Jak znajdujecie stopień trudności

[andrew...@hotmail.co.uk]

matury z 1920 roku?
https://i.postimg.cc/jj0xxDq3/matura.jpg

[Robert Wańkowski]

W dniu 19.08.2023 o 21:19, andrew...@hotmail.co.uk pisze:

> matury z 1920 roku?
> https://i.postimg.cc/jj0xxDq3/matura.jpg

Sto lat temu żelazo było lżejsze?

Robert

[Robert Tomasik]

W dniu 19.08.2023 o 21:55, Robert Wańkowski pisze:

Gęstość żelaza wynosi 7,874 g/cm³. Istnieje wiele stopów żelaza o
ciężarze właściwym 7,7 g/cm³. Do najpopularniejszych należą:
- stal niskowęglowa (do 0,25% węgla)
- stal średniowęglowa (0,25-0,60% węgla)
- stal wysokowęglowa (0,60-1,00% węgla)
- stal narzędziowa (od 0,60% do 2,00% węgla)
- stal nierdzewna (do 12% chromu)

Różnica 0,174 g/cm³ może wynikać choćby z temperatury. Zadanie zresztą
jest raczej obliczone na odpowiednie ułożenie równania. Podana tu
gęstość ma pewnie poboczne znaczenie. Nie chce mi się tego rozwiązywać,
ale podejrzewam, że chodzi o to, by wyszedł jakiś sensowny wynik. Oni
wówczas obliczenia inżynierskie prowadzili do 1~2 miejsc po przecinku.

--
(~) Robert Tomasik

[Robert Wańkowski]

W dniu 19.08.2023 o 23:22, Robert Tomasik pisze:

> Istnieje wiele stopów żelaza o ciężarze właściwym 7,7 g/cm³.

Gdyby napisali, że kula stalowa, to bym się po tych 100 latach nie
czepiał. ;)

A to mnie przeraża.
5sinx+3siny=4.
Ile godzin mieli na maturze?

Robert

[Robert Tomasik]

W dniu 19.08.2023 o 23:56, Robert Wańkowski pisze:

To dość trywialne, tylko wymaga zauważenia, że można podmienić:
sin(x) = a
sin(y) = b

dostajesz równanie:
5a + 3b = 4
15a - 6b = 5

zakładam, że to umiesz :-)

3b = 4 - 5a
15a - 2(4 - 5a) = 5
15a - 8 + 10a = 5
25a = 13
a = 13/25
b = (4 - 13/5)/3 = 7/15

resztę musieli z tablic, albo suwaka logarytmicznego wziąć.

--
(~) Robert Tomasik

[Robert Wańkowski]

W dniu 20.08.2023 o 00:51, Robert Tomasik pisze:

>> A to mnie przeraża.
>> 5sinx+3siny=4.
>> Ile godzin mieli na maturze?
>
> To dość trywialne, tylko wymaga zauważenia, że można podmienić:
> sin(x) = a
> sin(y) = b

Napisali rozwiązać równanie, a nie układ równań.Klamry nie ma. Może
konwencja zapisu drzewiej inną była?
Gdybym ją pisał, to pewnie do dziś bym nad tym zadaniem siedział.

https://www.desmos.com/calculator/2ewfrxkhyv

Robert

[WM]

Dawniej matura z matematyki, to było kilka egzaminów.
Osobno zdawana była algebra, geometria analityczna, geometria wykreśna, trygonometria, rachunek różniczkowy.
https://dlibra.karta.org.pl/dlibra/doccontent?id=26763

Aleksander Głowacki (Bolesław Prus) też miał kilka przedmiotów matematycznych na maturze, ale inny zestaw.
https://www.jezuicka13.pl/wp-content/uploads/2021/07/35_527_0_845_PRUS-1536x1233.jpg

WM

[Robert Tomasik]

W dniu 20.08.2023 o 10:54, Robert Wańkowski pisze:

Ty, to potrafisz skomplikować :-)

--
(~) Robert Tomasik

[J.F]

On Sat, 19 Aug 2023 12:19:53 -0700 (PDT), andrew...@hotmail.co.uk
wrote:

> matury z 1920 roku?
> https://i.postimg.cc/jj0xxDq3/matura.jpg

powiedziałbym, że w miare normalnie jak na lata 1980-2010,
ale ostanich matur nie śledziłem.

Zad 2 jest trywialne ... jaki to postęp ... geometryczny :-)

J.

