odwracanie funkcji

[Fele Mele]

Mamy dowolną funkcję:
y = y(x),

jak z tego wyprodukować odwrotną: x = x(y);

Zakładamy oczywista, że chodzi o 'nieodwracalne' bezpośrednio,
czyli np.:

y = x ln(x); y = sin(x)/x; y = xexp(-2x), itp.

[Maciej Wozniak]

On Wednesday, 16 December 2020 at 20:29:38 UTC+1, Fele Mele wrote:
> Mamy dowolną funkcję:
> y = y(x),
>
> jak z tego wyprodukować odwrotną: x = x(y);
>
> Zakładamy oczywista, że chodzi o 'nieodwracalne' bezpośrednio,
> czyli np.:

Czyli, odpowiedzią na pytanie "jak" jest - niebezpośrednio.
Simpler, to ty?

[Maciej Wozniak]

A, jasne, że to ty.

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:c58e2b7a-cee3-4284...@googlegroups.com...

A czytales w podreczniku rozdzial "odwracanie funkcji" ?

J.

[Fele Mele]

A po twarzy nie widać?

No, generalnie chodzi o 'efektywne odwracanie', co znaczy tyle co przybliżone ale i dowolnie dobre.

w praktyce można to zredukować do zadania:

mając szereg typu: y = a + bx + cx^2 + dx^3 + ...

wyprodukować szereg odwroty x = x(y) = p + qy + ry^2 + ...

[Fele Mele]

y(x) = sinx/x

x(y) = ?

dawaj, zasuwaj - możesz użyć podręcznika.

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:e5b91f2d-1230-4345...@googlegroups.com...

czwartek, 17 grudnia 2020 o 15:13:55 UTC+1 J.F. napisał(a):
> Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:c58e2b7a-cee3-4284...@googlegroups.com...
>> >Mamy dowolną funkcję:
>> >y = y(x),
>> >jak z tego wyprodukować odwrotną: x = x(y);
>

>> A czytales w podreczniku rozdzial "odwracanie funkcji" ?
>

>y(x) = sinx/x
>x(y) = ?
>dawaj, zasuwaj - możesz użyć podręcznika.

Ale pytanie brzmialo, czy czytales rozdzial w podreczniku.

J.

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:ca4b89df-0623-4e93...@googlegroups.com...

>No, generalnie chodzi o 'efektywne odwracanie', co znaczy tyle co
>przybliżone ale i dowolnie dobre.
>w praktyce można to zredukować do zadania:
>mając szereg typu: y = a + bx + cx^2 + dx^3 + ...
>wyprodukować szereg odwroty x = x(y) = p + qy + ry^2 + ...

Na wielomiany stopnia 3, 4 i 5 mamy wzory, ale takie ... malo
uzyteczne.

Na wyzsze stopnie ... cos tam niby tez mamy

http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node131.html

ale chyba jeszcze mniej uzyteczne.

Ale nieskonczony szereg to nie wielomian ...

J.

[Fele Mele]

Niby w czym tu problem?

np. bierzemy funkcję: y = x^2, co ma odwrotną: sqrt(x);

no jak to wyliczyć szeregami?

To jest proste, ale żmudne:

y = f(x); i odwrotna: x = g(x);
odwrotna ma taki sam szereg jak każda: g(x) = g(x0) + g'(x0)x +g'' / 2 x^2 + ...

zatem trzeba wyliczyć te pochodne i tyle z tym roboty.

Pierwsza: dx/dy = dx/(f'dx) = 1/f'
druga: d(1/f')/ dy = -f''/f'^3
trzecia: d -f''/f'^3 / dy = -f'''/f'^4 + 3f''^2/f'^5

itd.

i teraz w przypadku tego: f = x^2

f' = 2x,
f'' = 2
a potem już są zera : f''' = fiv ... = 0

co rozwijamy i odwracamy, ale dla x0 = 1, no i otrzymujemy:
f'(1) = f'' = 2

x'(y=0) = 1/2
x'' = -2/8 = -1/4
x''' = 0 + 3 2^2 / 2^5 = 3/8

sqrt(1+x) = 1 + 1/2 x - 1/4 1/2 x^2 + 3/8 1/6 x^3 + ...

