Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Zastąpienie sin(x)/x , inną zbliżoną funkcją
56 views
Skip to first unread message
WM
Jul 17, 2020, 3:26:40 PM7/17/20
to
Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
Widać, że ER jest funkcją rosnącą dla zakresu: 0 < x < π.
Na granicach przyjmuje ona wartości:
x=0 ; ER=0
x=π ; ER=π/2-1
Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
wartość błędu bezwzględnego.
Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
funkcje są zerowe (dla x=π).
Chyba swego czasu dyskutowaliśmy z kolega JF na podobny temat dziwnej
granicy?
--
WM
Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
Widać, że ER jest funkcją rosnącą dla zakresu: 0 < x < π.
Na granicach przyjmuje ona wartości:
x=0 ; ER=0
x=π ; ER=π/2-1
Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
wartość błędu bezwzględnego.
Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
funkcje są zerowe (dla x=π).
Chyba swego czasu dyskutowaliśmy z kolega JF na podobny temat dziwnej
granicy?
--
WM
stch...@gmail.com
Jul 17, 2020, 8:56:17 PM7/17/20
to
W dniu piątek, 17 lipca 2020 21:26:40 UTC+2 użytkownik WM napisał:
> Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
> Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
>
Tutaj skróciłeś przez cos(x/2). Pamiętaj cholero nie dziel przez 0.
> Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
> Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
>
Taka sytuacja będzie miała miejsce dla każdego x=(2k+1)π.
WM
Jul 18, 2020, 5:25:59 AM7/18/20
to
W dniu 2020-07-18 o 02:56, stch...@gmail.com pisze:
Niczego nie skracałem, tylko pomnożyłem przez 1.
Policz wartość ułamka cos(x/2)/cos(x/2) , zwłaszcza dla x=(2k+1)π.
Nie warto kierować się przysłowiami.
Warto czasem zwyczajnie pomyśleć.
WM
Policz wartość ułamka cos(x/2)/cos(x/2) , zwłaszcza dla x=(2k+1)π.
Nie warto kierować się przysłowiami.
Warto czasem zwyczajnie pomyśleć.
WM
Maciej Wozniak
Jul 20, 2020, 7:33:05 AM7/20/20
to
On Friday, 17 July 2020 21:26:40 UTC+2, WM wrote:
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>
> Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
> Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
>
> Widać, że ER jest funkcją rosnącą dla zakresu: 0 < x < π.
> Na granicach przyjmuje ona wartości:
> x=0 ; ER=0
> x=π ; ER=π/2-1
>
> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
> wartość błędu bezwzględnego.
> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
> funkcje są zerowe (dla x=π).
Co w tym takiego ciekawego? Masz wartość
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>
> Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
> Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
>
> Widać, że ER jest funkcją rosnącą dla zakresu: 0 < x < π.
> Na granicach przyjmuje ona wartości:
> x=0 ; ER=0
> x=π ; ER=π/2-1
>
> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
> wartość błędu bezwzględnego.
> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
> funkcje są zerowe (dla x=π).
oczekiwaną 0, wartość rzeczywistą 0, różnicę
0, no i stosunek różnicy do wartości - jaki
twoim zdaniem jest stosunek 0 do 0?
J.F.
Jul 20, 2020, 7:51:15 AM7/20/20
to
Użytkownik "Maciej Wozniak" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:2a385c91-323d-44c5...@googlegroups.com...
Np 1, jak juz mowa o sin(x)/x
:-)
J.
dyskusyjnych:2a385c91-323d-44c5...@googlegroups.com...
:-)
J.
J.F.
Jul 20, 2020, 7:54:17 AM7/20/20
to
Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:5f11fb6e$0$31100$6578...@news.neostrada.pl...
bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
cos(x/2) nie.
J.
dyskusyjnych:5f11fb6e$0$31100$6578...@news.neostrada.pl...
>Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
>Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
a chodzi Ci o taki zakres, czy szerszy ?
>Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
cos(x/2) nie.
J.
WM
Jul 20, 2020, 8:08:36 AM7/20/20
to
W dniu 2020-07-20 o 13:54, J.F. pisze:
Tak jak na rysunku 0 < x < π .
WM
WM
WM
Jul 20, 2020, 8:24:30 AM7/20/20
to
W dniu 2020-07-20 o 13:51, J.F. pisze:
Czasem jest bardzo pomocna Reguła de l’Hospitala :)
WM
WM
J.F.
Jul 20, 2020, 11:57:13 AM7/20/20
to
Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:5f158942$0$503$6578...@news.neostrada.pl...
W dniu 2020-07-20 o 13:54, J.F. pisze:
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
>>> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
>>> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>>> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>
>> a chodzi Ci o taki zakres, czy szerszy ?
>
>> bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
>> cos(x/2) nie.
>Tak jak na rysunku 0 < x < π .
Uzytecznosc sin(x)/x jest raczej w szerszych granicach.
>>> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>>> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>
>> a chodzi Ci o taki zakres, czy szerszy ?
>
>> bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
>> cos(x/2) nie.
>Tak jak na rysunku 0 < x < π .
J.
WM
Jul 20, 2020, 6:06:12 PM7/20/20
to
W dniu 2020-07-20 o 17:56, J.F. pisze:
WM
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:5f158942$0$503$6578...@news.neostrada.pl...
> W dniu 2020-07-20 o 13:54, J.F. pisze:
>> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
>>>> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
>>>> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>>>> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>>
>>> a chodzi Ci o taki zakres, czy szerszy ?
>>
>>> bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
>>> cos(x/2) nie.
>
>> Tak jak na rysunku 0 < x < π .
>
> Uzytecznosc sin(x)/x jest raczej w szerszych granicach.
>
Ciekawe czy sinc ma typową dla gasnących sygnałów obwiednię ?
> dyskusyjnych:5f158942$0$503$6578...@news.neostrada.pl...
> W dniu 2020-07-20 o 13:54, J.F. pisze:
>> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
>>>> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
>>>> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>>>> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>>
>>> a chodzi Ci o taki zakres, czy szerszy ?
>>
>>> bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
>>> cos(x/2) nie.
>
>> Tak jak na rysunku 0 < x < π .
>
> Uzytecznosc sin(x)/x jest raczej w szerszych granicach.
>
WM
J.F.
Jul 21, 2020, 4:14:01 AM7/21/20
to
Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:5f161530$0$31100$6578...@news.neostrada.pl...
W dniu 2020-07-20 o 17:56, J.F. pisze:
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
>> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
>>>>> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
>>>>> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>>>>> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>>
>>> a chodzi Ci o taki zakres, czy szerszy ?
>>
>>>> bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
>>>> cos(x/2) nie.
>
>>> Tak jak na rysunku 0 < x < π .
>
>> Uzytecznosc sin(x)/x jest raczej w szerszych granicach.
>Ciekawe czy sinc ma typową dla gasnących sygnałów obwiednię ?
No nie, bo ma obwiednie 1/x, a nie e^-t
>>>>> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
>>>>> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
>>>>> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>>
>>> a chodzi Ci o taki zakres, czy szerszy ?
>>
>>>> bo sin(x)/x jest funkcja dażąca do 0 w obu nieskonczonosciach, a
>>>> cos(x/2) nie.
>
>>> Tak jak na rysunku 0 < x < π .
>
>> Uzytecznosc sin(x)/x jest raczej w szerszych granicach.
>Ciekawe czy sinc ma typową dla gasnących sygnałów obwiednię ?
J.
bartekltg
Jul 22, 2020, 8:13:08 PM7/22/20
to
On Friday, July 17, 2020 at 9:26:40 PM UTC+2, WM wrote:
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
daje błąd względny ~0.0035, utrzymując własności, że
przybliżenie zgadza się w o i pi. Dodatkowo zgadza się pochodna
w Pi. Jest to prawie element optymalny wg kryterium Chebyshewa
(TW o alternansie) ze względu na błąd względny
https://www.fotosik.pl/zdjecie/d197779b2d4373eb
(pierwszy wykres, błęd względny, drugi, bezwzględny, trzeci,
porównanie wykresów, praktycznie nachodzą na siebie).
> Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
> Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
>
> Widać, że ER jest funkcją rosnącą dla zakresu: 0 < x < π.
> Na granicach przyjmuje ona wartości:
> x=0 ; ER=0
> x=π ; ER=π/2-1
>
> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
> wartość błędu bezwzględnego.
> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
> funkcje są zerowe (dla x=π).
stałej gdy x-> pi ;-)
Jak ktoś już zauważył, po prostu porównujesz wtedy pochodne.
lim x->pi [f(x) - p(x)]/f(x) = lim x->pi [f(x) -0 - p(x) +0]/ (f(x)-0) =
= lim x->pi [f(x) -f(pi) - p(x) +p(pi)]/(x-pi) / (f(x)/(x-pi) )=
[mogę to zrobić bo w liczniku i mianowniku mam skonczony granice]
= lim x->pi [(f(x) -f(pi))/(x-pi)] -lim x->pi [(p(x) +p(pi))/(x-pi)] / lim x->pi (f(x)/(x-pi) )=
(f'(x) - p'(x))/f'(x)
Jeśli pochodne się nie zgadzają, mamy spora stałą.
pzdr
bartekltg
WM
Jul 23, 2020, 5:57:01 AM7/23/20
to
W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
(...)
Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>
> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
> daje błąd względny ~0.0035, utrzymując własności, że
> przybliżenie zgadza się w o i pi. Dodatkowo zgadza się pochodna
> w Pi. Jest to prawie element optymalny wg kryterium Chebyshewa
> (TW o alternansie) ze względu na błąd względny
> https://www.fotosik.pl/zdjecie/d197779b2d4373eb
> (pierwszy wykres, błęd względny, drugi, bezwzględny, trzeci,
> porównanie wykresów, praktycznie nachodzą na siebie).
Dziękuję za podanie znakomitego przybliżenia.
Nie lubię przybliżać wielomianami z powodu oscylacji Rungego.
Jednak tu szczęśliwie nie występują.
>
>> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
>> wartość błędu bezwzględnego.
>> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
>> funkcje są zerowe (dla x=π).
>
> Dla bezpieczeństwa bym powiedział, że błęd względny dąży do tej dużęj
> stałej gdy x-> pi ;-)
Tu mam pewien problem z tym co można, a co nie.
Który zapis jest prawidłowy?
1/
dla: -5 < x < 5 ,
x/x=1 ;
2/
dla: -5 < x < 5 ,
x/x=1 dla x różnego od 0,
lim x->0 x/x=1 dla x=0 ,
>
> Jak ktoś już zauważył, po prostu porównujesz wtedy pochodne.
>
> lim x->pi [f(x) - p(x)]/f(x) = lim x->pi [f(x) -0 - p(x) +0]/ (f(x)-0) =
> = lim x->pi [f(x) -f(pi) - p(x) +p(pi)]/(x-pi) / (f(x)/(x-pi) )=
> [mogę to zrobić bo w liczniku i mianowniku mam skonczony granice]
> = lim x->pi [(f(x) -f(pi))/(x-pi)] -lim x->pi [(p(x) +p(pi))/(x-pi)] / lim x->pi (f(x)/(x-pi) )=
> (f'(x) - p'(x))/f'(x)
> Jeśli pochodne się nie zgadzają, mamy spora stałą.
>
Jeżeli pochodne by się zgadzały to by była stała=1.
Tylko co ewentualnie można zrobić by stała była równa zero?
Czy to możliwe w punkcie, gdzie obie funkcje przechodzą przez zero?
WM
(...)
>
> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>
> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
> daje błąd względny ~0.0035, utrzymując własności, że
> przybliżenie zgadza się w o i pi. Dodatkowo zgadza się pochodna
> w Pi. Jest to prawie element optymalny wg kryterium Chebyshewa
> (TW o alternansie) ze względu na błąd względny
> https://www.fotosik.pl/zdjecie/d197779b2d4373eb
> (pierwszy wykres, błęd względny, drugi, bezwzględny, trzeci,
> porównanie wykresów, praktycznie nachodzą na siebie).
Nie lubię przybliżać wielomianami z powodu oscylacji Rungego.
Jednak tu szczęśliwie nie występują.
>
>> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
>> wartość błędu bezwzględnego.
>> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
>> funkcje są zerowe (dla x=π).
>
> Dla bezpieczeństwa bym powiedział, że błęd względny dąży do tej dużęj
> stałej gdy x-> pi ;-)
Który zapis jest prawidłowy?
1/
dla: -5 < x < 5 ,
x/x=1 ;
2/
dla: -5 < x < 5 ,
x/x=1 dla x różnego od 0,
lim x->0 x/x=1 dla x=0 ,
>
> Jak ktoś już zauważył, po prostu porównujesz wtedy pochodne.
>
> lim x->pi [f(x) - p(x)]/f(x) = lim x->pi [f(x) -0 - p(x) +0]/ (f(x)-0) =
> = lim x->pi [f(x) -f(pi) - p(x) +p(pi)]/(x-pi) / (f(x)/(x-pi) )=
> [mogę to zrobić bo w liczniku i mianowniku mam skonczony granice]
> = lim x->pi [(f(x) -f(pi))/(x-pi)] -lim x->pi [(p(x) +p(pi))/(x-pi)] / lim x->pi (f(x)/(x-pi) )=
> (f'(x) - p'(x))/f'(x)
> Jeśli pochodne się nie zgadzają, mamy spora stałą.
>
Tylko co ewentualnie można zrobić by stała była równa zero?
Czy to możliwe w punkcie, gdzie obie funkcje przechodzą przez zero?
WM
J.F.
Jul 23, 2020, 7:17:21 AM7/23/20
to
Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:5f195eeb$0$17342$6578...@news.neostrada.pl...
W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
(...)
>> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
>> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
>Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
(...)
>> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
>> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
>Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
Ale moze wytarczajacy dla WM :-)
>> daje błąd względny ~0.0035, utrzymując własności, że
>> przybliżenie zgadza się w o i pi. Dodatkowo zgadza się pochodna
>> w Pi. Jest to prawie element optymalny wg kryterium Chebyshewa
>> (TW o alternansie) ze względu na błąd względny
>> https://www.fotosik.pl/zdjecie/d197779b2d4373eb
>> (pierwszy wykres, błęd względny, drugi, bezwzględny, trzeci,
>> porównanie wykresów, praktycznie nachodzą na siebie).
>Dziękuję za podanie znakomitego przybliżenia.
>Nie lubię przybliżać wielomianami z powodu oscylacji Rungego.
>Jednak tu szczęśliwie nie występują.
J.
bartekltg
Jul 23, 2020, 9:31:06 AM7/23/20
to
On Thursday, July 23, 2020 at 11:57:01 AM UTC+2, WM wrote:
> W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
> (...)
> >
> > I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> > a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>
> Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
> Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
Mozę od razu wielomian trygonometryczny, tempo zbieżności
> W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
> (...)
> >
> > I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> > a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>
> Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
> Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
jest z grubsza jak dla wielomianów (twierdzenia Jacksona).
> > Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
> > daje błąd względny ~0.0035, utrzymując własności, że
> > przybliżenie zgadza się w o i pi. Dodatkowo zgadza się pochodna
> > w Pi. Jest to prawie element optymalny wg kryterium Chebyshewa
> > (TW o alternansie) ze względu na błąd względny
> > https://www.fotosik.pl/zdjecie/d197779b2d4373eb
> > (pierwszy wykres, błęd względny, drugi, bezwzględny, trzeci,
> > porównanie wykresów, praktycznie nachodzą na siebie).
>
> Dziękuję za podanie znakomitego przybliżenia.
> Nie lubię przybliżać wielomianami z powodu oscylacji Rungego.
> Jednak tu szczęśliwie nie występują.
Np równoodległych. Ale biorąc np węzły czebyszewa, efekt znika.
Bierze się to z tego, że (jeśli g to nasza funkcka, p interpolacyjny wielomian stopnia n, interpolujący f w punktach x_0...x_n)
|f(x) - p(x)| = (x-x0)(x-x1)...(x-xn) f^(n+1)(\eta)/(n+1)!
f^(n+1)(\eta) to n+1 pochodna w jakimś (nieznanym) punkcie pomiędzy węzłąmi,
a (x-x0)(x-x1)...(x-xn) to wielomian stopnia n+1, do tego moniczny (jedynka
przy dominującym największym składniku).
