alef jeden i continuum
a
że:
0,xxxxxxxxxxxxxx...
| ...
1 ...
Utwórzmy zbiór wszystkich możliwych ciągów tej postaci. Ilość różnych ciągów
tej postaci jest równa 2^alef zero.
Łatwo zauważyć że jest on równoliczny ze zbiorem <0,1>. Ponieważ zbiór
<0,1> jest równoliczny ze zbiorem R, to z tego wynika, że continuum = alef
jeden.
Proszę o jakiś życzliwy komentarz :)
Lech Duraj
> Łatwo zauważyć że jest on równoliczny ze zbiorem <0,1>. Ponieważ zbiór
> <0,1> jest równoliczny ze zbiorem R, to z tego wynika, że continuum = alef
> jeden.
Z tego wynika tylko, że continuum = 2^alef_0. Ale to nie musi być alef_1.
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
a
Zastanawiam się, czy to co napisałem nie jest dowodem na to, że continuum
jest równe alef jeden.
A może raczej się zastanawiam gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu :)
Lech Duraj
> Z tego co wiem alef jeden jest równe 2^alef zero z definicji.
Nie, alef_1 jest zwykle definiowane jako "najmniejsza liczba kardynalna
większa niż alef_0".
> Zastanawiam się, czy to co napisałem nie jest dowodem na to, że continuum
> jest równe alef jeden.
Przy Twojej definicji - jest.
> A może raczej się zastanawiam gdzie popełniłem błąd w rozumowaniu :)
Rozumowanie jest prawidłowe, dowodzi, że continuum = 2^alef_0. To jest
fakt matematyczny. Ale hipoteza continuum mówi o czym innym.
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
Bartłomiej (bartekLTG) Sz..
Użytkownik "Lech Duraj" <ldu...@poczta.typowakoncowkaonetu> napisał w
wiadomości news:cbpfam$5dd$1...@srv.cyf-kr.edu.pl...
> a napisał:
>
> > Z tego co wiem alef jeden jest równe 2^alef zero z definicji.
>
> Nie, alef_1 jest zwykle definiowane jako "najmniejsza liczba kardynalna
> większa niż alef_0".
I tego właśnie nie wiemy;) Niedowodliwa w aksjomatach teorii
mnogości hipoteza continuum mówi alef1=continuum.
Nie ma wartości pośredniej.
Pozdrawiam!
--
---
bartekltg@op_tnij_.pl
Szczygieł Bartłomiej
Lech Duraj
> Użytkownik "Lech Duraj" <ldu...@poczta.typowakoncowkaonetu> napisał w
> wiadomości news:cbpfam$5dd$1...@srv.cyf-kr.edu.pl...
>>Nie, alef_1 jest zwykle definiowane jako "najmniejsza liczba kardynalna
>>większa niż alef_0".
>
>
> I tego właśnie nie wiemy;) Niedowodliwa w aksjomatach teorii
> mnogości hipoteza continuum mówi alef1=continuum.
> Nie ma wartości pośredniej.
Tak, ale napisałem tylko definicję. Tę akurat znamy :-)
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
Maciej Bojko
<ldu...@poczta.typowakoncowkaonetu> wrote:
>> Z tego co wiem alef jeden jest równe 2^alef zero z definicji.
>
>Nie, alef_1 jest zwykle definiowane jako "najmniejsza liczba kardynalna
>większa niż alef_0".
Oh, really? Bo ja właśnie na ogół spotykałem się z definicją, że
alef_1 to tyleż, co continuum.
--
Maciej Bójko
maciej...@students.mimuw.edu.pl
Maciek
Użytkownik "Maciej Bojko" <maciej...@students.mimuw.edu.pl>
napisał w wiadomości news:1vg0e0550i1isifkd...@4ax.com...
> On Mon, 28 Jun 2004 17:56:35 +0200, Lech Duraj
> <ldu...@poczta.typowakoncowkaonetu> wrote:
>
> >> Z tego co wiem alef jeden jest równe 2^alef zero z definicji.