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:22c2db5d-000c-428f...@googlegroups.com...

piątek, 18 grudnia 2020 o 09:19:54 UTC+1 J.F. napisał(a):
> Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

>> >No, generalnie chodzi o 'efektywne odwracanie', co znaczy tyle co
>> >przybliżone ale i dowolnie dobre.
>> >w praktyce można to zredukować do zadania:
>> >mając szereg typu: y = a + bx + cx^2 + dx^3 + ...
>> >wyprodukować szereg odwroty x = x(y) = p + qy + ry^2 + ...
>> Na wielomiany stopnia 3, 4 i 5 mamy wzory, ale takie ... malo
>> uzyteczne.
>
>> Na wyzsze stopnie ... cos tam niby tez mamy
>
>> http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node131.html
>> ale chyba jeszcze mniej uzyteczne.

>Niby w czym tu problem?
>np. bierzemy funkcję: y = x^2, co ma odwrotną: sqrt(x);
>no jak to wyliczyć szeregami?
>To jest proste, ale żmudne:

Na razie to sie pytales o odwrocenie szeregu wielomianowego.
Jesli y=w(x)
to x jest pierwiastkiem w(x)-y=0

Bierzemy wiec wzor na pierwiastek wielomianu i wyliczamy x(y).

I byloby pieknie, gdyby wzor byl prosty, a pierwiastek byl jeden :-)

>y = f(x); i odwrotna: x = g(x);
>odwrotna ma taki sam szereg jak każda: g(x) = g(x0) + g'(x0)x +g'' /
>2 x^2 + ...

>zatem trzeba wyliczyć te pochodne i tyle z tym roboty.

>Pierwsza: dx/dy = dx/(f'dx) = 1/f'
>druga: d(1/f')/ dy = -f''/f'^3
>trzecia: d -f''/f'^3 / dy = -f'''/f'^4 + 3f''^2/f'^5

>itd.

>i teraz w przypadku tego: f = x^2
>f' = 2x,
>f'' = 2
>a potem już są zera : f''' = fiv ... = 0

>co rozwijamy i odwracamy, ale dla x0 = 1, no i otrzymujemy:
>f'(1) = f'' = 2

>x'(y=0) = 1/2
>x'' = -2/8 = -1/4
>x''' = 0 + 3 2^2 / 2^5 = 3/8

>sqrt(1+x) = 1 + 1/2 x - 1/4 1/2 x^2 + 3/8 1/6 x^3 + ...

No i zakladajac, ze dobrze to policzyles, to istotnie szereg na
sqrt(1+x) jakos podobny wychodzi.

Bo czy na pewno dobrze policzyles? wyszedles od f(x) a nagle pojawilo
ci sie 1+x ... a ty za szybki jestes :-P

Zakladajac jednak, ze mamy poprawny szereg:
-funkcja pierwotna nie musi byc monotoniczna, i bedziesz mial ten sam
y dla roznych x - jak sobie z tym poradzisz ? Chocby twoje sin(x)/x
czy nawet x^2, jesli sie NIE ograniczyc do liczb dodatnich
-szereg ... obliczyc wartosc funkcji mozna, ale wiecej wnioskow
wyciagnac bedzie trudno,
jak chocby taki, ze 1 + 1/2 x - 1/4 1/2 x^2 + 3/8 1/6 x^3 + ... to
prosta funcja sqrt(1+x)

-akurat szereg na sqrt jest wredny - wolno zbiezny, ograniczony zakres
stosowania, nieskonczona pochodna w zerze ...

J.

[Fele Mele]

Nie ma z tym problemów,
można tym sposobem wyliczać zera dowolnych wielomianów.

Przykład: x^2 + x - 1, co ma dwa zera: phi = (sqrt5-1)/2 = 0.618... oraz drugi -1/phi = -1.618..

No to wystarczy to odwrócić i wywinąć i cześć! :)
.........
W szczególności rozwijamy to w pobliżu phi, więc np. x0 = 0.5 dla wygody.

wtedy mamy:
y(0.5) = 1/4 + 1/2 - 1 = -1/4
y' = 2x+1 = 2
y'' = 2

zatem szereg odwrotny wygląda tu tak:
phi(x) = 1/2 + 1/2 x - 1/8 x^2 + 1/16 x^3 + ...

y(1/2) = -1/4, zatem zero otrzymamy dla y = +1/4
stąd:
phi = 1/2 + 1/8 - 1/2^7 + 1/2^10 + ... =~ 0.6181640625
co jest już całkiem blisko...

