pi^2/6 a liczby pierwsze
Wlodzimierz Holsztynski
S(x) := 1 + 1/x^2 + 1/x^4 + ...
= 1/(1-x^2)
dla x > 1. Wtedy zgodnie
ze wzorem i duchem Eulera:
pi^2/6 = 1/1^2 + 1/2^2 + ...
= S(2)*S(3)*S(5)*S(7)*S(11)*...
gdzie iloczyn jest wzięty po wszystkich
liczbach pierwszych.
Ponieważ pi^2/6 jest niewymierne, to
liczb pierwszych jest nieskończenie
wiele (bowiem każdy skończony iloczyn
S(2)*...*S(p) jest liczbą wymierną).
Jest to znany dowód nieskończoności
zbioru liczb pierwszych, i stary, ale
nie wiem komu przyszedł do głowy.
Zaskakujący dowód. Tylko dowód topologiczny
jest jeszcze dziwniejszy i nieoczekiwany.
Jednak największy, ogromny wpływ na teorię
liczb, poza dowodem samego Euklidesa,
miało twierdzenie Eulera o nieskończoności
sumy odwrotności liczb pierwszych, co
zapoczątkowało analityczną teorię liczb.
Pozdrawiam,
Wlodek
--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/
Łukasz Kalbarczyk
> Ponieważ pi^2/6 jest niewymierne, to
> liczb pierwszych jest nieskończenie
> wiele (bowiem każdy skończony iloczyn
> S(2)*...*S(p) jest liczbą wymierną).
> Jest to znany dowód nieskończoności
> zbioru liczb pierwszych, i stary, ale
> nie wiem komu przyszedł do głowy.
> Zaskakujący dowód. Tylko dowód topologiczny
> jest jeszcze dziwniejszy i nieoczekiwany.
Mnie się on bardzo podoba,
bije z niego taka matematyczna czystość,
tylko nie pamiętam, czy równie czysty jest
dowód niewymierności pi^2.
--
ŁK (20.06.2008 00:20:16)
Damian Sobota
Istnieje pomysłowy, ale elementarny, dowód niewymierności pi^2 podany przez
E.M. Schroedera w:
Zur Irrationalitaet von pi^2 und pi, Mitteilungen der Mathematischen
Gesellschaft in Hamburg, 1993.
Dowód jest dosyć krótki (około pół strony B5). Jeśli ktoś by chciał, to mogę
zamieścić tutaj ten dowód.
Pozdrawiam,
Damian Sobota.
Wlodzimierz Holsztynski
> Istnieje pomysłowy, ale elementarny, dowód niewymierności pi^2
> podany przez E.M. Schroedera w:
>
> Zur Irrationalitaet von pi^2 und pi, Mitteilungen
> der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 1993.
>
> Dowód jest dosyć krótki (około pół strony B5).
> Jeśli ktoś by chciał, to mogę zamieścić tutaj ten dowód.
>
> Pozdrawiam,
> Damian Sobota.
Poproszę, Damianie, ślicznie dziękuję
i pozdrawiam,
Włodek
PS. Oparty na szeregu Eulera? Wkrótce przekonamy się
- czekam cierpliwie. wh
Damian Sobota
> i pozdrawiam,
>
> Włodek
>
> PS. Oparty na szeregu Eulera? Wkrótce przekonamy się
> - czekam cierpliwie. wh
Cieszę się bardzo, że jest zainteresowanie. Zatem oto i dowód.
Niech dla każdego n naturalnego będzie określona funkcja f_n:R->R jak następuje:
f_n(x) := (pi*x - x^2)^n
Będę stosował następujące krótkie oznaczenie:
I(f) := \int_0^pi f(x)*sin(x) dx
W dalszej części dowodu będę pomijał proste rachunki i podawał same wyniki.
Niech teraz I_n := I(f_n). Mamy oczywiste fakty:
I_0 = 2
f_n(0) = f_n(pi) = 0
0 < f_n|(0,pi) <= pi^{2n}
skąd: 0 < I_n <= 2*pi^{2n} (1)
(f_n|(0,pi) to obcięcie f_n do odcinka (0,pi).)
