Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Rekurencja Fermata.
11 views
Skip to first unread message
Nemrod
Apr 24, 2023, 12:09:01 PM4/24/23
to
Taka ciekawostka.
Bierzemy dwie różne liczby x,y \in N.
Układamy rekurencję:
z_0 = y^0 + x^0 = 2
z_1 = y + x
A = y+x
B = -y*x
z_n = A*z_{n-1} + B*z_{n-2}
***
Można pokazać, że
z_n = y^n + x^n
np. przez indukcję. (Choć wyprowadziłem to inaczej :P )
***
Czyli np.:
x = 3
y = 4
z_0 = 2
z_1 = 7
A = 7
B = -12
z_2 = 7*7 - 12*2 = 25 = 3^2 + 4^2
z_3 = 7*25 - 12*7 = 91 = 3^3 + 4^3
... itd
Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?
Może nie, ale zawsze to jakaś rozrywka :)
--
Nemrod Vargardsson
Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.
Bierzemy dwie różne liczby x,y \in N.
Układamy rekurencję:
z_0 = y^0 + x^0 = 2
z_1 = y + x
A = y+x
B = -y*x
z_n = A*z_{n-1} + B*z_{n-2}
***
Można pokazać, że
z_n = y^n + x^n
np. przez indukcję. (Choć wyprowadziłem to inaczej :P )
***
Czyli np.:
x = 3
y = 4
z_0 = 2
z_1 = 7
A = 7
B = -12
z_2 = 7*7 - 12*2 = 25 = 3^2 + 4^2
z_3 = 7*25 - 12*7 = 91 = 3^3 + 4^3
... itd
Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?
Może nie, ale zawsze to jakaś rozrywka :)
--
Nemrod Vargardsson
Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.
J.F
Apr 24, 2023, 1:34:13 PM4/24/23
to
y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
wcisnąc, a raczej jej brak ?
Prostych metod na tw. Fermata raczej nie ma - ktos by na nie przez te
300 lat wpadł.
Aczkolwiek to nie dowód - a zawsze musi byc ten pierwszy raz :-)
J.
Nemrod
Apr 24, 2023, 1:53:58 PM4/24/23
to
W dniu 24.04.2023 o 19:34, J.F pisze:
w_n = z^n - y^n - x^n
Rekurencja będzie w postaci:
w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}
I szukać w_n = 0? Ciekawe.
> Prostych metod na tw. Fermata raczej nie ma - ktos by na nie przez te
> 300 lat wpadł.
> Aczkolwiek to nie dowód - a zawsze musi byc ten pierwszy raz :-)
Fermat twierdził, że ma dowód. Może się mylił, a może nie :)
> On Mon, 24 Apr 2023 18:07:33 +0200, Nemrod wrote:
>> Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
>> można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?
>
> Na oko nic.
> y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
> Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
> wcisnąc, a raczej jej brak ?
Hmmm, a jakby znalazł rekurencję dla x,y,z \in N taką, że:
>> Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
>> można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?
>
> Na oko nic.
> y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
> Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
> wcisnąc, a raczej jej brak ?
w_n = z^n - y^n - x^n
Rekurencja będzie w postaci:
w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}
I szukać w_n = 0? Ciekawe.
> Prostych metod na tw. Fermata raczej nie ma - ktos by na nie przez te
> 300 lat wpadł.
> Aczkolwiek to nie dowód - a zawsze musi byc ten pierwszy raz :-)
J.F
Apr 24, 2023, 2:50:20 PM4/24/23
to
On Mon, 24 Apr 2023 19:52:30 +0200, Nemrod wrote:
> W dniu 24.04.2023 o 19:34, J.F pisze:
>> On Mon, 24 Apr 2023 18:07:33 +0200, Nemrod wrote:
>>> Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
>>> można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?
>>
>> Na oko nic.
>> y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
>> Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
>> wcisnąc, a raczej jej brak ?
>
> Hmmm, a jakby znalazł rekurencję dla x,y,z \in N taką, że:
>
> w_n = z^n - y^n - x^n
No i co dalej?