............

A może szybciej pójdzie dla x0 = 1?
y(1) = 1
y' = 3, dość duże więc szybciej zbiegnie!
y'' = 2

co tym razem daje szereg:
phi = 1 - 1/3 - 1/3^3 - 2/3^5 + ... =

ale fajny! taki spadający z góry... hihi!

===============

No i tak sobie możesz rozwiązywać dowolne wielomiany, np. w stylu
x^5 + 2x - 1, jak i dowolny inny - nierozwiązywalny, haha!

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:b72471e5-6658-4878...@googlegroups.com...

poniedziałek, 21 grudnia 2020 o 09:53:32 UTC+1 J.F. napisał(a):

[...]

> >zatem trzeba wyliczyć te pochodne i tyle z tym roboty.
> >Pierwsza: dx/dy = dx/(f'dx) = 1/f'
> >druga: d(1/f')/ dy = -f''/f'^3
> >trzecia: d -f''/f'^3 / dy = -f'''/f'^4 + 3f''^2/f'^5
>
> >itd.
>
> >i teraz w przypadku tego: f = x^2
>> >f' = 2x,
>> >f'' = 2
> >a potem już są zera : f''' = fiv ... = 0
>
>> >co rozwijamy i odwracamy, ale dla x0 = 1, no i otrzymujemy:
>> >f'(1) = f'' = 2
>
>> >x'(y=0) = 1/2
>> >x'' = -2/8 = -1/4
>> >x''' = 0 + 3 2^2 / 2^5 = 3/8
>
>> >sqrt(1+x) = 1 + 1/2 x - 1/4 1/2 x^2 + 3/8 1/6 x^3 + ...

[...]

>Nie ma z tym problemów,
>można tym sposobem wyliczać zera dowolnych wielomianów.

Jakos mi sie nie wydaje.
Bo ... nie przypominam sobie takiej metody.

Moze za malo ksiazek przeczytalem, a moze wiecej w tym liczenia niz z
innymi metodami.

A moze jest po prostu wrazliwa na wybor punktu poczatkowego
rozwiniecia, i wcale nie daje dokladnych rozwiazan ...

J.

[Fele Mele]

Metoda jest raczej niezawodna, chyba uniwersalna:
te szeregi są - muszą być! zbieżne z samej definicji!

Nie wiem czy jest coś na ten temat w literaturze,
bo ja to sam wymyśliłem... patrząc w sufit z zamkniętymi oczami. haha!

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:0c3579a3-df0e-4524...@googlegroups.com...

Nie calkiem. Niby z definicji, ale im dalej od wybranego punktu, tym
sie gorzej robi.

>Nie wiem czy jest coś na ten temat w literaturze,
>bo ja to sam wymyśliłem... patrząc w sufit z zamkniętymi oczami.
>haha!

Ty lubisz wymyslac z sufitu :-)

Ale jakbym nie podpowiedzial, to bys nie wymyslil :-P

Tym niemniej ... wymysl wydaje sie naturalny, a jednak nie jest
powszechnie stosowany ... mysle, ze po prostu kiepsko dziala, albo cos
zle policzyles ...

J.

[Fele Mele]

wtorek, 22 grudnia 2020 o 17:58:00 UTC+1 J.F. napisał(a):
> Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:0c3579a3-df0e-4524...@googlegroups.com...
> wtorek, 22 grudnia 2020 o 14:57:10 UTC+1 J.F. napisał(a):
> > [...]
> >> >Nie ma z tym problemów,
> >> >można tym sposobem wyliczać zera dowolnych wielomianów.
>
> >> Jakos mi sie nie wydaje.
> >> Bo ... nie przypominam sobie takiej metody.
> >
> >> Moze za malo ksiazek przeczytalem, a moze wiecej w tym liczenia niz
> >> z
> >> innymi metodami.
> >
> >> A moze jest po prostu wrazliwa na wybor punktu poczatkowego
> >> rozwiniecia, i wcale nie daje dokladnych rozwiazan ...
>
> >Metoda jest raczej niezawodna, chyba uniwersalna:
> >te szeregi są - muszą być! zbieżne z samej definicji!

> Nie calkiem. Niby z definicji, ale im dalej od wybranego punktu, tym
> sie gorzej robi.

niby co może się robić gorzej w przypadku funkcji odwrotnej?

jeśli wylecisz z dziedziny, no to wiadomo że wynik będzie inny,
bo wtedy wpadniesz w inne zero, po prostu.

