Liczby 4-barokowe o tylko 4 różnych podzielnikach pierwszych
Wlodzimierz Holsztynski
http://knol.google.com/k/wlodzimierz-holsztynski/4-baroque-numbers-with-utmost-4/1jxfhq4x4sw0j/83
czyli tu: http://tinyurl.com/9qy7y4
że:
TWIERDZENIE Istnieje dokładnie jedna liczba
=========== 4-barokowa, mająca nie więcej
niż cztery podzielniki pierwsze, mianowicie
2^5 * 3^3 * 5 * 7
***
Nie wiem, czy to oryginalny wynik, bardzo
wątpię, a nawet jest to o tyle mało istotne,
że jest to wynik łatwy. Wszystko jedno byłbym
wdzięczny za wszelkie odnośniki do literatury
(w druku lub w Internecie).
Gdybym miał na to warunki, to swoje podejście
zaprogramowałbym, i komputer posunąłby sprawę
znacznie do przodu. Byłoby ciekawie podwójnie,
bo matematycznie i komputerowo.
***
Przypominam, że liczba x jest 4-barokowa,
gdy:
Sum ( 1/d : d | x ) = 4*x
Więcej możecie przeczytac w moich knolach
lub nawet w archiwach pod psem.
Pozdrawiam noworocznie,
Włodek
--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/
Wlodzimierz Holsztynski
> Pokazałem tutaj:
>
> http://knol.google.com/k/wlodzimierz-holsztynski/4-baroque-numbers-with-utmost-
> 4/1jxfhq4x4sw0j/83
>
> czyli tu: http://tinyurl.com/9qy7y4
>
> że:
>
> TWIERDZENIE Istnieje dokładnie jedna liczba
> =========== 4-barokowa, mająca nie więcej
> niż cztery podzielniki pierwsze, mianowicie
>
> 2^5 * 3^3 * 5 * 7
>
> ***
>
> Nie wiem, czy to oryginalny wynik, bardzo
> wątpię, a nawet jest to o tyle mało istotne,
> że jest to wynik łatwy. Wszystko jedno byłbym
> wdzięczny za wszelkie odnośniki do literatury
> (w druku lub w Internecie).
Nieprzytomnie to napisałem. Powyższy wynik
jest częścią wyniku Carmichaela, opublikowanego
w 1907 roku. W swojej publikacji Carmichel
podał listę wszystkich liczb barokowych, mających
dokładnie 4 różne dzielniki pierwsze.
(Informację o pracach Carmichela i innych
otrzymałem od profesora Wladysława Narkiewicza).
Przepraszam za zamieszanie,
Marcin
Użytkownik "Wlodzimierz Holsztynski" <gur...@NOSPAM.gazeta.pl> napisał w
wiadomości news:gjkt8g$ddr$1...@inews.gazeta.pl...
> Wlodzimierz Holsztynski <gur...@WYTNIJ.gazeta.pl> napisał:
>
>> Pokazałem tutaj:
>>
>> http://knol.google.com/k/wlodzimierz-holsztynski/4-baroque-numbers-with-utmost-
>> 4/1jxfhq4x4sw0j/83
>>
>> czyli tu: http://tinyurl.com/9qy7y4
>>
>> że:
>>
>> TWIERDZENIE Istnieje dokładnie jedna liczba
>> =========== 4-barokowa, mająca nie więcej
>> niż cztery podzielniki pierwsze, mianowicie
>>
>> 2^5 * 3^3 * 5 * 7
>>
>> ***
>>
>> Nie wiem, czy to oryginalny wynik, bardzo
>> wątpię, a nawet jest to o tyle mało istotne,
>> że jest to wynik łatwy. Wszystko jedno byłbym
>> wdzięczny za wszelkie odnośniki do literatury
>> (w druku lub w Internecie).
>
> Nieprzytomnie to napisałem. Powyższy wynik
> jest częścią wyniku Carmichaela, opublikowanego
> w 1907 roku. W swojej publikacji Carmichel
> podał listę wszystkich liczb barokowych, mających
> dokładnie 4 różne dzielniki pierwsze.
> (Informację o pracach Carmichela i innych
> otrzymałem od profesora Wladysława Narkiewicza).