Widać, że dla źle wybranych (np równoogległych) wezłow na [a,b] ten wielomian możę być bradzo duży, i napędza błąd. Ale... możemy znaleźć specjalny
wielomian! Wielomian czebyszewa (który jest właściswie cosinusem po zmianie
wspołrzędnych:)) 1 rodzaju, przeskalowany do postaci monicznej
ma najmniejszą normę na [-1,1](pierwszą, czyli sup) wsród wszelkich
wielomianów tego typu. Jeśli więc wybierzemy do interpolacji jego pierwiastki
tego wielomianu (które znamy jawnie!, tylko musimy przeskalować z [-1,1 na
[1,b]]) gwarantuje nam to, że ||(x-x0)(x-x1)...(x-xn)|| jest nejmniejsza
z możliwych. I dla regularnych funkcji mamy zbieżność,
Jeśli funkcja jest C^k, to ||f-p|| <= O(log(n)/n^k).
Zwróc uwagę, zę to zbieżnosć jednostajna na całym przedziale.
Ale to tylko interpolacja, wybraliśmy punkty, które są przyzwoicie dobre,
by zrobić na nihc interpolacje dla każdej w mierę regualrnej funkcji.
Ale mając konkretną funkcję f można zrobić lepiej (o czynnik log(n)).
Twierdzenie czebyszewa o alternansie daje kryterium, kiedy p jest wielomianem
n-tego stopnia optymalnie (najlepiej wsrod wszytkich wielomianow)
aproksymującym f. f-p ma mieć (co najmniej) n+2 ekstremów, takich samych
co do modułu, ale na zmianę różnego znaku.
Do tego dochodzi algorytm Remeza, który pozwala znaleśc takie optymalny
wielomian interacyjnie.
Wtedy ||f-p|| <= O(n^-k) dla dla f \in C^k
Żadnych oscylacji, śliczna zbieżność.
> >> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
> >> wartość błędu bezwzględnego.
> >> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
> >> funkcje są zerowe (dla x=π).
> >
> > Dla bezpieczeństwa bym powiedział, że błęd względny dąży do tej dużęj
> > stałej gdy x-> pi ;-)
>
> Tu mam pewien problem z tym co można, a co nie.
>
> Który zapis jest prawidłowy?
>
> 1/
> dla: -5 < x < 5 ,
> x/x=1 ;
>
> 2/
> dla: -5 < x < 5 ,
> x/x=1 dla x różnego od 0,
> lim x->0 x/x=1 dla x=0 ,
https://www.pleacher.com/mp/mhumor/onezero2.html ;-)
> > Jak ktoś już zauważył, po prostu porównujesz wtedy pochodne.
> >
> > lim x->pi [f(x) - p(x)]/f(x) = lim x->pi [f(x) -0 - p(x) +0]/ (f(x)-0) =
> > = lim x->pi [f(x) -f(pi) - p(x) +p(pi)]/(x-pi) / (f(x)/(x-pi) )=
> > [mogę to zrobić bo w liczniku i mianowniku mam skonczony granice]
> > = lim x->pi [(f(x) -f(pi))/(x-pi)] -lim x->pi [(p(x) +p(pi))/(x-pi)] / lim x->pi (f(x)/(x-pi) )=
> > (f'(x) - p'(x))/f'(x)
> > Jeśli pochodne się nie zgadzają, mamy spora stałą.
> >
>
> Jeżeli pochodne by się zgadzały to by była stała=1.
Masz też gotowe obliczenia wyżęj i przykłąd liczbowy (te nasz dwie
funkcje w pi)
> Tylko co ewentualnie można zrobić by stała była równa zero?
> Czy to możliwe w punkcie, gdzie obie funkcje przechodzą przez zero?
Sin[x]/x
i
1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
obie są równe -1/pi w x=pi,
błąd względny dąży do 0 gdy x->pi
pzdr
bartekltg
BTW, Kryterium czebyszewa i alg Remeza działją dla zagadnienia
optymalizujemy ||p-f||_[a,b]
czyli błąd bezwzględny. Ale p nie musi być wielomianem,
może być kombinacją dowolnych funkcji spełniających pewne
własności - bazą Haara - jeśli baza ma n elementów i funkcja
zeruje się w n+1 punktach, to jest tożsamośćiowo równa zero.
Wielomiany przeskalowane przez f, o ile nic nie wybucha, działają.
mozęmy więc przepisać błąd względny
||(p-f)/f||_[a,b] = ||p/f-1||_[a,b] = ||q-1||_[a,b]
i mamy zagadneinie aproksymowania jedynki elementami
x^k/f
W przypadku sin[x]/x na []0,pi musimy zająć się wcześniej biegunem,
więc nasze elementy z których układami aproksymację będą
syglądały tak:
(x-pi)^k/f
bartekltg
Jul 23, 2020, 9:36:24 AM7/23/20
to
On Thursday, July 23, 2020 at 1:17:21 PM UTC+2, J.F. wrote:
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:5f195eeb$0$17342$6578...@news.neostrada.pl...
> W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
> (...)
> >> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> >> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>
> >Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
> >Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>
> >> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
>
> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
Nie, nie jest. WM określił dziedzinę na [0,pi] w pierwszym poście,
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:5f195eeb$0$17342$6578...@news.neostrada.pl...
> W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
> (...)
> >> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> >> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>
> >Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
> >Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>
> >> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
>
> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
funkcja o niesy,mtrycnzej dziedzinie nie jest symetryczna ;-)
> >Dziękuję za podanie znakomitego przybliżenia.
> >Nie lubię przybliżać wielomianami z powodu oscylacji Rungego.
> >Jednak tu szczęśliwie nie występują.
>
> Wyjdziesz troche poza 0 lub pi, to zobaczysz :-)
daną funkcje w danym obszarze, poza nim możę się nawet wywalać
(wszelkie aproksymacje funkcjami wymiernymi).
Zachowanie poza tym obszarem nas nie interesuje, jakby nas
interesowało, wzięlibyśmy większy obszar, dostali inny wielomian.
pzdr
bartekltg
WM
Jul 23, 2020, 10:27:24 AM7/23/20
to
W dniu 2020-07-23 o 15:31, bartekltg pisze:
Dziękuję za wszystkie wyjaśnienia.
Potrzebuję trochę czasu by to wszystko przetrawić, ale wiem przynajmniej
czego nie brałem pod uwagę.
Słyszałem o wielomianach Czebyszewa, ale brak równoodległości węzłów
uważałem za niepotrzebne komplikowanie problemu, wręcz fanaberię.
Teraz przynajmniej wiem, że to nie fanaberia, bo to równa odległość jest
głównym powodem oscylacji.
Pozdrawiam
WM
Potrzebuję trochę czasu by to wszystko przetrawić, ale wiem przynajmniej
czego nie brałem pod uwagę.
Słyszałem o wielomianach Czebyszewa, ale brak równoodległości węzłów
uważałem za niepotrzebne komplikowanie problemu, wręcz fanaberię.
Teraz przynajmniej wiem, że to nie fanaberia, bo to równa odległość jest
głównym powodem oscylacji.
Pozdrawiam
WM
J.F.
Jul 25, 2020, 5:07:43 AM7/25/20
to
Dnia Thu, 23 Jul 2020 06:36:22 -0700 (PDT), bartekltg napisał(a):
> On Thursday, July 23, 2020 at 1:17:21 PM UTC+2, J.F. wrote:
>> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> On Thursday, July 23, 2020 at 1:17:21 PM UTC+2, J.F. wrote:
>> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
>> W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
>> (...)
>>>> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
>>>> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>>
>>>Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
>>>Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>>
>>>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
>>
>> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
>
> Nie, nie jest. WM określił dziedzinę na [0,pi] w pierwszym poście,
> funkcja o niesy,mtrycnzej dziedzinie nie jest symetryczna ;-)
No, skoro zamawiajacemu pasuje, to faktycznie niepotrzebnie sie
>> (...)
