powazaniem
Marek Szyjewski
My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!
Michal Lachowicz
> > rownaniami parametrycznymi
> > wokol osi ox
> Obrot asteroidy ..... rownaniami parametrycznymi?
pomoze policzyc ta [cholerna] calke
Nalezy obliczyc objetosc figury powstalej z obrotu asteroidy
wokol osi ox o pelny kat
Teraz juz powinno byc wszystko jasne
Rownania sa podane w pierwszym poscie
i tam jest problem (calka) na ktorej stanalem
> zadaniem, objawiajacy sie brakiem porzadku w pisaniu (a byc moze
> tez i w mysleniu) o nim.
> Sorry, to przykre, ale tak to wyglada.
PS: Bez komentarza
Michal
Maciek
> Nalezy obliczyc objetosc figury powstalej z obrotu asteroidy
> wokol osi ox o pelny kat
> Teraz juz powinno byc wszystko jasne
> Rownania sa podane w pierwszym poscie
> i tam jest problem (calka) na ktorej stanalem
Calka na ktorej stanales nalezy do najprostszych. Jesli przeczytales
moj post pod tytulem "Objetosc asteroidy (UWAGA: DLUGIE)",
to powinienes sobie dac z nia rade z zamknietymi oczami:
funkcja zlozona (potega cosinusa) razy pochodna funkcji wewnetrznej
(sinus, a scislej 'minus sinus', jest pochodna cosinusa).
Funkcja pierwotna to dziewiata potega cosinusa (razy stala, -1/9).
Niestety, chociaz taka prosta, ta calka nie jest tym o co chodzi.
Pomyliles sie w obliczeniu dx/dt - w funkcji x(t) masz szescian
sinusa. To co napisales, to jest dy/dt.
Poza tym nie zauwazyles szczegolu, o ktory Cie zapytalem:
Dlaczego obliczenia moga sie zle skonczyc, jesli zle
przyjmiemy kat obrotu krzywej wokol osi X?
A dlatego, ze podana krzywa PRZECINA OS X.
I wobec tego, jesli ja obrocisz o kat PELNY, to ona obrysuje
pewna bryle DWUKROTNIE.
Gdyby krzywa nie byla symetryczna wzgledem osi X, to tylko
czesc bryly bylaby obrysowana dwukrotnie. Poniewaz TA krzywa jest
symetryczna wzgledem osi, to dwukrotnie obrysuje CALA bryle.
W kazdym razie masz zadanie zle sformulowane.
Nalezy te krzywa obrocic o kat POLPELNY; wtedy gorna i dolna polowka
krzywej obrysuja po pol bryly (gdybys zamiast asteroidy mial okrag,
to by bylo po jednej polkuli).
Albo nalezy obrocic o kat pelny POL krzywej - a wtedy calke musisz
liczyc po przedziale t od -pi/2 do pi/2, albo od pi/2 do 3*pi/2.
W kazdym razie nie od 0 do 2*pi.
A jak obliczac calke (kiedy ja juz prawidlowo okreslisz), to mozesz
sobie poczytac w tamtym moim liscie.
Wszystkie przydatne przeksztalcenia tam sa. Co prawda nie doprowadza
Cie do takiej ladnej postaci koncowej, ale umozliwia przeksztalcenie
funkcji po calka do dosyc prostej postaci niewymiernej, z ktora juz
latwo dasz sobie rade wedlug tablic.
Maciek
PS.
Tym razem juz pelnego rozwiazani nie dostaniesz.
Trudno. Jakas kara musi byc.
Ja swoja juz dostalem: zbyt chetny bylem do pomocy, to sie okazalo,
ze cale wyprowadzenie wraz z dyskusja jest na smieci, bo zadanie bylo
calkiem inne.
A propos, dyskusja tez Ci sie przyda. W wyprowadzeniu 3D sa dokladnie
te same punkty nieoznaczonosci.
J.F.
>parametryczna postac asteroidy to
>y=a*cos(t)^3
>
>obliczyc objetosc [...]
>V=pi()* S[a;b] {y^2 dx/dt dt} =
>
>= -3a^3 pi() S[0:2pi] { cos(t)^8 sin(t) }
>i tu mam kosmos
Granice calki masz raczej 0:pi.
pi:2pi to jest "dolna polowka", symetryczna.
>Albo latwiejsze jak mi sie wydaje
>y=e^(-x) x<0;ln(10)>
>
>V=pi S[0,ln(10)] {e^(-2x)}
>i znowu kosmos
>
>Odp : 99/200 pi
czemu kosmos ?
najprostsza calka i dokladnie tyle wychodzi - przynajmniej Derive
tak twierdzi :-)
J.