Program obliczający odległość punktu od krzywej

[Tomasz]

Witam,
piszę w imieniu znajomego, który szuka programu potrafiącego podać
odległość punktu od krzywej. Żeby nie namieszać zacytuję go " Jeśli
podany jest wzór funkcji i jakiś punkt w układzie współrzędnych, program
powinien obliczyć odległość tego punktu od krzywej". Na razie znalazł
program Autograph, w który udało mu się zmusić do rysowania funkcji ale
nie wiem jak i czy w ogóle może obliczyć tą odległość.

Dziękuję za pomoc.

pozdrawiam
Tomasz

[Gik]

Tomasz napisał:

> " Jeśli
> podany jest wzór funkcji i jakiś punkt w układzie współrzędnych, program
> powinien obliczyć odległość tego punktu od krzywej". Na razie znalazł
> program Autograph, w który udało mu się zmusić do rysowania funkcji ale
> nie wiem jak i czy w ogóle może obliczyć tą odległość.

Program graficzny ma z matematyka mało wspólnego ( tzn potrafi najwyżej
obliczyć wartość funkcji).

Odległość punktu ( wsp x,y) od krzywej oblicza się wzdłuż prostej
przechodzącej przez nasz punkt a prosta ta jest prostopadła do krzywej a
dokładniej do stycznej do krzywej.

Nachylenie stycznej to pochodna w punkcie styczności a nachylenie
prostopadłej do stycznej to -1/pochodna.

Równanie prostej przychodzącej przez nasz punkt (x,y) i prostopadłej do
krzywej w punkcie (u,f(u))

(y - f(u)) / (x - u) = -1/f'(u) (1)

Z równania (1) należy obliczyć wartość 'u'
Obliczenie odległości jest już proste

OdlegośćOdKrzywej = sqrt((y - f(u))^2 + (x - u)^2) (2)

Gdy krzywa to prosta to obliczenia są bardzo łatwe.
Gdy krzywa to parabola to rozwiązania równania (1) prowadzi poprzez
rozwiązanie równania 3-stopnia i otrzymujemy 3 wartości u!!.
Gdy krzywa to okrąg to mamy 2 wartości u, gdy krzywa to np spirala
archimedesa to otrzymamy nieskończenie wiele wartości 'u'

Dla różnych wartości 'u' obliczona odległość z równ (2) będzie różna.
Dla konkretnego zastosowania naszych obliczeń, możemy przyjąć za
odległość najmniejszą wartość uzyskaną w równaniu (2)

Rozwiązanie równ (1) gdy funkcja 'f' to wielomian stopnia 2-go można
uzyskać (z kłopotami) metodą analityczną. Dla wszystkich innych funkcji
nieliniowych jedyną drogą są metody numeryczne.

--
Gik

[Gik]

Gik napisał:

> Odległość punktu ( wsp x,y) od krzywej oblicza się wzdłuż prostej
> przechodzącej przez nasz punkt a prosta ta jest prostopadła do krzywej a
> dokładniej do stycznej do krzywej.

.....

> Gdy krzywa to parabola to rozwiązania równania (1) prowadzi poprzez
> rozwiązanie równania 3-stopnia i otrzymujemy 3 wartości u!!.

Dla zainteresowanych graficzny przykład dla wielomianu stopnia 2,3,4.
Rozwiązanie równania(1) prowadzi do 3,5,7 wartości 'u'. Oczywiście nie
zawsze jest ich aż tyle

http://www.gikgik.republika.pl/Odleg.html

--
Gik