[WM]

poniedziałek, 21 sierpnia 2023 o 16:40:44 UTC+2 J.F napisał(a):
(...)

>
> Zad 2 jest trywialne ... jaki to postęp ... geometryczny :-)
>

To wiadomo, ale czy geometryczny zbieżny, czy geometryczny rozbieżny?

WM

[J.F]

On Sat, 19 Aug 2023 23:22:06 +0200, Robert Tomasik wrote:
> W dniu 19.08.2023 o 21:55, Robert Wańkowski pisze:
>> W dniu 19.08.2023 o 21:19, andrew...@hotmail.co.uk pisze:
>>> matury z 1920 roku?
>>> https://i.postimg.cc/jj0xxDq3/matura.jpg
>> Sto lat temu żelazo było lżejsze?
>
> Gęstość żelaza wynosi 7,874 g/cm³. Istnieje wiele stopów żelaza o
> ciężarze właściwym 7,7 g/cm³. Do najpopularniejszych należą:
> - stal niskowęglowa (do 0,25% węgla)
> - stal średniowęglowa (0,25-0,60% węgla)
> - stal wysokowęglowa (0,60-1,00% węgla)
> - stal narzędziowa (od 0,60% do 2,00% węgla)

Czyli wszystkie stale węglowe?

> - stal nierdzewna (do 12% chromu)
>
> Różnica 0,174 g/cm³ może wynikać choćby z temperatury. Zadanie zresztą
> jest raczej obliczone na odpowiednie ułożenie równania.

Zapewne, ale raczej wstawili cos powszechnie uzywanego.
Dziś byłoby 8000 kg/m3 :-)


Jak trzeba dokładniej
https://auremo.pl/reference/plotnost-stali-konstruktsionnoy.html

powiedziałbym ze 7.7 to rzadkosc. Stal konstrukcyjna sprężynowa 60C2,
60S2A.

U Ruskich wszystko cięższe, i dlatego w PRL było 7.8 ?


Nie tylko u ruskich
https://amesweb.info/Materials/Density_of_Steel.aspx

> Podana tu
> gęstość ma pewnie poboczne znaczenie. Nie chce mi się tego rozwiązywać,
> ale podejrzewam, że chodzi o to, by wyszedł jakiś sensowny wynik. Oni
> wówczas obliczenia inżynierskie prowadzili do 1~2 miejsc po przecinku.

A to tylko matura, nawet nie wiadomo czy suwaki mieli.

Nie wygląda mi na to, aby to było dla uproszczenia obliczen.
Chyba, ze np zakladająć ze pi=3.

Swoją drogą ciekawe zadanie - licze na dwa sposoby, i mi dwie różne
grubosci wychodzą. A jeszcze mam dwa inne sposoby, to ciekawe ile
wyjdzie
... no i ze 20 minut szukalem błedu, który banalnie ludzki sie okazał.

na razie mi wychodzi 5.2 do 5.4mm, w zaleznosci od metody i
zaokrągleń.

J.

[J.F]

skoro tak rosnie, to rozbiezny :-)

J.

[Robert Wańkowski]

W dniu 21.08.2023 o 19:39, J.F pisze:
> Dziś byłoby 8000 kg/m3 😄

A Π=3.

Robert

[Robert Tomasik]

W dniu 21.08.2023 o 19:39, J.F pisze:

> na razie mi wychodzi 5.2 do 5.4mm, w zaleznosci od metody i
> zaokrągleń.

Zainspirowałeś mnie. Szkoda, żeś tu nie wklepał sposobu, to by można
szukać wspólnie błędu. No więc ja to postrzegam tak:

Skoro kula waży 30 kg, i zanurza się do połowy, to cała musi wypierać 60
kg wody, zaś dla wody przyjmuję 1 kg na 1 dm sześcienny.

Objętość kuli to:

4 3
v = ———·n·R
3

1/3 1/3
6 ·v
R = ———————————
1/3
2·n

n - pi, bo nie umiem tu inaczej.
R - promień zewnętrzny

Skoro kula o ciężarze 30 kg pływa zanurzona do połowy, no to połowa kuli
musi mieć objętość zewnętrzną 30 dm sześciennych. Cała zaś 60 dm sześć.
Szukamy promienia takiej kuli:

1/3 1/3 1/3
6 ·60 45
R = ———————————— = ———————
1/3 1/3
2·n n

Teraz szukamy promienia dziurki. Jakby kula byłą cała ze stali, to by
ważyła 7,7 więcej, czyli 7,7 * 60.