Propozycje do oryginalnych wynikow:
- udowodnic, ze jest skonczenie wiele liczb k-doskonalych
- udowodnic, ze nie istnieje lub istnieje liczba k-doskonala dla k > 10
- udowodnic, ze nie istnieje nieparzysta liczba k-doskonala
- znalezc liczby k-doskonale, dotad nieznane, aktualnie znanych jest kilka
tysiecy,
- udowodnic, ze jesli istnieje liczba nieparzysta k-doskonala, to musi miec
wiecej niz
23 rozne dzielniki pierwsze dla k = 4 (aktualny wynik 23), 12 dla k = 3
(aktualny wynik 12),
56 dla k = 5(aktualny wynik 56), itd.
- dla liczb nieparzystych 3-doskonalych, poprawic wynik, ze jesli istnieje,
to n > 10^70
- dla liczb nieparzystych 3-doskonalych, poprawic wynik, ze jesli istnieje
takowa, to najwiekszy dzielnik pierwszy
wynosi co najmniej 100129, a drugi w kolejnosci 1009.
itd.
PS. Czy udalo Ci sie tym symulowanym wyzarzaniem znalezc jakies nieznane
dotad liczby k-doskonale?
Pozdrawiam
Marcin
Wlodzimierz Holsztynski
dzięki:
> - udowodnic, ze jest skonczenie wiele liczb k-doskonalych
Nazwa "liczba k-doskonała" jest myląca(!), bo tradycjnie
taki syntaks oznacza, że liczba k-doskonała jest doskonała,
a to jest fałszywe dla wszystkich k =/= 2. Chodzi więc
o liczby barokowe. Wydaje mi się, że jest ich nieskończenie
wiele. Natomiast prawdobodobna, znana hipoteza mówi, że dla
każdego ustalonego k faktycznie jest ich chyba skończenie
wiele. Nie wiem, kto pierwszy zadawał takie pytania, ale
są one tak naturalne, że w moim odczuciu należą do public
domain. Jeżeli Fermat lub Karezjusz takich pytań explicite
nie zadali, to tylko dlatego, że rozumiały się same przez się.
> - udowodnic, ze nie istnieje lub
> istnieje liczba k-doskonala dla k > 10
Jetem przekonany że istnieje cała chmara
Liczb k-barokowych dla k > 10.
> - udowodnic, ze nie istnieje nieparzysta liczba k-doskonala
Jest spora szansa, że nieistnieje nieparzysta liczba
barokowa (lub że jest ich tylko kilka). Jeżeli to
prawda, to problem byłby wciąż ciEższy niż kwestia
nieparzystej liczby doskonałej, która jest bodajże najstarszym,
nierozwiązanym problemem, a nawet w ogóle jednym z najstarszych
poważnych (trudnych) problemów matematycznych.
> - znalezc liczby k-doskonale, dotad nieznane,
> aktualnie znanych jest kilka tysiecy,
To kwestia zakasania rękawów.
> - udowodnic, ze jesli istnieje liczba nieparzysta k-doskonala,
> to musi miec wiecej niz 23 rozne dzielniki pierwsze dla k = 4
> (aktualny wynik 23), 12 dla k = 3 (aktualny wynik 12),
(12 - 12? coś to niejasne).
To jest ciekawe, konkretne pytanie, wyśrubowane przez specjalistów:
Dla nieparzystych liczb doskonałych (t.zn. dla k=2)
G.L.Cohen (1980) pokazał, że potrzena co najmniej 9 różnych
dzielników pierwszych, a T.Goto i Y.Ohno (2006) pokazali,
że co najmniej jedna z tych liczb pierwszych musi być większa
od 10^8 (łatwo pokazać, że nie może być równa 10^8).
Informacje te i więcej podał w Delcie W.Narkiewicz (ale nie
uwagę w poprzednim nawiasie :-). Dowód dawnego twierdzenia
Peirce'a (1832) możecie przeczytać w archiwach pod psem lub
wygodniej w moim knolu.
Pewne "grube" oszacowanie lekko dostaje się szacując wielkość
współczynnika barokowego. Gdy czynników pierwszych jest tylko
pięć w liczbie barokowej x, i są nieparzyste, to
brq(x) < (3/2)*(5/4)*(7/6)*(11/10)*(13/12) =
(77/32)*(13/12) = 1001 / 384
Jesteśmy wciąż poniżej współczynnika 3. Można taki iloczyn
szacować metodamimteoretycznymi, ale pobawmy się w rachunki.