> >
> >Nie, alef_1 jest zwykle definiowane jako "najmniejsza liczba
> >kardynalna większa niż alef_0".
>
> Oh, really?
Oh, really.
> Bo ja właśnie na ogół spotykałem się z definicją, że
> alef_1 to tyleż, co continuum.
To miałeś pecha-monstre.
http://mathworld.wolfram.com/Aleph-1.html
http://www.google.pl/groups?q=aleph_1
Maciek
Lech Duraj
> Oh, really? Bo ja właśnie na ogół spotykałem się z definicją, że
> alef_1 to tyleż, co continuum.
Ależ proszę - oznaczenia przecież świętością nie są. Tylko, że wtedy
inne musi być sformułowanie hipotezy continuum.
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
Maciej Bojko
<mac...@elkomtech.com.pl.nospam> wrote:
>> >Nie, alef_1 jest zwykle definiowane jako "najmniejsza liczba
>> >kardynalna większa niż alef_0".
>>
>> Oh, really?
>
>Oh, really.
>
>
>> Bo ja właśnie na ogół spotykałem się z definicją, że
>> alef_1 to tyleż, co continuum.
>
>To miałeś pecha-monstre.
>
>http://mathworld.wolfram.com/Aleph-1.html
A Encyclopaedia Brittanica z kolei pisze:
" Aleph-null symbolizes the cardinality of any set that can be matched
with the integers; aleph-one and aleph-two indicate sets that
correspond to the real numbers and functions, respectively. "
--
Maciej Bójko
maciej...@students.mimuw.edu.pl
Lech Duraj
> A Encyclopaedia Brittanica z kolei pisze:
>
> " Aleph-null symbolizes the cardinality of any set that can be matched
> with the integers; aleph-one and aleph-two indicate sets that
> correspond to the real numbers and functions, respectively. "
Polecałbym raczej źródła matematyczne. Pozwoli to uniknąć takich
nieporozumień jak w tym wątku, kiedy hipoteza continuum okazuje się
trywialna.
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
Maciej Bojko
<ldu...@poczta.typowakoncowkaonetu> wrote:
>> A Encyclopaedia Brittanica z kolei pisze:
>>
>> " Aleph-null symbolizes the cardinality of any set that can be matched
>> with the integers; aleph-one and aleph-two indicate sets that
>> correspond to the real numbers and functions, respectively. "
>
>Polecałbym raczej źródła matematyczne.
Well, Britannica jest wydawnictwem dość szacownym i wątpię, żeby
artykuły wysysała z palca bez konsultacji z matematykami.
>Pozwoli to uniknąć takich
>nieporozumień jak w tym wątku, kiedy hipoteza continuum okazuje się
>trywialna.
Hipoteza continuum mówi tyle, że nie istnieje liczba kardynalna
większa od alef zero i mniejsza od continuum. Jakie chcesz przyjąć
oznaczenia, by ta hipoteza stała się trywialna?
--
Maciej Bójko
maciej...@students.mimuw.edu.pl
Lech Duraj
> Hipoteza continuum mówi tyle, że nie istnieje liczba kardynalna
> większa od alef zero i mniejsza od continuum. Jakie chcesz przyjąć
> oznaczenia, by ta hipoteza stała się trywialna?
Autor wątku przyjął alef_1 = continuum, a w tradycyjnym sformułowaniu
(czyli przy "moich" oznaczeniach) to właśnie mówi ta hipoteza.
--
Pozdrawiam
Lech Duraj
Bartek Knapik
> Well, Britannica jest wydawnictwem dość szacownym i wątpię, żeby
> artykuły wysysała z palca bez konsultacji z matematykami.
Polecam przesledzic historie hasla 'Stefan Banach' w roznych wydaniach tego
szacownego skadinad wydawnictwa. Moze w tym pomoc ksiazka Danuty i
Krzysztofa Ciesielskich oraz Zdzislawa Pogody 'Epsilon' z zebranymi
'Epsilonami' z Delty.
