Twierdzenie Ptolemeusza
Paweł Hoffmann
Mam taki mały problem: przygotowując się do matury natrafiłem na
zadanie, w którym trzeba udowodnić twierdzenie Ptolemeusza (Jeżeli czworokąt
jest wpisany w okrąg, to iloczyn długości jego przekątnych jest równy sumie
iloczynów długości boków przeciwległych), doszedłem do rozwiązania, ale
zajęło mi to sześć stron i sporo czasu. Więc chciałem się zapytać czy może
ktoś z Was zna jakiś w miarę prosty dowód tego twierdzenia. Z góry dziękuję
za odpowiedź.
Pozdrawiam Paweł
--
"Only two things are infinite -- the universe and human stupidity,
and I'm not so sure about the Universe." Albert Einstein
ho...@go2.pl
Pawel K
Paweł Hoffmann napisał(a) w wiadomo¶ci: ...
>Witam
>
> Mam taki mały problem: przygotowuj?c się do matury natrafiłem na
>zadanie, w którym trzeba udowodnić twierdzenie Ptolemeusza (Jeżeli
>jest wpisany w okr?g, to iloczyn długo?ci jego przek?tnych jest równy sumie
>iloczynów długo?ci boków przeciwległych)(...)
(...)
Nie wiem, jak Ty dowodziles. Szkolny sposob polega na wykorzystaniu tw.
cosinusow w czterech trojkatach, ktore otrzymuje sie po podziale danego
czworokata przekatnymi:
jezeli dlugosci bokow to (a), (b), (c), (d), a dlugosci przekatnych (x) i
(y) to bierzemy pary trojkatow o bokach
- (abx) i (cdx)
- (bcy) i (day)
Dalej:
- korzystamy z faktu, ze przeciwlegle pary katow wewnetrznych czworokata
wpisanego w okrag daja w sumie kat polpelny,
- rozpisujemy tw. cosinusow dla w/w trojkatow (parami j/w),
- rugujemy katy,
- mnozymy otrzymane (dwie) rownosci stronami,
- redukcja
i juz.
Pozdrawia Pawel Kwiatkowski
Andrzej Komisarski
>Paweł Hoffmann napisał(a) w wiadomości: ...
>>Witam
>>
>> Mam taki mały problem: przygotowuj?c się do matury natrafiłem na
>>zadanie, w którym trzeba udowodnić twierdzenie Ptolemeusza (Jeżeli czworok?t
>>jest wpisany w okr?g, to iloczyn długo?ci jego przek?tnych jest równy sumie
>>iloczynów długo?ci boków przeciwległych)(...)
>(...)
>Nie wiem, jak Ty dowodziles. Szkolny sposob polega na wykorzystaniu tw.
>cosinusow w czterech trojkatach, ktore otrzymuje sie po podziale danego
>czworokata przekatnymi:
Ja pamiętam trochę inny "szkolny sposób".
Niech nasz czworokąt nazywa się ABCD. Obracamy go wokół punktu A o kąt
BAD, po czym przekształcamy go jednokładnością o środku A i skali AD/AB.
Otrzymujemy w ten sposób czworokąt A'B'C'D', podobny do ABCD, przy czym
A=A' i D=B'. Kąt CDC'=CDA+AB'C'=CDA+ABC=180 stopni, bo ABCD jest wpisany
w okrąg. Zatem C, D i C' są współliniowe, D leży między C i C',
więc CC'=CD+DC'=CD+BC*AD/AB.
Trójkąt CAC' jest podobny do BAD w skali AC/AB (bo BAD powstaje z CAC'
po dokonaniu obrotu wokół A o kąt BAC i jednokładności o środku A
o skali AC/AB). To daje CC'=BD*AC/AB.
Podsumowując CD+BC*AD/AB=BD*AC/AB. Po pomnożeniu obu stron równości
przez AB dostajemy twierdzenie Ptolemeusza.
Warto tu wspomnieć o pewnym uogólnieniu twierdzenia Ptolemeusza.
Dla dowolnego czworokąta ABCD (niekoniecznie wpisanego w okrąg) zachodzi
równość (AB*CD)^2+(AD*BC)^2-2AB*BC*CD*DA*cos(ABC+CDA)=(AC*BD)^2.
Różnica w dowodzie tego faktu w stosunku do podanego wyżej polega na
tym, że teraz punkty CDC' nie są już współliniowe i żeby obliczyć CC'
trzeba zastosować tw. cosinusów dla trójkąta CDC'.
Jeśli z kolei obie strony ostatniej nierówności podzielimy przez CD^2
i pozostawiając nieruchomo punkty A, B i C, a punkt D będziemy odsuwać
do nieskończoności, to w granicy dostaniem zwykłe twierdzenie cosinusów
dla trójkąta ABC.
--
Andrzej Komisarski
Paweł Hoffmann
Użytkownik Pawel K <pkwi...@szkoly.edu.pl> w wiadomo¶ci do grup
dyskusyjnych napisał:nEUQ4.28997$O4.6...@news.tpnet.pl...
>
> Paweł Hoffmann napisał(a) w wiadomo¶ci: ...
> >Witam
> >
> > Mam taki mały problem: przygotowuj?c się do matury natrafiłem na
> >zadanie, w którym trzeba udowodnić twierdzenie Ptolemeusza (Jeżeli
> czworok?t
> >jest wpisany w okr?g, to iloczyn długo?ci jego przek?tnych jest równy
sumie
> >iloczynów długo?ci boków przeciwległych)(...)
> (...)
> Nie wiem, jak Ty dowodziles. Szkolny sposob polega na wykorzystaniu tw.
> cosinusow w czterech trojkatach, ktore otrzymuje sie po podziale danego
> czworokata przekatnymi:
> (y) to bierzemy pary trojkatow o bokach
> - (abx) i (cdx)
> - (bcy) i (day)
> Dalej:
> - korzystamy z faktu, ze przeciwlegle pary katow wewnetrznych czworokata
> wpisanego w okrag daja w sumie kat polpelny,
> - rozpisujemy tw. cosinusow dla w/w trojkatow (parami j/w),
> - rugujemy katy,
> - mnozymy otrzymane (dwie) rownosci stronami,
> - redukcja
> i juz.
> Pozdrawia Pawel Kwiatkowski
>
latwo sie pomylic (duzo zmiennych o roznych potegach), dlatego szukam
prostszego sposobu.