No i teraz widzę dwa sposoby. Po pierwsze możemy pokombinować, że kula
ma powierzchnię

2 1/3 1/3
P = 4·n·R = 12·75 ·n

Trzeba obliczyć grubość warstewki, co będzie miała 30 kg, czyli objętość
7,7 mniejszą, niż 30 dm sześciennych:

1/3
5·45
g = —————————— = 0.05256688477 ~ 0.05338121373 [dm]
1/3
231·n

w zależności od tego, czy przyjmujemy pi = 3, czy 3,1415926.

Jeszcze jest drugi sposób. Można teraz poszukać, jaką ma mieć objętość
dziura w kuli o promieniu R, by kula miała tylko 30 kg.

--
(~) Robert Tomasik

[J.F]

On Tue, 22 Aug 2023 00:02:22 +0200, Robert Tomasik wrote:
> W dniu 21.08.2023 o 19:39, J.F pisze:
>
>> na razie mi wychodzi 5.2 do 5.4mm, w zaleznosci od metody i
>> zaokrągleń.
>
> Zainspirowałeś mnie. Szkoda, żeś tu nie wklepał sposobu, to by można
> szukać wspólnie błędu. No więc ja to postrzegam tak:
>
> Skoro kula waży 30 kg, i zanurza się do połowy, to cała musi wypierać 60
> kg wody, zaś dla wody przyjmuję 1 kg na 1 dm sześcienny.

Tak jest, tylko ja licze w cm3 :-)

> Objętość kuli to:
> 4 3
> v = ———·n·R
> 3

Tak jest i z tego mi wychodzi 24.28 cm

> Teraz szukamy promienia dziurki. Jakby kula byłą cała ze stali, to by
> ważyła 7,7 więcej, czyli 7,7 * 60.

Tak jest.

> No i teraz widzę dwa sposoby. Po pierwsze możemy pokombinować, że kula
> ma powierzchnię
>
> 2 1/3 1/3
> P = 4·n·R = 12·75 ·n
>
> Trzeba obliczyć grubość warstewki, co będzie miała 30 kg, czyli objętość
> 7,7 mniejszą, niż 30 dm sześciennych:

Tak jest, tylko ja licze

g*7.7*4*pi*R^2 = 1/2*4/3*pi*R^3

skreslac wyrazy podobne zostaje
g*7.7=R/6
g=R/6/7.7

>
> 1/3
> 5·45
> g = —————————— = 0.05256688477 ~ 0.05338121373 [dm]
> 1/3
> 231·n
>
> w zależności od tego, czy przyjmujemy pi = 3, czy 3,1415926.

a mnie 0.52 cm

> Jeszcze jest drugi sposób. Można teraz poszukać, jaką ma mieć objętość
> dziura w kuli o promieniu R, by kula miała tylko 30 kg.

Dokladnie i wtedy mi wychodzi 0.54cm.

Ale ... aby to zrobic, to wyliczam Rzewn = 24.28cm, i Rwewn
odpowiednio mniej, i musze to z zrobic z dokładnoscią co najmniej 3
cyfr (tzn 1 po przecinku). A jest to wynik pierwiastka 3 stopnia.

Kalkulator nie ma z tym najmniejszych problemów ... ale w 1920
mieli do dyspozycje tablice logarytmów i pierwiastków.
Nie wiem, czy taka dokładnosc dostępna.

Wiec raczej wersja z gruboscią scianki.

J.

[J.F]

Kto wie, ile było w ich czasach ... na wymogi takich obliczen.

Ale nie wydaje mi sie, aby prowadziło to do jakiegos uproszczenia
rachunkowego.

J.