Gdy funkcja ma kilka zer, wtedy masz kilka odwrotnych a nie jedną - jasne?

dlatego nie istnieje funkcja odwrotna np. do sin(x), bo to ma miliony odwrotnych!

arcsin(x) -> to nie jest wcale odwrotne do sinusa, lecz do kawałka sin - tego w przedziale -pi/2 do pi/2.

> >Nie wiem czy jest coś na ten temat w literaturze,
> >bo ja to sam wymyśliłem... patrząc w sufit z zamkniętymi oczami.
> >haha!
> Ty lubisz wymyslac z sufitu :-)
>
> Ale jakbym nie podpowiedzial, to bys nie wymyslil :-P
>
> Tym niemniej ... wymysl wydaje sie naturalny, a jednak nie jest
> powszechnie stosowany ... mysle, ze po prostu kiepsko dziala, albo cos
> zle policzyles ...

Pomijam warunki odwracalności funkcji i inne elementarne sprawy.

Metoda jest niezniszczalna:
w przypadku wielu zer należy to odwracać kawałkami.. i tyle.

inv sin(x)/x = to są miliony funkcji, każda w osobnym kawałku grubości 2pi.

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:866cbf4a-8e11-43cd...@googlegroups.com...

wtorek, 22 grudnia 2020 o 17:58:00 UTC+1 J.F. napisał(a):
> > [...]
> >> >Nie ma z tym problemów,
> >> >można tym sposobem wyliczać zera dowolnych wielomianów.

>> >> Jakos mi sie nie wydaje.
>> >> Bo ... nie przypominam sobie takiej metody.

>> >> A moze jest po prostu wrazliwa na wybor punktu poczatkowego
>> >> rozwiniecia, i wcale nie daje dokladnych rozwiazan ...
>
>> >Metoda jest raczej niezawodna, chyba uniwersalna:
>> >te szeregi są - muszą być! zbieżne z samej definicji!

>> Nie calkiem. Niby z definicji, ale im dalej od wybranego punktu,
>> tym
>> sie gorzej robi.

>niby co może się robić gorzej w przypadku funkcji odwrotnej?

>jeśli wylecisz z dziedziny, no to wiadomo że wynik będzie inny,
>bo wtedy wpadniesz w inne zero, po prostu.

>Gdy funkcja ma kilka zer, wtedy masz kilka odwrotnych a nie jedną -
>jasne?
>dlatego nie istnieje funkcja odwrotna np. do sin(x), bo to ma miliony
>odwrotnych!
>arcsin(x) -> to nie jest wcale odwrotne do sinusa, lecz do kawałka
>sin - tego w przedziale -pi/2 do pi/2.

no to rozloz ten arcsin(x) na szereg, nawet na tym jednym polokresie.
On ma nieskonczone pochodne na koncu - wielomiany tego nie lubia.
Czy np taki ln(x) - ta asymptota do -inf sie kiepsko aproksymuje
wielomianem.

Ale nawet lepsze funkcje moga dawac szereg wolno zbiezny ...

Ale ... mowilismy o wyliczaniu zer z wielomianow, nie o dowolnych
funkcjach.

taki chocby x^3, po odwroceniu - trzeci pierwiastek z x, tez sie
kiepsko wyraza wielomianem.
No i ma nieskonczona pochodna w zerze ...

J.

[Fele Mele]

to akurat jest łatwe:
odwrotną arcsin ogarnia sin z grubym zapasem... haha!

Problem stanowią tu zera pochodnej, czyli punkty ekstremalne - generalnie:
te poziome odcinki, a nie pionowe;

Dlatego kombinują z funkcjami wymiernymi,
co to jest dobre, ale tylko do wielomianów, niestety:
bo w wielomianach nie ma asymptot pionowych. hihi!

W przypadku ogólnym pewnie należy używać szeregów Laurenta,
zamiast wielomianowych.

> Ale nawet lepsze funkcje moga dawac szereg wolno zbiezny ...
>
> Ale ... mowilismy o wyliczaniu zer z wielomianow, nie o dowolnych
> funkcjach.
>
> taki chocby x^3, po odwroceniu - trzeci pierwiastek z x, tez sie
> kiepsko wyraza wielomianem.
> No i ma nieskonczona pochodna w zerze ...

y = x^3
odwrotna: sqrt3[x];
to samo co zwyczajny x^2, i każda typu: x^n.

y' = 3x^2; y'' = 6x, ...
o odwracamy z marszu w 1 albo w -10 i tyle.