Jedziemy dalej (od czasu Eulera wiadomo, że możemy zajechać
do oo, ale pow oo oo li). Dla 7 dzielników pierwszych mamy:
brq(x) < (1001/384)*(17/16)*(19/18) \in (2.9235; 2.9236)
Czyli sama wielkość współczynnika ustawionego na k=3 pokazuje,
że nieparzysta liczba 3-barokowa musi dzielić się przynajmniej
przez 8 różnych dzielników pierwszych. Więcej ta metoda dla
k=3 nie da, bo przy 8 czynnikach pierwszych:
brq(x) < (1001/384)*(17/16)*(19/18)*(23/22)
= (91/384)*(17/16)*(19/18)*(23/2)
= 676039 / 221184 \in (3.05; 3.06)
Oszacowanie przekroczyło 3, i nic nie daje dla k=3.
Spróbujmy dziesięć czynników:
brq(x) < (1001/384)*(17/16)*(19/18)*(23/22)*(29/28)*(31/30)
= (13/384)*(17/16)*(19/18)*(23/2)*(29/4)*(31/30)
= 86822723 / 26542080 \in (3.2711348; 3.271135)
Czyli do 4 wciąż nie jest zbyt blisko. Itd.
> 56 dla k = 5(aktualny wynik 56), itd.
> - dla liczb nieparzystych 3-doskonalych, poprawic wynik,
> ze jesli istnieje, to n > 10^70
> - dla liczb nieparzystych 3-doskonalych, poprawic wynik,
> ze jesli istnieje takowa, to najwiekszy dzielnik pierwszy
> wynosi co najmniej 100129, a drugi w kolejnosci 1009.
> itd.
A może byś opublikował knola o otwartych pytaniach,
dotyczących liczb barokowych. Możesz po angielsku,
możesz po polsku, a nawet w obu językach, jeżeli masz
energię.
> PS. Czy udalo Ci sie tym symulowanym wyzarzaniem
> znalezc jakies nieznane dotad liczby k-doskonale?
Napisałem tylko pierwszy program. Wbrew Aroganckiemu
Lipniakowi, pokazałem, że motoda działa--uzyskałem
liczby barokowe, które uzyskiwano w latach 1990-ych
i wcześniej. Chyba dwa lata temu. Po czym zaprzestalem
pisania następnego programu (trochę go zacząłem).
Mój pierwszy program był ograniczony swoim podejściem
(i przede wssystkim 32-bitowym oprogramowaniem). Bowiem
(to była pierwsza próba, miała być i była szybko napisana)
ograniczyłem się do potęg liczb pierwszych, które nie
przekraczały 2^31. Już wtedy wiedziałem jak tego
ograniczenia uniknąć, oraz miałem dodatkowe elementy,
ulepszające algorytm. Zresztą nawet mój pierwszy program
znajdował baroki szybko. Może jeszcze powrócę do tego.
Obecne knole o barokach napisałem po części, by się
zdopingować do powrotu. Wiem (ściślej mówiąc - wierzę),
że znalazłbym nowych baroków na pęczki. Nie wiem, czy
dam radę wrócić do programowania.
Pozdrawiam,
Marcin
> Marcin <vvt...@jadamspam.pl> podaje szereg znanych, ciekawych pytań,
> dzięki:
>
>> - udowodnic, ze jest skonczenie wiele liczb k-doskonalych
>
> Nazwa "liczba k-doskonała" jest myląca(!), bo tradycjnie
> taki syntaks oznacza, że liczba k-doskonała jest doskonała,
> a to jest fałszywe dla wszystkich k =/= 2.
W literaturze do teorii liczb uzywa sie pojecia k-perfect numbers,
jest to zwyczajowo przyjeta nazwa. Nie chce tutaj podnosic kwestii
czy inna nazwa bylaby lepsza czy nie.
> - udowodnic, ze nie istnieje lub
> istnieje liczba k-doskonala dla k > 10
Tu chce sie poprawic, poniewaz znaleziono jedna liczbe 11-doskonala,
a wiec dla k > 11.
>> - udowodnic, ze jesli istnieje liczba nieparzysta k-doskonala,
>> to musi miec wiecej niz 23 rozne dzielniki pierwsze dla k = 4
>> (aktualny wynik 23), 12 dla k = 3 (aktualny wynik 12),
>
> (12 - 12? coś to niejasne).