>>>> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
>>>> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
>>
>>>Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
>>>Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
>>
>>>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
>>
>> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
>
> Nie, nie jest. WM określił dziedzinę na [0,pi] w pierwszym poście,
> funkcja o niesy,mtrycnzej dziedzinie nie jest symetryczna ;-)
czepiam :-)
J.
WM
Jul 25, 2020, 5:42:53 AM7/25/20
to
W dniu 2020-07-25 o 11:07, J.F. pisze:
Jagiełło nie zamawiał mieczy pod Grunwaldem, ale chętnie je przyjął ;).
Ja też nie zamawiałem przybliżenia, ale podziwiam jego skuteczność :).
Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
Granicę można policzyć również bez różniczkowania, co nie jest takie
widoczne na pierwszy rzut oka.
lim x->0 (((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
WM
Ja też nie zamawiałem przybliżenia, ale podziwiam jego skuteczność :).
Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
Granicę można policzyć również bez różniczkowania, co nie jest takie
widoczne na pierwszy rzut oka.
lim x->0 (((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
WM
J.F.
Jul 25, 2020, 6:32:25 AM7/25/20
to
Dnia Sat, 25 Jul 2020 11:42:51 +0200, WM napisał(a):
> W dniu 2020-07-25 o 11:07, J.F. pisze:
>> Dnia Thu, 23 Jul 2020 06:36:22 -0700 (PDT), bartekltg napisał(a):
>>> On Thursday, July 23, 2020 at 1:17:21 PM UTC+2, J.F. wrote:
>>>>>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
>>>>
>>>> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
>>>
>>> Nie, nie jest. WM określił dziedzinę na [0,pi] w pierwszym poście,
>>> funkcja o niesy,mtrycnzej dziedzinie nie jest symetryczna ;-)
>>
>> No, skoro zamawiajacemu pasuje, to faktycznie niepotrzebnie sie
>> czepiam :-)
>>
> Jagiełło nie zamawiał mieczy pod Grunwaldem, ale chętnie je przyjął ;).
> Ja też nie zamawiałem przybliżenia, ale podziwiam jego skuteczność :).
>
> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
Do nieskonczonosci ? nie wyglada na falujaca.
> W dniu 2020-07-25 o 11:07, J.F. pisze:
>> Dnia Thu, 23 Jul 2020 06:36:22 -0700 (PDT), bartekltg napisał(a):
>>> On Thursday, July 23, 2020 at 1:17:21 PM UTC+2, J.F. wrote:
>>>>>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
>>>>
>>>> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
>>>
>>> Nie, nie jest. WM określił dziedzinę na [0,pi] w pierwszym poście,
>>> funkcja o niesy,mtrycnzej dziedzinie nie jest symetryczna ;-)
>>
>> No, skoro zamawiajacemu pasuje, to faktycznie niepotrzebnie sie
>> czepiam :-)
>>
> Jagiełło nie zamawiał mieczy pod Grunwaldem, ale chętnie je przyjął ;).
> Ja też nie zamawiałem przybliżenia, ale podziwiam jego skuteczność :).
>
> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
Poza tym zawiera pierwsiastek ... to czemu nie sinusa obliczyc.
No i sinus ma znane rozwiniecie w szereg, dosc szybko zbiezny, wiec
jesli nie przeraza Cie kilka wyrazow, to wielomian jest prosty ...
J.
WM
Jul 25, 2020, 7:51:37 AM7/25/20
to
W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
>>
>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
y=1,4 dla x=0
y=sqrt(2) dla x=∞
Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
>
> Do nieskonczonosci ? nie wyglada na falujaca.
Jest rosnąca monotonnie.
> Poza tym zawiera pierwsiastek ... to czemu nie sinusa obliczyc.
>
Lepiej wykorzystać wzór na różnicę kwadratów, ale wspak :).
WM
>>
>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
y=1,4 dla x=0
y=sqrt(2) dla x=∞
Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
>
> Do nieskonczonosci ? nie wyglada na falujaca.
> Poza tym zawiera pierwsiastek ... to czemu nie sinusa obliczyc.
>
WM
bartekltg
Jul 25, 2020, 9:45:57 AM7/25/20
to
On Saturday, July 25, 2020 at 11:42:53 AM UTC+2, WM wrote:
> W dniu 2020-07-25 o 11:07, J.F. pisze:
> > Dnia Thu, 23 Jul 2020 06:36:22 -0700 (PDT), bartekltg napisał(a):
> >> On Thursday, July 23, 2020 at 1:17:21 PM UTC+2, J.F. wrote:
> >>> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> >>> W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
> >>> (...)
> >>>>> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> >>>>> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
> >>>
> >>>> Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
> >>>> Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
> >>>
> >>>>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
> >>>
> >>> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
> >>
> >> Nie, nie jest. WM określił dziedzinę na [0,pi] w pierwszym poście,
> >> funkcja o niesy,mtrycnzej dziedzinie nie jest symetryczna ;-)
> >
> > No, skoro zamawiajacemu pasuje, to faktycznie niepotrzebnie sie
> > czepiam :-)
> >
>
> Jagiełło nie zamawiał mieczy pod Grunwaldem, ale chętnie je przyjął ;).
> Ja też nie zamawiałem przybliżenia, ale podziwiam jego skuteczność :).
>
> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
Nie walnąłeś się przy wpisywaniu?
> W dniu 2020-07-25 o 11:07, J.F. pisze:
> > Dnia Thu, 23 Jul 2020 06:36:22 -0700 (PDT), bartekltg napisał(a):
> >> On Thursday, July 23, 2020 at 1:17:21 PM UTC+2, J.F. wrote:
> >>> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> >>> W dniu 2020-07-23 o 02:13, bartekltg pisze:
> >>> (...)
> >>>>> I tu rodzi się pytanie, po co używać czegoś, co przybliza kiepsko,
> >>>>> a jest tak samo kosztowne obliczeniowo?
> >>>
> >>>> Jednak chodziło mi o porównanie z funkcją trygonometryczną.
> >>>> Ewentualnie kombinacja funkcji trygonometrycznych wchodzi w grę.
> >>>
> >>>>> Głupi wielomian 1 - x/Pi + 0.034671 x (x - Pi)^2
> >>>
> >>> Bartku - sin(x)/x jest symetryczna, a ten wielomian niesymetryczny.
> >>
> >> Nie, nie jest. WM określił dziedzinę na [0,pi] w pierwszym poście,
> >> funkcja o niesy,mtrycnzej dziedzinie nie jest symetryczna ;-)
> >
> > No, skoro zamawiajacemu pasuje, to faktycznie niepotrzebnie sie
> > czepiam :-)
> >
>
> Jagiełło nie zamawiał mieczy pod Grunwaldem, ale chętnie je przyjął ;).
> Ja też nie zamawiałem przybliżenia, ale podziwiam jego skuteczność :).
>
> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
Ta funkcja zaczna od 1.4 i rośnie do sqrt(2).
https://www.fotosik.pl/zdjecie/709b1fb50382274c
pzdr
bartekltg
bartekltg
Jul 25, 2020, 9:56:49 AM7/25/20
to
On Saturday, July 25, 2020 at 1:51:37 PM UTC+2, WM wrote:
> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
>
> >>
> >> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> >> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
>
> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
> y=1,4 dla x=0
> y=sqrt(2) dla x=∞
>
> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
Zaraz, jeszcze raz, jaką funkcje próbujesz aproksymować?
> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
>
> >>
> >> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> >> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
>
> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
> y=1,4 dla x=0
> y=sqrt(2) dla x=∞
>
> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
Bo jednak wyraźnie nie Sin[x]/x.
> Lepiej wykorzystać wzór na różnicę kwadratów, ale wspak :).
są matody, np iteracyjne.
x_(k+1) = 0.5x(3-a x^2)
jest iteracją newtona dla równania a - 1/x^2
i zbiega do 1/sqrt(a)
Jeśli mamy x_n o odpowiendniej precyzji,
to a*x_n jest naszym pierwiastkiem.
Liczymy trak dookoła, by ominąć dzielenie.