> W dniu 24.04.2023 o 19:34, J.F pisze:
>> On Mon, 24 Apr 2023 18:07:33 +0200, Nemrod wrote:
>>> Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
>>> można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?
>>
>> Na oko nic.
>> y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
>> Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
>> wcisnąc, a raczej jej brak ?
>
> Hmmm, a jakby znalazł rekurencję dla x,y,z \in N taką, że:
>
> w_n = z^n - y^n - x^n
zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
sie utrzyma?
Czy wlasnie ma być niemożliwe, ale jak to wykazac ...
ze nie da sie zera otrzymac w wyniku juz dla n>=3 ?
>> Prostych metod na tw. Fermata raczej nie ma - ktos by na nie przez te
>> 300 lat wpadł.
>> Aczkolwiek to nie dowód - a zawsze musi byc ten pierwszy raz :-)
>
> Fermat twierdził, że ma dowód. Może się mylił, a może nie :)
Nemrod
Apr 24, 2023, 4:13:00 PM4/24/23
to
W dniu 24.04.2023 o 20:50, J.F pisze:
Fermata do kosza :)
> Czy wlasnie ma być niemożliwe, ale jak to wykazac ...
> ze nie da sie zera otrzymac w wyniku juz dla n>=3 ?
Trzeba pomyśleć czy nie da się coś pokazać na podstawie
tej rekurencji na w_n. Np. że dla dowolnych danych startowych,
pokazać, że w_n (n>=3) bardzo szybko rośnie pozostając >0.
Taka zagadka :) Zastanawiam się czy coś tu przejdzie :)
>> w_n = z^n - y^n - x^n
>
> No i co dalej?
> zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
> sie utrzyma?
Wiadomo, że zero nie może się utrzymać, inaczej twierdzenie
>
> No i co dalej?
> zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
> sie utrzyma?
Fermata do kosza :)
> Czy wlasnie ma być niemożliwe, ale jak to wykazac ...
> ze nie da sie zera otrzymac w wyniku juz dla n>=3 ?
tej rekurencji na w_n. Np. że dla dowolnych danych startowych,
pokazać, że w_n (n>=3) bardzo szybko rośnie pozostając >0.
Taka zagadka :) Zastanawiam się czy coś tu przejdzie :)
J.F
Apr 25, 2023, 7:24:56 AM4/25/23
to
On Mon, 24 Apr 2023 22:11:33 +0200, Nemrod wrote:
> W dniu 24.04.2023 o 20:50, J.F pisze:
>>> w_n = z^n - y^n - x^n
>>
>> No i co dalej?
>> zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
>> sie utrzyma?
>
> Wiadomo, że zero nie może się utrzymać, inaczej twierdzenie
> Fermata do kosza :)
Wiadomo jak wiadomo ... dowód obecny długi i zawiły :-)
> W dniu 24.04.2023 o 20:50, J.F pisze:
>>> w_n = z^n - y^n - x^n
>>
>> No i co dalej?
>> zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
>> sie utrzyma?
>
> Wiadomo, że zero nie może się utrzymać, inaczej twierdzenie
> Fermata do kosza :)
znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)
>> Czy wlasnie ma być niemożliwe, ale jak to wykazac ...
>> ze nie da sie zera otrzymac w wyniku juz dla n>=3 ?
>
> Trzeba pomyśleć czy nie da się coś pokazać na podstawie
> tej rekurencji na w_n. Np. że dla dowolnych danych startowych,
> pokazać, że w_n (n>=3) bardzo szybko rośnie pozostając >0.
>
> Taka zagadka :) Zastanawiam się czy coś tu przejdzie :)
J
Nemrod
Apr 25, 2023, 9:07:51 AM4/25/23
to
W dniu 25.04.2023 o 13:24, J.F pisze:
>> w_n = z^n - y^n - x^n
To raz. A jeżeli w_n < 0, to dla następnych wartości n
w_n może maleć do momentu przesilenia 'k' w którym nagle
w_k > 0 i |w_k| > |w_{k-1}|. Trzeba się zastanowić
czy to wystarczy jako zarys dowodu.