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:d07529b9-76b1-43d5...@googlegroups.com...

wtorek, 22 grudnia 2020 o 18:43:22 UTC+1 J.F. napisał(a):
> Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

> > > [...]

>> >> >Metoda jest raczej niezawodna, chyba uniwersalna:
>> >> >te szeregi są - muszą być! zbieżne z samej definicji!
>
>> >> Nie calkiem. Niby z definicji, ale im dalej od wybranego punktu,
>> >> tym sie gorzej robi.
>
>> >niby co może się robić gorzej w przypadku funkcji odwrotnej?
>
>> >jeśli wylecisz z dziedziny, no to wiadomo że wynik będzie inny,
>> >bo wtedy wpadniesz w inne zero, po prostu.
>
>> >Gdy funkcja ma kilka zer, wtedy masz kilka odwrotnych a nie
>> >jedną -
>> >jasne?
>> >dlatego nie istnieje funkcja odwrotna np. do sin(x), bo to ma
>> >miliony
>> >odwrotnych!
>> >arcsin(x) -> to nie jest wcale odwrotne do sinusa, lecz do kawałka
>> >sin - tego w przedziale -pi/2 do pi/2.
>> no to rozloz ten arcsin(x) na szereg, nawet na tym jednym
>> polokresie.
>> On ma nieskonczone pochodne na koncu - wielomiany tego nie lubia.
>> Czy np taki ln(x) - ta asymptota do -inf sie kiepsko aproksymuje
>> wielomianem.

>to akurat jest łatwe:
>odwrotną arcsin ogarnia sin z grubym zapasem... haha!

Nie nie - funkcja oryginalna jest sinus. Na przedziale -pi/2 .. pi/2.

Odwrotną funkcja jest arc sin, ktory wiadomo, ze jest kiepsko
aproksymowany wielomianami ... wiec rozwin arcsin w szereg.

Mozesz skorzystac ze swojej metody - rozwinac funkcje odwrotna do
sin().

Tylko daj wiecej wyrazow.

>Problem stanowią tu zera pochodnej, czyli punkty ekstremalne -
>generalnie:
>te poziome odcinki, a nie pionowe;

A w sin ich nie brakuje ..

>> Ale nawet lepsze funkcje moga dawac szereg wolno zbiezny ...
>>
>> Ale ... mowilismy o wyliczaniu zer z wielomianow, nie o dowolnych
>> funkcjach.
>
>> taki chocby x^3, po odwroceniu - trzeci pierwiastek z x, tez sie
>> kiepsko wyraza wielomianem.
>> No i ma nieskonczona pochodna w zerze ...

>y = x^3
>odwrotna: sqrt3[x];

A propos - sqrt to "square root", a to nieprawda tutaj.
Albo jakis curt powinno sie pisac, albo rt3 :-)

>to samo co zwyczajny x^2, i każda typu: x^n.
>y' = 3x^2; y'' = 6x, ...
>o odwracamy z marszu w 1 albo w -10 i tyle.

No to dawaj np piec wyrazow ...

J.

[Fele Mele]

środa, 23 grudnia 2020 o 09:08:22 UTC+1 J.F. napisał(a):
> Odwrotną funkcja jest arc sin, ktory wiadomo, ze jest kiepsko
> aproksymowany wielomianami ... wiec rozwin arcsin w szereg.
>
> Mozesz skorzystac ze swojej metody - rozwinac funkcje odwrotna do
> sin().

y = sin(x);
co rozwijamy w x = 0, do 5-tego rzędu:
y(0) = 0; y' = cosx = 1, y'' = -sin(x) = 0, y''' = -cos(x) = -1, y4 = 0, y5 = 1

stąd:
arcsin(x) = 0 + x + 0 + x^3/3! + 0 + 9x^5/5! + ... = x + x^3/6 + 3/40 x^5 + ...

trzecia pochodna odwrotnej wygląda tak: x''' = -y'''/y'^4 + 3y''^2/y'^5;
piątej nie chce mi się pisać - 6 składników.