[WM]

Wzór jest konkretny:
grubość ściany kuli =
100*(1-(1-1/(2*7,7))^(1/3))*(30*3/(pi*2))^(1/3)
Wynik też:
grubość ściany kuli = 5,374760845mm

WM

[PD]

W dniu 22.08.2023 o 00:02, Robert Tomasik pisze:

No to ode mnie trzeci:

Masa kuli jest dana, gęstość dana, zatem możemy policzyć jaka jest
objętość samego żelaza w całej kuli:

Vzel = 30/S

I teraz szukamy zależności pt. jak będzie zmieniać się objętość kuli o
początkowym promieniu R, wraz ze zmianą go o x (szukana grubość
ściankki) a zatem

Vk = 4/3 * pi * (R-x)^3

f=dVk/dx = -4 * pi * (R-x)^2

dotąd zmieniamy promień, dopóki objętość nie zmieni się o objętość
samego żelaza Vzel

-4 * pi * (R-x)^2 = -30/S


R = 24,28 cm - to już wcześniej policzone i ja Wam wierzę ;)

-4 * pi * (0.2428-x)^2 = -30/7.7

no to wracamy do dzisiejszych czasów :)
https://www.wolframalpha.com/input?i=-4+*+pi+*+%280.2428-x%29%5E2+%3D+-30%2F7.7


x≈-0.314014
x≈0.799614

dwa wyniki i słusznie, bo kulę możemy powiększać lub pomniejszać.

Pewnie jest zamieszanie z mm,cm,m, g, kg ale to powinno wpływać tylko na
położenie przecinka. Wyniki niepodobne do żadnego z waszych ;)

PD

[J.F]

On Tue, 22 Aug 2023 16:13:23 +0200, PD wrote:
> W dniu 22.08.2023 o 00:02, Robert Tomasik pisze:
>> W dniu 21.08.2023 o 19:39, J.F pisze:
>>

> No to ode mnie trzeci:
>
> Masa kuli jest dana, gęstość dana, zatem możemy policzyć jaka jest
> objętość samego żelaza w całej kuli:
>
> Vzel = 30/S

30000/7.7 dokładniej.

> I teraz szukamy zależności pt. jak będzie zmieniać się objętość kuli o
> początkowym promieniu R, wraz ze zmianą go o x (szukana grubość
> ściankki) a zatem
>
> Vk = 4/3 * pi * (R-x)^3
>
> f=dVk/dx = -4 * pi * (R-x)^2
>
> dotąd zmieniamy promień, dopóki objętość nie zmieni się o objętość
> samego żelaza Vzel
>
> -4 * pi * (R-x)^2 = -30/S
>
>
> R = 24,28 cm - to już wcześniej policzone i ja Wam wierzę ;)
>
> -4 * pi * (0.2428-x)^2 = -30/7.7

troche pomieszales.

Albo liczysz zmiane objetosci bezposrednio
(4/3*pi*R^3) - (4/3*pi*(R-x)^3) = 30000/7.7


https://www.wolframalpha.com/input?i=solve++%284%2F3*pi*24.28%5E3%29-+%284%2F3*pi*%2824.28-x%29%5E3%29%3D30000%2F7.7
x = 0.537746


albo korzystamy z tej pochodnej

dv=f(0)*dx

f(0) - pochodna dla x=0, czyli dla kuli o promieniu R

Z czego
dx=dv/f(0) = (30000/7.7) / (4*pi*R^2)

https://www.wolframalpha.com/input?i=%2830000%2F7.7%29%2F%284*pi*24.28%5E2%29

0.525924

J.

[PD]

W dniu 22.08.2023 o 18:23, J.F pisze:

> troche pomieszales.

Racja, ale plan był dobry ;)

> Albo liczysz zmiane objetosci bezposrednio
> (4/3*pi*R^3) - (4/3*pi*(R-x)^3) = 30000/7.7
>
>
> https://www.wolframalpha.com/input?i=solve++%284%2F3*pi*24.28%5E3%29-+%284%2F3*pi*%2824.28-x%29%5E3%29%3D30000%2F7.7
> x = 0.537746
>
>
> albo korzystamy z tej pochodnej
>
> dv=f(0)*dx
>
> f(0) - pochodna dla x=0, czyli dla kuli o promieniu R
>
> Z czego
> dx=dv/f(0) = (30000/7.7) / (4*pi*R^2)
>
> https://www.wolframalpha.com/input?i=%2830000%2F7.7%29%2F%284*pi*24.28%5E2%29
>
> 0.525924

No i czemu u licha wychodzi różnie? Coś nam tu umyka.

PD

[J.F]

Prawidlowo. Zakladamy, ze objetosc stali jest g*S,
co jest prawdą na plaskiej powierzchni.
A tu jest kula.
Najbardziej zewnetrzny mm grubosci ma powierzchnie S, kazdy bardziej
wewnetrzny ma juz mniejsze pole. g*S tego nie uzzględnia,
roznica objetosci kul tak.

J.