Dalej (" -- druga pochodna):
f_1" = -2
I(f_n"+f_n) = 0
skąd: I_n = -I(f_n"), I_1 = 2*I_0 = 4. (2)
Z tego, że:
(f_1')^2 = (pi-2x)^2 = pi^2 - 4*f_1
wynika, że:
f_{n+2}" = (n+2) * (pi^2*(n+1)*f_n - (4n+6)*f_{n+1})
Z powyższego i (2) otrzymujemy:
I_{n+2} = (n+2) * ((4n+6)*I_{n+1} - pi^2*(n+1)*I_n) (3)
Przyjmijmy teraz, że pi^2 = p/q dla pewnych p i q naturalnych. Kładziemy:
a_n := I_n * (q^n)/n!
Pomnóżmy (3) przez (q^{n+2})/(n+2)! -- otrzymamy:
a_{n+2} = (4n+6)*q*a_{n+1} - p*q*a_n.
Ponieważ a_0 = 2 oraz a_1 = 4q, więc a_n \in Z dla każdego n. Z drugiej
strony, z (1) mamy:
0 < a_n <= 2(p^n)/n!
a więc dla n odpowiednio dużych a_n \in (0,1). Otrzymana sprzeczność dowodzi
niewymierności pi^2 (a więc przy okazji pi). QED
Mam nadzieję, że nigdzie nie popełniłem usterek. Jakby co -- poprawię.
Moje pytanie: czy istnieją nieanalityczne dowody niewymierności pi lub pi^2?
Przez nieanalityczne rozumiem takie, które nie wykorzystują narzędzi analizy
matematycznej (całek, pochodnych, szeregów etc.).
Pozdrawiam,
Damian Sobota.
Wlodzimierz Holsztynski
> [...] oto i dowód.
> Wielkie dzięki. Wygląda elegancko.
Pewnego dnia będę miał trochę
spokoju, znajdę nstrój, i go przerobię sobie.
> [...] Otrzymana sprzeczność dowodzi
> niewymierności pi^2 (a więc przy okazji pi). QED
Niewymierności lub transcendentności dowodzi się
pokazując, że tak czy inaczej zachodzi szybsza
zbieżność niż byłoby to możliwe w przypadku
wymiernym lub algebraicznym odpowiednio.
>
> Moje pytanie: czy istnieją nieanalityczne
> dowody niewymierności pi lub pi^2?
> Przez nieanalityczne rozumiem takie, które
> nie wykorzystują narzędzi analizy
> matematycznej (całek, pochodnych, szeregów etc.).
Trochę o to trudno, bo sama definicja pi już
w zasadzie jest analityczna. Co prawda można
w szeregu nieskończonym unikać mówienia o granicy,
ale taka starożytna greckość byłaby jednak
sztuczna. Co prawda funkcje trygonometryczne,
w tym pi, można zdefiniować aksjomatycznie, bez
pojęć analizy takich jak zbieżność i ciągłość
(nie mówiąc o pochodnej), chyba sama monotoniczność
wystarczy. A nuż to daje ekstraelegancką szansę
na dowód niewymierności lub transcendentalności pi.
Bīłoby w tym zgrabne "oszustwo", gdyby dało się
uniknąć w dowodzie wszelkiego numerycznego
zidentyfikowania pi.
Dowód, który przytoczyłeś, nieco przypomina piękny,
ale tajemniczy dowód transcendentalności e oraz pi,
podany przez Hilberta.
Pozdrawiam, dziękuję,
Włodek
Wlodzimierz Holsztynski
> Niech
>
> S(x) := 1 + 1/x^2 + 1/x^4 + ...
>
> = 1/(1-x^2)
>
> dla x > 1.
Literówka :-) Oczywiście:
S(x) := 1 + 1/x^2 + 1/x^4 + ...
= 1/(1 - 1/x^2)
dla x > 1.
Pozdrawiam,
Włodek