Ale komputer raczej używa postaci liczby -> x*2^k,
gdzie x jest w [0.5,1) i pierwiastek
jest zadany wielomianem, a 2^k pierwiastkuje
się łatwo.
pzdr
bartekltg
WM
Jul 25, 2020, 11:55:52 AM7/25/20
to
W dniu 2020-07-25 o 15:45, bartekltg pisze:
No tak, nie zdefiniowałem o jaki dokładnie błąd mi chodziło, to mój błąd ;)
Funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale ma wartość maksymalną: fmax i
minimalną: fmin.
eps = (fmax - fmin)/fmin
To błąd funkcji niejako samej w sobie :)
WM
p.s.
Moja mysz często po naciśnięciu przycisku, generuje więcej niż jedno
kliknięcie.
To niestety powoduje błędy.
Będę w tym roku zmieniał mysz po raz trzeci.
Funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale ma wartość maksymalną: fmax i
minimalną: fmin.
eps = (fmax - fmin)/fmin
To błąd funkcji niejako samej w sobie :)
WM
p.s.
Moja mysz często po naciśnięciu przycisku, generuje więcej niż jedno
kliknięcie.
To niestety powoduje błędy.
Będę w tym roku zmieniał mysz po raz trzeci.
J.F.
Jul 25, 2020, 12:33:23 PM7/25/20
to
czy zastanawia Cie dlaczego
((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5
jest prawie rowne x*sqrt(2) ?
(3+x)^2 + (4+x)^2 = 9+6x+x^2+16+8x+x^2= 25+14x+2x^2 =
2*(x^2+7x+49) - 24
tak sobie pasuje to do 2*(x+5)^2
> p.s.
> Moja mysz często po naciśnięciu przycisku, generuje więcej niż jedno
> kliknięcie.
> To niestety powoduje błędy.
> Będę w tym roku zmieniał mysz po raz trzeci.
moze siac ...
J.
WM
Jul 25, 2020, 12:42:47 PM7/25/20
to
W dniu 2020-07-25 o 15:56, bartekltg pisze:
Post wyjściowy dotyczy granic funkcji, aproksymacja jest dodatkiem.
Kolega JF niepotrzebnie wyciął mój tekst o granicy funkcji w zerze.
W dalszej części podaję sposób na tą granicę bez różniczkowania.
>
>
>> Lepiej wykorzystać wzór na różnicę kwadratów, ale wspak :).
>
> Przed pierwiastkiem to nie uratuje. Ale na niego też
> są matody, np iteracyjne.
>
> x_(k+1) = 0.5x(3-a x^2)
> jest iteracją newtona dla równania a - 1/x^2
> i zbiega do 1/sqrt(a)
>
> Jeśli mamy x_n o odpowiendniej precyzji,
> to a*x_n jest naszym pierwiastkiem.
>
> Liczymy trak dookoła, by ominąć dzielenie.
>
> Ale komputer raczej używa postaci liczby -> x*2^k,
> gdzie x jest w [0.5,1) i pierwiastek
> jest zadany wielomianem, a 2^k pierwiastkuje
> się łatwo.
>
Mamy daną funkcję:
y=(sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) - 5)/x
Mnożymy licznik i mianownik tej funkcji przez A,
gdzie: A=sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) ) + 5 ,
y=A*(sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) - 5)/(A*x)
y= ((x+3)^2 + (x+4)^2-25)/(A*x)
y= ( 2x^2+14x) / (x *A)
y= (2x + 14) / A
y= (2x + 14) / (sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) ) + 5)
dla x=0 ; y= 14/10
WM
> On Saturday, July 25, 2020 at 1:51:37 PM UTC+2, WM wrote:
>> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
>>
>>>>
>>>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
>>>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
>>
>> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
>> y=1,4 dla x=0
>> y=sqrt(2) dla x=∞
>>
>> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
>> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
>> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
>
> Zaraz, jeszcze raz, jaką funkcje próbujesz aproksymować?
> Bo jednak wyraźnie nie Sin[x]/x.
Nie aproksymuję, tylko badam ją samą.
>> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
>>
>>>>
>>>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
>>>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
>>
>> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
>> y=1,4 dla x=0
>> y=sqrt(2) dla x=∞
>>
>> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
>> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
>> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
>
> Zaraz, jeszcze raz, jaką funkcje próbujesz aproksymować?
> Bo jednak wyraźnie nie Sin[x]/x.
Post wyjściowy dotyczy granic funkcji, aproksymacja jest dodatkiem.
Kolega JF niepotrzebnie wyciął mój tekst o granicy funkcji w zerze.
W dalszej części podaję sposób na tą granicę bez różniczkowania.
>
>
>> Lepiej wykorzystać wzór na różnicę kwadratów, ale wspak :).
>
> Przed pierwiastkiem to nie uratuje. Ale na niego też
> są matody, np iteracyjne.
>
> x_(k+1) = 0.5x(3-a x^2)
> jest iteracją newtona dla równania a - 1/x^2
> i zbiega do 1/sqrt(a)
>
> Jeśli mamy x_n o odpowiendniej precyzji,
> to a*x_n jest naszym pierwiastkiem.
>
> Liczymy trak dookoła, by ominąć dzielenie.
>
> Ale komputer raczej używa postaci liczby -> x*2^k,
> gdzie x jest w [0.5,1) i pierwiastek
> jest zadany wielomianem, a 2^k pierwiastkuje
> się łatwo.
>
y=(sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) - 5)/x
Mnożymy licznik i mianownik tej funkcji przez A,
gdzie: A=sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) ) + 5 ,
y=A*(sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) - 5)/(A*x)
y= ((x+3)^2 + (x+4)^2-25)/(A*x)
y= ( 2x^2+14x) / (x *A)
y= (2x + 14) / A
y= (2x + 14) / (sqrt( (x+3)^2 + (x+4)^2) ) + 5)
dla x=0 ; y= 14/10
WM
bartekltg
Jul 25, 2020, 12:54:57 PM7/25/20
to
On Saturday, July 25, 2020 at 6:42:47 PM UTC+2, WM wrote:
> W dniu 2020-07-25 o 15:56, bartekltg pisze:
> > On Saturday, July 25, 2020 at 1:51:37 PM UTC+2, WM wrote:
> >> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
> >>
> >>>>
> >>>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> >>>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
> >>
> >> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
> >> y=1,4 dla x=0
> >> y=sqrt(2) dla x=∞
> >>
> >> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
> >> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
> >> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
> >
> > Zaraz, jeszcze raz, jaką funkcje próbujesz aproksymować?
> > Bo jednak wyraźnie nie Sin[x]/x.
>
> Nie aproksymuję, tylko badam ją samą.
To co rozumiesz przez "ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞"
> W dniu 2020-07-25 o 15:56, bartekltg pisze:
> > On Saturday, July 25, 2020 at 1:51:37 PM UTC+2, WM wrote:
> >> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
> >>
> >>>>
> >>>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
> >>>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
> >>
> >> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
> >> y=1,4 dla x=0
> >> y=sqrt(2) dla x=∞
> >>
> >> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
> >> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
> >> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
> >
> > Zaraz, jeszcze raz, jaką funkcje próbujesz aproksymować?
> > Bo jednak wyraźnie nie Sin[x]/x.
>
> Nie aproksymuję, tylko badam ją samą.
Źe się niewiele zmienia?
funkcja do liczenia, więc marna z tego aproksymacja
(też tak zrozumiał jak ja:)) nie o liczeniu tej wartości w x=0.
pzdr
bartekltg
bartekltg
Jul 25, 2020, 12:57:29 PM7/25/20
to
On Saturday, July 25, 2020 at 5:55:52 PM UTC+2, WM wrote:
> W dniu 2020-07-25 o 15:45, bartekltg pisze:
> No tak, nie zdefiniowałem o jaki dokładnie błąd mi chodziło, to mój błąd ;)
>
> Funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale ma wartość maksymalną: fmax i
> minimalną: fmin.
