Szereg Laurenta

Stachu Chebel

unread,

Jun 20, 2021, 9:00:45 PM6/20/21

to

f(z)=sin(z)/(z*(exp(z)-1))
Rozwinięcie w szereg Taylora sin(z)/z oraz exp(z)-1 nie stanowi problemu.
Jak to teraz poskładać (za przeproszeniem) do kupy?

J.F

unread,

Jun 21, 2021, 10:56:25 AM6/21/21

to

https://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+calculator

:-)

Bo tak bezposrednio z dwoch szeregow, to bedzie chyba trudno.

J.

bartekltg

unread,

Jun 23, 2021, 10:36:21 AM6/23/21

to

Niby się da https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series#Multiplication_and_division
ale chyba nie musi być łatwiejsze od rózniczkowania funkcji.
Pewnie zgadywanie wyrazów szeregu
sin(z)/((exp(z)-1)), mnozenie przez szereg (exp(z)-1) i porównywanie z sin(z)
jako tako się sprawdzi.

pzdr
bartekltg

J.F

unread,

Jun 23, 2021, 10:54:18 AM6/23/21

to

On Wed, 23 Jun 2021 07:36:20 -0700 (PDT), bartekltg wrote:
> poniedziałek, 21 czerwca 2021 o 16:56:25 UTC+2 J.F napisał(a):
>> On Sun, 20 Jun 2021 18:00:44 -0700 (PDT), Stachu Chebel wrote:
>>> f(z)=sin(z)/(z*(exp(z)-1))
>>> Rozwinięcie w szereg Taylora sin(z)/z oraz exp(z)-1 nie stanowi problemu.
>>> Jak to teraz poskładać (za przeproszeniem) do kupy?
>> https://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+calculator
>> :-)
>>
>> Bo tak bezposrednio z dwoch szeregow, to bedzie chyba trudno.
>
> Niby się da https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series#Multiplication_and_division
> ale chyba nie musi być łatwiejsze od rózniczkowania funkcji.

Szczegolnie, ze juz w opisie wyglada kiepsko, bo jakies rozwiazywanie,
a rozmiar nieznany, wiec trzeba by duzy ... a wynik bedzie troche
uwiklany.

Ale wyliczenie oryginalnych wspolczynnikow tez nie takie proste,
bo ja tu wredne calki widze, a nie rozniczkowanie:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series

I jeszcze takie zdanie:
Laurent series cannot in general be multiplied.

J.

bartekltg

unread,

Jun 24, 2021, 1:09:21 PM6/24/21

to

środa, 23 czerwca 2021 o 16:54:18 UTC+2 J.F napisał(a):
> On Wed, 23 Jun 2021 07:36:20 -0700 (PDT), bartekltg wrote:
> > poniedziałek, 21 czerwca 2021 o 16:56:25 UTC+2 J.F napisał(a):
> >> On Sun, 20 Jun 2021 18:00:44 -0700 (PDT), Stachu Chebel wrote:
> >>> f(z)=sin(z)/(z*(exp(z)-1))
> >>> Rozwinięcie w szereg Taylora sin(z)/z oraz exp(z)-1 nie stanowi problemu.
> >>> Jak to teraz poskładać (za przeproszeniem) do kupy?
> >> https://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+calculator
> >> :-)
> >>
> >> Bo tak bezposrednio z dwoch szeregow, to bedzie chyba trudno.
> >
> > Niby się da https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series#Multiplication_and_division
> > ale chyba nie musi być łatwiejsze od rózniczkowania funkcji.
> Szczegolnie, ze juz w opisie wyglada kiepsko, bo jakies rozwiazywanie,
> a rozmiar nieznany, wiec trzeba by duzy ... a wynik bedzie troche
> uwiklany.
>
> Ale wyliczenie oryginalnych wspolczynnikow tez nie takie proste,
> bo ja tu wredne calki widze, a nie rozniczkowanie:

Całki?

> https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series
>
> I jeszcze takie zdanie:
> Laurent series cannot in general be multiplied.

Tan Laurent taki oszukany tu. Można sie zajac najpierw sin(z)/((exp(z)-1)),
góra, dół, jak w wynik mają zwykły szereg taylora. To mnożenie przez 1/z
na można zodstawić na sam koniec.

J.F

unread,

Jun 25, 2021, 7:44:37 AM6/25/21

to

On Thu, 24 Jun 2021 10:09:19 -0700 (PDT), bartekltg wrote:
> środa, 23 czerwca 2021 o 16:54:18 UTC+2 J.F napisał(a):
>> On Wed, 23 Jun 2021 07:36:20 -0700 (PDT), bartekltg wrote:
>>> poniedziałek, 21 czerwca 2021 o 16:56:25 UTC+2 J.F napisał(a):
>>>> On Sun, 20 Jun 2021 18:00:44 -0700 (PDT), Stachu Chebel wrote:
>>>>> f(z)=sin(z)/(z*(exp(z)-1))
>>>>> Rozwinięcie w szereg Taylora sin(z)/z oraz exp(z)-1 nie stanowi problemu.
>>>>> Jak to teraz poskładać (za przeproszeniem) do kupy?
>>>> https://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+calculator
>>>> :-)
>>>>
>>>> Bo tak bezposrednio z dwoch szeregow, to bedzie chyba trudno.
>>>
>>> Niby się da https://en.wikipedia.org/wiki/Power_series#Multiplication_and_division
>>> ale chyba nie musi być łatwiejsze od rózniczkowania funkcji.

>> Ale wyliczenie oryginalnych wspolczynnikow tez nie takie proste,
>> bo ja tu wredne calki widze, a nie rozniczkowanie:
>
> Całki?
>
>> https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series

"where a_n and c are constants, with a_n defined by a line integral
that generalizes Cauchy's integral formula: " ...

a_{n}=
{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma}{\frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\,dz.}

>> I jeszcze takie zdanie:
>> Laurent series cannot in general be multiplied.
>
> Tan Laurent taki oszukany tu. Można sie zajac najpierw sin(z)/((exp(z)-1)),
> góra, dół, jak w wynik mają zwykły szereg taylora. To mnożenie przez 1/z
> na można zodstawić na sam koniec.

Tez prawda.

J.

anti...@math.uni.wroc.pl

unread,

Jul 1, 2021, 9:48:00 AM7/1/21

to

Stachu Chebel <stch...@gmail.com> wrote:
> f(z)=sin(z)/(z*(exp(z)-1))
> Rozwini?cie w szereg Taylora sin(z)/z oraz exp(z)-1 nie stanowi problemu.
> Jak to teraz posk?ada? (za przeproszeniem) do kupy?

exp(z) - 1 = z*((exp(z) - 1)/z) = z*h(z)

szereg Taylora h jest latwy do wylizenia. Teraz

f(z) = z^(-2)*(sin(z)/h(z))

z^(-2) to proste przeindeksowanie. Pierwszy wspolczynnik Taylora
h jest niezerowy, wiec dzielenie to w miare prosta rekursja.
Doklaniej, jak

g(z) = \sum a_nz^n

h(z) = \sum b_nz^n

i b_0 jest niezorowe, to

g(z)/h(z) = \sum c_nz^n

gdzie c_n spelnia

a_n = \sum_{k=0}^n b_kc_{n-k} = b_0c_n + \sum_{k=1}^nb_kc_{n-k}

czyli

c_n = (a_n - \sum_{k=1}^nb_kc_{n-k})/b_0

Jak masz juz obliczone c_k dla k < n to mozesz obliczac prawa
strone i dostaniesz c_n.

Ta metoda jest uzywana do komuterowego obliczania c_n.

--
Waldek Hebisch