> >y = x^3
> >odwrotna: sqrt3[x];
> A propos - sqrt to "square root", a to nieprawda tutaj.
> Albo jakis curt powinno sie pisac, albo rt3 :-)
> >to samo co zwyczajny x^2, i każda typu: x^n.
> >y' = 3x^2; y'' = 6x, ...
> >o odwracamy z marszu w 1 albo w -10 i tyle.
> No to dawaj np piec wyrazow ...

można to załatwić od razu dla dowolnej: x^n - tyle samo roboty.

[J.F.]

Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup

dyskusyjnych:0a9e7f2a-534f-4055...@googlegroups.com...

środa, 23 grudnia 2020 o 09:08:22 UTC+1 J.F. napisał(a):
>> Odwrotną funkcja jest arc sin, ktory wiadomo, ze jest kiepsko
>> aproksymowany wielomianami ... wiec rozwin arcsin w szereg.
>
>> Mozesz skorzystac ze swojej metody - rozwinac funkcje odwrotna do
>> sin().

>y = sin(x);
>co rozwijamy w x = 0, do 5-tego rzędu:
>y(0) = 0; y' = cosx = 1, y'' = -sin(x) = 0, y''' = -cos(x) = -1, y4 =
>0, y5 = 1

>stąd:
>arcsin(x) = 0 + x + 0 + x^3/3! + 0 + 9x^5/5! + ... = x + x^3/6 + 3/40
>x^5 + ...

>trzecia pochodna odwrotnej wygląda tak: x''' = -y'''/y'^4 +
>3y''^2/y'^5;
>piątej nie chce mi się pisać - 6 składników.

A szkoda, bo bysmy mogli ocenic blad po wspolczynniku przy skladniku
:-)

A tak, to pozostaje sprawdzic numerycznie ... do 0.9 jest w miare
niezle, o ile 5% bledu mozemy tak nazwac.
ponad 0.9 coraz gorzej

>> >y = x^3
>> >odwrotna: sqrt3[x];
>> A propos - sqrt to "square root", a to nieprawda tutaj.
>> Albo jakis curt powinno sie pisac, albo rt3 :-)
>> >to samo co zwyczajny x^2, i każda typu: x^n.
>> >y' = 3x^2; y'' = 6x, ...
>> >o odwracamy z marszu w 1 albo w -10 i tyle.
>> No to dawaj np piec wyrazow ...

>można to załatwić od razu dla dowolnej: x^n - tyle samo roboty.

No to dawaj :-)

J.

[Fele Mele]

środa, 23 grudnia 2020 o 19:18:45 UTC+1 J.F. napisał(a):
> Użytkownik "Fele Mele" napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:0a9e7f2a-534f-4055...@googlegroups.com...
> środa, 23 grudnia 2020 o 09:08:22 UTC+1 J.F. napisał(a):
> >> Odwrotną funkcja jest arc sin, ktory wiadomo, ze jest kiepsko
> >> aproksymowany wielomianami ... wiec rozwin arcsin w szereg.
> >
> >> Mozesz skorzystac ze swojej metody - rozwinac funkcje odwrotna do
> >> sin().
>
> >y = sin(x);
> >co rozwijamy w x = 0, do 5-tego rzędu:
> >y(0) = 0; y' = cosx = 1, y'' = -sin(x) = 0, y''' = -cos(x) = -1, y4 =
> >0, y5 = 1
>
> >stąd:
> >arcsin(x) = 0 + x + 0 + x^3/3! + 0 + 9x^5/5! + ... = x + x^3/6 + 3/40
> >x^5 + ...
>
> >trzecia pochodna odwrotnej wygląda tak: x''' = -y'''/y'^4 +
> >3y''^2/y'^5;
> >piątej nie chce mi się pisać - 6 składników.
> A szkoda, bo bysmy mogli ocenic blad po wspolczynniku przy skladniku
> :-)

chyba przy siódmej mógłbyś to oceniać,
bo piąta tu już figuruje: 9, co daje ten wyraz: 9/5! = 3/40

> >można to załatwić od razu dla dowolnej: x^n - tyle samo roboty.
> No to dawaj :-)

y = x^n;

y(1) = 1
y' = n
y'' = n(n-1); y''' = n(n-1)(n-2); ...


(1+x)^(1/n) = 1 + x/n - (n-1)n/n^3 x^2/2! + [-n(n-1)(n-2)/n^4 + 3n^2(n-1)^2/n^5)/3! x^3 + ...