>
> eps = (fmax - fmin)/fmin
>
> To błąd funkcji niejako samej w sobie :)
>
>
Hmm, coś interesującego w tej mierze? Bez jakiegoś dodatku
funkcje stałe wygrywają i psują zabawę;-
> W dniu 2020-07-25 o 15:45, bartekltg pisze:
> No tak, nie zdefiniowałem o jaki dokładnie błąd mi chodziło, to mój błąd ;)
>
> Funkcja f(x) w rozpatrywanym przedziale ma wartość maksymalną: fmax i
> minimalną: fmin.
>
> eps = (fmax - fmin)/fmin
>
> To błąd funkcji niejako samej w sobie :)
>
>
funkcje stałe wygrywają i psują zabawę;-
WM
Jul 25, 2020, 1:34:49 PM7/25/20
to
W dniu 2020-07-25 o 18:54, bartekltg pisze:
>>
>> Nie aproksymuję, tylko badam ją samą.
>
> To co rozumiesz przez "ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞"
>
> Źe się niewiele zmienia?
>
Jestem bardziej inżynierem, niż matematykiem.
Stąd moje określenie dotyczy właściwie błędu płaskości.
WM
>>
>> Nie aproksymuję, tylko badam ją samą.
>
> To co rozumiesz przez "ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞"
>
> Źe się niewiele zmienia?
>
Stąd moje określenie dotyczy właściwie błędu płaskości.
WM
WM
Jul 25, 2020, 1:43:43 PM7/25/20
to
W dniu 2020-07-25 o 18:57, bartekltg pisze:
Odpowiem trochę po inżyniersku:
http://www.softdis.pl/images/stories/metrol_pom/narz_pom/pomiar3.gif
WM
http://www.softdis.pl/images/stories/metrol_pom/narz_pom/pomiar3.gif
WM
J.F.
Aug 4, 2020, 3:06:33 AM8/4/20
to
Dnia Sat, 25 Jul 2020 18:42:45 +0200, WM napisał(a):
> W dniu 2020-07-25 o 15:56, bartekltg pisze:
>> On Saturday, July 25, 2020 at 1:51:37 PM UTC+2, WM wrote:
>>> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
>>>
>>>>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
>>>>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
>>>
>>> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
>>> y=1,4 dla x=0
>>> y=sqrt(2) dla x=∞
>>>
>>> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
>>> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
>>> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
>>
>> Zaraz, jeszcze raz, jaką funkcje próbujesz aproksymować?
>> Bo jednak wyraźnie nie Sin[x]/x.
>
> Nie aproksymuję, tylko badam ją samą.
>
> Post wyjściowy dotyczy granic funkcji, aproksymacja jest dodatkiem.
>
> Kolega JF niepotrzebnie wyciął mój tekst o granicy funkcji w zerze.
> W dalszej części podaję sposób na tą granicę bez różniczkowania.
Ale masz jakis cel w tych badaniach ?
> W dniu 2020-07-25 o 15:56, bartekltg pisze:
>> On Saturday, July 25, 2020 at 1:51:37 PM UTC+2, WM wrote:
>>> W dniu 2020-07-25 o 12:31, J.F. pisze:
>>>
>>>>> Przy okazji taka funkcja ma zadziwiająco mały błąd w zakresie 0<x<∞ :
>>>>> y=(((3+x)^2 + (4+x)^2)^(1/2)-5)/x
>>>
>>> Podam granice tej funkcji dla tych, którzy nie chcą sami policzyć:
>>> y=1,4 dla x=0
>>> y=sqrt(2) dla x=∞
>>>
>>> Ponieważ: 1,4<y<sqrt(2) dla 0<x<∞ ,
>>> to błąd względny (w zakresie 0<x<∞ ), nie przekracza wartości:
>>> eps=(sqrt(2)-1,4)/1,4=0,0072518
>>
>> Zaraz, jeszcze raz, jaką funkcje próbujesz aproksymować?
>> Bo jednak wyraźnie nie Sin[x]/x.
>
> Nie aproksymuję, tylko badam ją samą.
>
> Post wyjściowy dotyczy granic funkcji, aproksymacja jest dodatkiem.
>
> Kolega JF niepotrzebnie wyciął mój tekst o granicy funkcji w zerze.
> W dalszej części podaję sposób na tą granicę bez różniczkowania.
Bo najbardziej plaska jest funkcja stala ...
J.
Maciej Wozniak
Aug 4, 2020, 5:04:43 AM8/4/20
to
sin(x)/x.
WM
Aug 4, 2020, 7:12:29 AM8/4/20
to
W dniu 2020-08-04 o 09:05, J.F. pisze:
>(...)
> Bo najbardziej plaska jest funkcja stala ...
To prawda. W technice mamy tolerancję grubości.
Ta tolerancja mimo tej samej klasy, jest inna dla różnych grubości.
Jeden autor podręcznika proponował wprowadzenie tolerancji względnej.
Niestety to nie przeszło i mamy to samo, tylko w podziale na zakresy
grubości.
>
Sama funkcja sinx zapewne jest liczona z wielomianu.
Skutkiem tego są chyba uboczne ekstrema, takie jak to, którego nie
powinno być.
Local maximum:
max[x-sin(x)]=0 at x=-0.000025394128
Link do tej informacji tutaj:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx-sin%28x%29
Prawdopodobnie ten wynik dotyczy funkcji aproksymującej sin(x), która
jak widać nie jest dobrze dobrana.
WM
>(...)
> Ale masz jakis cel w tych badaniach ?
Poznanie granic funkcji dla nieoznaczonych wartości.
> Bo najbardziej plaska jest funkcja stala ...
Ta tolerancja mimo tej samej klasy, jest inna dla różnych grubości.
Jeden autor podręcznika proponował wprowadzenie tolerancji względnej.
Niestety to nie przeszło i mamy to samo, tylko w podziale na zakresy
grubości.
>
Sama funkcja sinx zapewne jest liczona z wielomianu.
Skutkiem tego są chyba uboczne ekstrema, takie jak to, którego nie
powinno być.
Local maximum:
max[x-sin(x)]=0 at x=-0.000025394128
Link do tej informacji tutaj:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx-sin%28x%29
Prawdopodobnie ten wynik dotyczy funkcji aproksymującej sin(x), która
jak widać nie jest dobrze dobrana.
WM
J.F.
Aug 4, 2020, 7:46:36 AM8/4/20
to
Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:5f29429c$0$17342$6578...@news.neostrada.pl...
W dniu 2020-08-04 o 09:05, J.F. pisze:
>> Ale masz jakis cel w tych badaniach ?
>Poznanie granic funkcji dla nieoznaczonych wartości.
czyli typ 0/0 ?
>Poznanie granic funkcji dla nieoznaczonych wartości.
d'Hospital sie kłania :-)
>> Bo najbardziej plaska jest funkcja stala ...
>To prawda. W technice mamy tolerancję grubości.
>Ta tolerancja mimo tej samej klasy, jest inna dla różnych grubości.
>Jeden autor podręcznika proponował wprowadzenie tolerancji względnej.
>Niestety to nie przeszło i mamy to samo, tylko w podziale na zakresy
>grubości.
pomiarowe i wykonawcze.
O ile pamietam pasowania wałek-otwor, to te zakresy sa sensowne ...
>Sama funkcja sinx zapewne jest liczona z wielomianu.
tez inne metody - np CORDIC.
Bardziej bym sie bal o odliczenie okresow pi ...
>Skutkiem tego są chyba uboczne ekstrema, takie jak to, którego nie
>powinno być.
>Local maximum:
>max[x-sin(x)]=0 at x=-0.000025394128
>https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx-sin%28x%29
>Prawdopodobnie ten wynik dotyczy funkcji aproksymującej sin(x), która
>jak widać nie jest dobrze dobrana.
Istotnie ciekawe, ale Wolfram ma jakies swoje metody,
>Prawdopodobnie ten wynik dotyczy funkcji aproksymującej sin(x), która
>jak widać nie jest dobrze dobrana.
np funkcje
y=1.0000000*x-sin(x)
y=1.0*x-sin(x)
nie maja ekstremow, ale to chyba dlatego, ze ogranicza sobie
dokladnosc do tych 7 cyfr, bo to juz ekstremum ma
y=1.00000000000000*x-sin(x)
i w ogole ma tez alternatywna postac:
y = 0.50000000000000 (2.0000000000000 x + 2.00000000000000 sin(x +
(3.1415926535898 + 0.×10^-13 i)))
A wolphram przez te swoje dopasowanie dokladnosci z gotowych funkcji
moze nie korzystac.