> Wiadomo jak wiadomo ... dowód obecny długi i zawiły :-)
>
> znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)
Nie szukam kontrprzykładu, lecz alternatywnego dowodu.
>
> znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)
>> w_n = z^n - y^n - x^n
>> Rekurencja będzie w postaci:
>> w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}
>> w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}
> Na mój gust to sie raczej nie nada, ale kombinuj :-)
Coś jest. Mamy tak, że jeżeli w_n >= 0, to w_{n+1} > 0.
To raz. A jeżeli w_n < 0, to dla następnych wartości n
w_n może maleć do momentu przesilenia 'k' w którym nagle
w_k > 0 i |w_k| > |w_{k-1}|. Trzeba się zastanowić
czy to wystarczy jako zarys dowodu.
J.F
Apr 25, 2023, 9:15:56 AM4/25/23
to
On Tue, 25 Apr 2023 15:06:24 +0200, Nemrod wrote:
> W dniu 25.04.2023 o 13:24, J.F pisze:
>> Wiadomo jak wiadomo ... dowód obecny długi i zawiły :-)
>>
>> znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)
>
> Nie szukam kontrprzykładu, lecz alternatywnego dowodu.
>
>>> w_n = z^n - y^n - x^n
>>> Rekurencja będzie w postaci:
>>> w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}
>
>> Na mój gust to sie raczej nie nada, ale kombinuj :-)
>
> Coś jest. Mamy tak, że jeżeli w_n >= 0, to w_{n+1} > 0.
> To raz.
Jeszcze udowodnisz, ze dla n=2 tez nie ma rozwiązan :-)
> W dniu 25.04.2023 o 13:24, J.F pisze:
>> Wiadomo jak wiadomo ... dowód obecny długi i zawiły :-)
>>
>> znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)
>
> Nie szukam kontrprzykładu, lecz alternatywnego dowodu.
>
>>> w_n = z^n - y^n - x^n
>>> Rekurencja będzie w postaci:
>>> w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}
>
>> Na mój gust to sie raczej nie nada, ale kombinuj :-)
>
> Coś jest. Mamy tak, że jeżeli w_n >= 0, to w_{n+1} > 0.
> To raz.
Nawet, jesli powysze jest prawdziwe, to mamy wiele zestawów
liczb, gdzie w_2 jest niezerowe, i trzebaby udowodnic,
ze w_3 i kolejne też będą niezerowe ...
J.
Nemrod
Apr 25, 2023, 9:29:13 AM4/25/23
to
W dniu 25.04.2023 o 15:15, J.F pisze:
w_1 = 5 - 4 - 3 = -2
w_2 = 0
w_3 = 5^3 - 4^3 - 3^3 = 34 > 0
... itd
> Nawet, jesli powysze jest prawdziwe, to mamy wiele zestawów
> liczb, gdzie w_2 jest niezerowe, i trzebaby udowodnic,
> ze w_3 i kolejne też będą niezerowe ...
No i po to jest ta rekurencja na ->w_n<-, tam to powinno być widoczne.
>>>> w_n = z^n - y^n - x^n
>>>> Rekurencja będzie w postaci:
>>>> ->w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}<-
>>>> Rekurencja będzie w postaci:
>> Coś jest. Mamy tak, że jeżeli w_n >= 0, to w_{n+1} > 0.
>> To raz.
>
> Jeszcze udowodnisz, ze dla n=2 tez nie ma rozwiązan :-)
w_0 = -1 (zawsze)
>> To raz.
>
> Jeszcze udowodnisz, ze dla n=2 tez nie ma rozwiązan :-)
w_1 = 5 - 4 - 3 = -2
w_2 = 0
w_3 = 5^3 - 4^3 - 3^3 = 34 > 0
... itd
> Nawet, jesli powysze jest prawdziwe, to mamy wiele zestawów
> liczb, gdzie w_2 jest niezerowe, i trzebaby udowodnic,
> ze w_3 i kolejne też będą niezerowe ...
0 new messages