--
pozdrawiam,
Bartek
Wlodzimierz Holsztynski
>a napisał:
>
>> Z tego co wiem alef jeden jest równe 2^alef zero z definicji.
>
> Nie, alef_1 jest zwykle definiowane jako
> "najmniejsza liczba kardynalna
> większa niż alef_0".
Uzupelnie (po czym trzeba bedzie wezwac
do tablicy Marcina Kysiaka).
Alefami nazywa sie moce nieskonczonych liczb
porzadkowych, gdzie moc |a| liczby porzadkowej
a to moc zbioru wszystkich liczb porzadkowych
mniejszych od a:
|a| := |{b : b < a}|
Bez aksjomatu wyboru, to kontinuum nawet nie jest
zadnym alefem. Z akjomatem wyboru, ale bez
hipotezy continuum, kontinuum w jednych modelach
teorii mnogosci (cz tez w teorii mnogosci wzbogaconej
o aksjomat kontinuum) jest rowne alef_1, podczas
gdy w innych moze byc czym tylko zechce (no, z
pewnymi ograniczeniami :-)
Alefy pozwalaja studiowac spory rozdzial
teorii mocy bez aksjomatu wyboru. Definiuje sie
dla nich nie tylko dodawanie, ale i mnozenie
(via leksykograficzny iloczyn kartezjanski
zbiorow dobrze uporzadkowanych).
Pozdrawiam,
Wlodek
--
============= P o l N E W S ==============
archiwum i przeszukiwanie newsów
http://www.polnews.pl
Marcin Kysiak
> On Tue, 29 Jun 2004 11:10:20 +0200, Lech Duraj
> <ldu...@poczta.typowakoncowkaonetu> wrote:
>
>>> A Encyclopaedia Brittanica z kolei pisze:
>>>
>>> " Aleph-null symbolizes the cardinality of any set that can be
>>> matched with the integers; aleph-one and aleph-two indicate sets
>>> that correspond to the real numbers and functions, respectively. "
>>
>> Polecałbym raczej źródła matematyczne.
>
> Well, Britannica jest wydawnictwem dość szacownym i wątpię, żeby
> artykuły wysysała z palca bez konsultacji z matematykami.
Niemniej w tym wypadku zdecydowanie się myli. \aleph_1 to z definicji
najmniejsza liczba kardynalna większa od \aleph_0. Continuum może być
dużo, dużo większe. Ciężko też powiedzieć, co za funkcje mają tam na
myśli...
Pozdrawiam
Marcin
--
Marcin Kysiak
Aby wysłać email, kliknij:
http://cerbermail.com/?59Uupn0U7k
Marcin Kysiak
> Użytkownik Maciej Bojko napisał:
>
>> Oh, really? Bo ja właśnie na ogół spotykałem się z definicją, że
>> alef_1 to tyleż, co continuum.
>
> Ależ proszę - oznaczenia przecież świętością nie są.
No, ale aż tak daleko w zmianach bym się nie posuwał ;-))
Hierarchia opisująca postęp f. potęgowej oznaczana jest symbolem \beth
(następna po \aleph litera alfabetu hebrajskiego). Z definicji:
\beth_0=\aleph_0
\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_\alpha}
\beth_\gamma=\sup{\beth_\xi : \xi<\gamma} dla \gamma granicznych.
Wtedy \beth_1=c.
Michał Wasiak
> Maciej Bojko wrote:
>> Well, Britannica jest wydawnictwem dość szacownym i wątpię, żeby
>> artykuły wysysała z palca bez konsultacji z matematykami.
>
> Niemniej w tym wypadku zdecydowanie się myli. \aleph_1 to z definicji
> najmniejsza liczba kardynalna większa od \aleph_0. Continuum może być
> dużo, dużo większe. Ciężko też powiedzieć, co za funkcje mają tam na
> myśli...
Skoro za oceanem mogli ustalić pi=3, to mogą i alef_0=c.
Nawet to drugie ma większy sens :)
--
Michał Wasiak