To ogolnie nie jest latwe zadanie znalezc ekstrema czy miejsca zerowe
w dowolnej funkcji, dobrze byloby sie posluzyc jakas sztuczna
inteligencja do analizy rownania symbolicznego.
A analiza numeryczna bedzie obarczona bledami numerycznymi.
Ale to Cie chyba nie interesuje, bo ta funkcja jest raczej w miare
dobrze dobrana, a Tobie chyba zalezy na czyms wiekszym niz tak drobne
niedokladnosci ...
P.S. Nadmiar inteligencji
https://www.youtube.com/watch?v=7LKy3lrkTRA
J.
WM
Aug 4, 2020, 9:25:24 AM8/4/20
to
W dniu 2020-08-04 o 13:46, J.F. pisze:
(...)
Szukam dwóch zbliżonych funkcji, które przechodzą przez zero dla x1.
Ich błąd bezwzględny jest więc w tym punkcie zerowy.
Błąd względny dla tych zbliżonych funkcji jest równy 1, gdy mają dla x1
te same różne od zera pierwsze pochodne.
Błąd względny może być zerowy, gdy dla x1 funkcje f1/f2=0/0 ;
f1'/f2'=0/0 ; f1''/f2''=0/a (a<>0)
Tu się trochę pogubiłem w szukaniu takich funkcji.
>
>>> Bo najbardziej plaska jest funkcja stala ...
>> To prawda. W technice mamy tolerancję grubości.
>> Ta tolerancja mimo tej samej klasy, jest inna dla różnych grubości.
>> Jeden autor podręcznika proponował wprowadzenie tolerancji względnej.
>> Niestety to nie przeszło i mamy to samo, tylko w podziale na zakresy
>> grubości.
>
> Ale to jest IMO zupelnie inne zagadnienie - od celu, przez mozliwosci
> pomiarowe i wykonawcze.
>
To prawda, ale raczej jest to upraszczane z powodu wygody w tablicowaniu
norm.
Kiedyś szukałem optimum i musiałem te tablice przerobić na wzory.
Chodziło o zmieszczenie się w deklarowanej na rysunku klasie.
Może kiedyś normy będą w formie procedur, dokładniejsze i wygodniejsze.
Wolfram stosuje AI, przynajmniej tak twierdzi, ale ze wszystkimi tego
skutkami ubocznymi.
WM
(...)
>> Poznanie granic funkcji dla nieoznaczonych wartości.
>
> czyli typ 0/0 ?
> d'Hospital sie kłania :-)
Pewnie tak, ale nie zawsze; czasem wystarczą przekształcenia.
>
> czyli typ 0/0 ?
> d'Hospital sie kłania :-)
Szukam dwóch zbliżonych funkcji, które przechodzą przez zero dla x1.
Ich błąd bezwzględny jest więc w tym punkcie zerowy.
Błąd względny dla tych zbliżonych funkcji jest równy 1, gdy mają dla x1
te same różne od zera pierwsze pochodne.
Błąd względny może być zerowy, gdy dla x1 funkcje f1/f2=0/0 ;
f1'/f2'=0/0 ; f1''/f2''=0/a (a<>0)
Tu się trochę pogubiłem w szukaniu takich funkcji.
>
>>> Bo najbardziej plaska jest funkcja stala ...
>> To prawda. W technice mamy tolerancję grubości.
>> Ta tolerancja mimo tej samej klasy, jest inna dla różnych grubości.
>> Jeden autor podręcznika proponował wprowadzenie tolerancji względnej.
>> Niestety to nie przeszło i mamy to samo, tylko w podziale na zakresy
>> grubości.
>
> Ale to jest IMO zupelnie inne zagadnienie - od celu, przez mozliwosci
> pomiarowe i wykonawcze.
>
norm.
Kiedyś szukałem optimum i musiałem te tablice przerobić na wzory.
Chodziło o zmieszczenie się w deklarowanej na rysunku klasie.
Może kiedyś normy będą w formie procedur, dokładniejsze i wygodniejsze.
Wolfram stosuje AI, przynajmniej tak twierdzi, ale ze wszystkimi tego
skutkami ubocznymi.
WM
J.F.
Aug 4, 2020, 1:56:07 PM8/4/20
to
Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:5f2961bf$0$526$6578...@news.neostrada.pl...
W dniu 2020-08-04 o 13:46, J.F. pisze:
(...)
(...)
>Szukam dwóch zbliżonych funkcji, które przechodzą przez zero dla x1.
>Ich błąd bezwzględny jest więc w tym punkcie zerowy.
Bład w sensie roznicy wartosci tych funkcji ?
>Ich błąd bezwzględny jest więc w tym punkcie zerowy.
>Błąd względny dla tych zbliżonych funkcji jest równy 1, gdy mają dla
>x1 te same różne od zera pierwsze pochodne.
(f1(x)-f2(x))/f2(x)
?
To raczej sporo rozne pochodne musza byc, aby osiagnac wartosc 1, czy
jak kto woli 100%.
Przy rownych pochodnych w x1, wartosci obu funkcji w pewnym otoczeniu
x1 beda bardzo podobne - wiec blad wzgledny zerowy.
>Błąd względny może być zerowy, gdy dla x1 funkcje f1/f2=0/0 ;
>f1'/f2'=0/0 ; f1''/f2''=0/a (a<>0)
>Tu się trochę pogubiłem w szukaniu takich funkcji.
f1->0, f1' ->0, f1" ->0, f2->0, f2'->0, f2"->a
to oczywiscie jest nieskonczonosc takich funkcji
chocby f1(x) = x^3, f2(x)=ax^2/2
(x1=0)
J.
WM
Aug 4, 2020, 3:50:59 PM8/4/20
to
W dniu 2020-08-04 o 19:56, J.F. pisze:
>
>> Błąd względny dla tych zbliżonych funkcji jest równy 1, gdy mają dla
>> x1 te same różne od zera pierwsze pochodne.
>
> Moment, blad wzgledny liczony jako
> (f1(x)-f2(x))/f2(x)
>
> ?
>
> To raczej sporo rozne pochodne musza byc, aby osiagnac wartosc 1, czy
> jak kto woli 100%.
> Przy rownych pochodnych w x1, wartosci obu funkcji w pewnym otoczeniu x1
> beda bardzo podobne - wiec blad wzgledny zerowy.
Masz rację.
Pominąłem tą jedynkę, która nie znika bo jej nie różniczkujemy z ułamkiem.
WM
> Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:5f2961bf$0$526$6578...@news.neostrada.pl...
> W dniu 2020-08-04 o 13:46, J.F. pisze:
> (...)
>> Szukam dwóch zbliżonych funkcji, które przechodzą przez zero dla x1.
>> Ich błąd bezwzględny jest więc w tym punkcie zerowy.
>
> Bład w sensie roznicy wartosci tych funkcji ?
tak
> dyskusyjnych:5f2961bf$0$526$6578...@news.neostrada.pl...
> W dniu 2020-08-04 o 13:46, J.F. pisze:
> (...)
>> Szukam dwóch zbliżonych funkcji, które przechodzą przez zero dla x1.
>> Ich błąd bezwzględny jest więc w tym punkcie zerowy.
>
> Bład w sensie roznicy wartosci tych funkcji ?
>
>> Błąd względny dla tych zbliżonych funkcji jest równy 1, gdy mają dla
>> x1 te same różne od zera pierwsze pochodne.
>
> Moment, blad wzgledny liczony jako
> (f1(x)-f2(x))/f2(x)
>
> ?
>
> To raczej sporo rozne pochodne musza byc, aby osiagnac wartosc 1, czy
> jak kto woli 100%.
> Przy rownych pochodnych w x1, wartosci obu funkcji w pewnym otoczeniu x1
> beda bardzo podobne - wiec blad wzgledny zerowy.
Pominąłem tą jedynkę, która nie znika bo jej nie różniczkujemy z ułamkiem.
WM
al...@interia.pl
Aug 10, 2020, 5:09:24 PM8/10/20
to
W dniu piątek, 17 lipca 2020 21:26:40 UTC+2 użytkownik WM napisał:
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>
> Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
> Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
>
> Widać, że ER jest funkcją rosnącą dla zakresu: 0 < x < π.
> Na granicach przyjmuje ona wartości:
> x=0 ; ER=0
> x=π ; ER=π/2-1
> granicy?
>
>
> --
> WM
zawracanie dupy:
sinx/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - ...
zatem wystarczy to użyć biorąc np. 5 czy 10 składników,
ewentualnie poszukać funkcji z podobnym rozwinięciem i użyć jako aprox.
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
>
> Wyliczyłem błąd względny: ER=(cos(x/2)-sin(x)/x)/(sin(x)/x) .
> Da się on przekształcić do klarowniejszej postaci: ER=(x/2)/sin(x/2)-1.
>
> Widać, że ER jest funkcją rosnącą dla zakresu: 0 < x < π.
> Na granicach przyjmuje ona wartości:
> x=0 ; ER=0
> x=π ; ER=π/2-1
>
> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
> wartość błędu bezwzględnego.
> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
> funkcje są zerowe (dla x=π).
>
> Chyba swego czasu dyskutowaliśmy z kolega JF na podobny temat dziwnej
> Co ciekawe, błąd względny jest największy dla x=π, gdzie jest zerowa
> wartość błędu bezwzględnego.
> Ciekawe jest i to, że błąd względny jest niezerowy tam, gdzie obie
> funkcje są zerowe (dla x=π).
>
> granicy?
>
>
> --
> WM
zawracanie dupy:
sinx/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - ...
zatem wystarczy to użyć biorąc np. 5 czy 10 składników,
ewentualnie poszukać funkcji z podobnym rozwinięciem i użyć jako aprox.
Wlod
Oct 21, 2020, 11:34:37 PM10/21/20
to
On Monday, August 10, 2020 at 5:09:24 PM UTC-4, al...@interia.pl wrote:
> sinx/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - ...
>
> zatem wystarczy [...]
> sinx/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - ...
>
To zależy...
-- Włodek
Wlod
Nov 1, 2020, 6:14:41 PM11/1/20
to
WM przybliża funkcję sin(x)/x przez c(x) := cos(x/2) w zakresie 0<x<π.
On Friday, July 17, 2020 at 3:26:40 PM UTC-4, WM wrote:
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
Naprawdę, WM przedłuża daną funkcję do funkcji ciągłej f(x), zdefiniowanej w przedziale domkniętym
0 \< x \< π (czyli x \in [0;π])
Ten wątek jest trochę "otwarty", bo nie podana jest ściśle ocena wartości przybliżenia. W porządku, bo mamy grupę wielbicieli matematyki, a nie projekt naukowy lub inżynieryjny lub podobny. To, co się liczy to prostota (elegancja) oraz podanie ewentualnych uściśleń różnych sposobów przybliżeń, zastposowania do danego przybliżenia lub też podanie "lepszych" przybliżeń w uściślonym sensie lub kilku.
Przybliżenie c(x), podane prezz WM, ma m.in. następujące plusy:
(1) Przybliżenie c(x):=cos(x/2) jest na oko (bez ścisłych argumentów) funkcją prostszą od wyjściowej funkcji sin(x)/x czyli raczej funkcji f(x).
(2) Przybliżenie cos(x/2) pokrywa się z f(x) na końcach przedziału.
(3) Pochodna w 0 dla obu funkcji c oraz f jest ta sama, mianowicie 0.
"Słabą" stroną jest różnica pochodnych w π. Przybliżanie f(x) skończonym szeregiem Taylora wydaje się w tym względzie raczej bezużyteczne. A funkcje wielomianowe z podejrzanymi parametrami, będącymi wielocyfrowymi ułamkami dziesiętnymi nie wróża za dobrze oraz są mało eleganckie.
Sformułujmy kłopot z pochodną w π explicite:
(*) f'(π) = -1/π oraz (d/dx)(cos(x/2))_{x=π) = -1/2
Popatrzmy zatem na następującą funkcję
g(x) := 1 - 2*(x/π)^2 + (x/π)^3
Wtedy:
(1') funkcja g(x) jest sensownie prosta (tak, c(x) odczuwam jako wciąż prostszą);
(2') c(0) = g(0) = 1 oraz c(π) = g(π) = 1;
(3') c'(0) = g'(0) = 0 oraz. c'(π) = g(π) = -1/π
Pokonałem kłopot (*) i w tym sensie funkcja g(x) jest "lepsza" od c(x).
To absolutnie nie jest zamknięciem tematu. Można "lepsza" definiować na inne sposoby lub nawet w zakresie pronblemu z (*) też można próbować inne odpowiedzi. Na przykład, w stylu WM. można poszukiwac wielomianu trygonometrycznego, nieco bardziej złożonego od c(x) (byle "nieco" było naprawdę 'nieco"). Czy będzie prostszy od g(x)? Chyba nie, ale może być porównywalnie prosty.
-- Włodek
On Friday, July 17, 2020 at 3:26:40 PM UTC-4, WM wrote:
> Sprawdziłem w tej roli funkcję: cos(x/2) w zakresie: 0 < x < π.
> Można zobaczyć je razem na tym wykresie:
> https://images92.fotosik.pl/397/890ca07aaae7963f.jpg
0 \< x \< π (czyli x \in [0;π])
Ten wątek jest trochę "otwarty", bo nie podana jest ściśle ocena wartości przybliżenia. W porządku, bo mamy grupę wielbicieli matematyki, a nie projekt naukowy lub inżynieryjny lub podobny. To, co się liczy to prostota (elegancja) oraz podanie ewentualnych uściśleń różnych sposobów przybliżeń, zastposowania do danego przybliżenia lub też podanie "lepszych" przybliżeń w uściślonym sensie lub kilku.
Przybliżenie c(x), podane prezz WM, ma m.in. następujące plusy:
(1) Przybliżenie c(x):=cos(x/2) jest na oko (bez ścisłych argumentów) funkcją prostszą od wyjściowej funkcji sin(x)/x czyli raczej funkcji f(x).
(2) Przybliżenie cos(x/2) pokrywa się z f(x) na końcach przedziału.
(3) Pochodna w 0 dla obu funkcji c oraz f jest ta sama, mianowicie 0.
"Słabą" stroną jest różnica pochodnych w π. Przybliżanie f(x) skończonym szeregiem Taylora wydaje się w tym względzie raczej bezużyteczne. A funkcje wielomianowe z podejrzanymi parametrami, będącymi wielocyfrowymi ułamkami dziesiętnymi nie wróża za dobrze oraz są mało eleganckie.
Sformułujmy kłopot z pochodną w π explicite:
(*) f'(π) = -1/π oraz (d/dx)(cos(x/2))_{x=π) = -1/2
Popatrzmy zatem na następującą funkcję
g(x) := 1 - 2*(x/π)^2 + (x/π)^3
Wtedy:
(1') funkcja g(x) jest sensownie prosta (tak, c(x) odczuwam jako wciąż prostszą);
(2') c(0) = g(0) = 1 oraz c(π) = g(π) = 1;
(3') c'(0) = g'(0) = 0 oraz. c'(π) = g(π) = -1/π
Pokonałem kłopot (*) i w tym sensie funkcja g(x) jest "lepsza" od c(x).
To absolutnie nie jest zamknięciem tematu. Można "lepsza" definiować na inne sposoby lub nawet w zakresie pronblemu z (*) też można próbować inne odpowiedzi. Na przykład, w stylu WM. można poszukiwac wielomianu trygonometrycznego, nieco bardziej złożonego od c(x) (byle "nieco" było naprawdę 'nieco"). Czy będzie prostszy od g(x)? Chyba nie, ale może być porównywalnie prosty.
-- Włodek
0 new messages