Chodzi mi o dokladnie to co napisales nizej:
> Czyli sama wielkość współczynnika ustawionego na k=3 pokazuje,
> że nieparzysta liczba 3-barokowa musi dzielić się przynajmniej
> przez 8 różnych dzielników pierwszych. Więcej ta metoda dla
> k=3 nie da,
Dla k = 3 aktualny wynik jest: nieparzysta liczba 3-doskonala musi
dzielic sie przynajmniej przez 12 roznych dzielnikow pierwszych.
Dla k = 4 aktualny wynik jest: nieparzysta liczba 4-doskonala musi
dzielic sie przynajmniej przez 23 roznych dzielnikow pierwszych.
itd.
Mialem na mysli poprawienie tych wynikow.
Moze ty napisz to info o nierozwiazanych problemach,
bo siedzisz w tym.
Pozdrawiam
Marcin
Gik
>> - udowodnic, ze nie istnieje lub
>> istnieje liczba k-doskonala dla k > 10
>
> Tu chce sie poprawic, poniewaz znaleziono jedna liczbe 11-doskonala,
> a wiec dla k > 11.
11 powiadasz ?. To znaczy korzystasz z danych Achima. Zebrał on dane do
2005 roku. Jesteś pewien, ze nic nowego nie było potem?.
Głównym autorem dużych liczb k-multiperfect jest Woltman, specjalista od
od dużych liczb pierwszych i faktoryzacji. I właśnie to ostatnie jest
kluczem do znajdowania nowych liczb.
--
Gik
Mirek
Gik wrote:
> 11 powiadasz ?. To znaczy korzystasz z danych Achima. Zebrał on dane do
> 2005 roku. Jesteś pewien, ze nic nowego nie było potem?.
Po 2005 były "tylko" 82 MPN-y, ale nic wielkiego,
tzn. 2, 9 oraz 10 :)
"tylko", bo aż 17 pojedyńczych lat przekracza ten rezultat,
a rekordowe lata to: 2000 (675 liczb) oraz 1997 (643).
W dodatku Achmim napisał, że nie ma czego szukać poniżej
exp(350) ~= 10^152:
In March 2008 Achim Flammenkamp finally constructed all MPNs
< e^350 by an exhaustive tree-search, i.e. proved that there
are no further but the 730 known MPNs. Here(*) is a small
paper presenting the theoretical and practical background to
this computation.
(*) http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/sigma.dvi
> Głównym autorem dużych liczb k-multiperfect jest Woltman,
Oto czołówka autorów (wg. Achima):
2166 Woltman
1277 Helenius
1040 Moxham
481 Flammenkamp
145 Poulet
135 Garcia
135 Franqui
128 Gretton
Podsumowanie wyników z tego wieku wg danych, które podaje Achim
(stan na 01.01.2009)
Liczba Rok Autor(rzy)
wyników
1 2001 Cameron&Woltman&Kurowski&et.al.
83 2001 Flammenkamp&Woltman
11 2001 Moxham
4 2001 Sorli&Woltman
397 2001 Woltman
43 2002 Woltman
1 2003 Shafer&Woltman&Kurowski&et.al.
9 2003 Woltman
1 2004 Findley&Woltman&Kurowski&et.al.
96 2004 Woltman
1 2005 Cooper&Boone&Woltman&Kurowski&et.al.
1 2005 Nowak&Woltman&Kurowski&et.al.
40 2005 Woltman
1 2006 Cooper&Boone&Woltman&Kurowski&et.al.
32 2006 Woltman
23 2007 Woltman
1 2008 Elvenich&Woltman&Kurowski&et.al.
1 2008 Smith&Woltman&Kurowski&et.al.
24 2008 Woltman
Liczba Rok n
wyników
1 2001 2
44 2001 9
450 2001 10
1 2001 11
1 2002 9
42 2002 10
1 2003 2
9 2003 10
1 2004 2
5 2004 9
91 2004 10
2 2005 2
40 2005 10
1 2006 2
8 2006 9
24 2006 10
23 2007 10
2 2008 2
24 2008 10
Gik
> W dodatku Achmim napisał, że nie ma czego szukać poniżej
> exp(350) ~= 10^152:
no właśnie, czyli > 505 bitów. Czasy
"chałupniczych" obliczeń się skończyły.
> Oto czołówka autorów (wg. Achima):
> 2166 Woltman
> 1277 Helenius
.....
Jak widzę Achim uaktualnił swoją stronę na dzień 01-01-2009.
Dodałem więc do tej statystyki średnią liczbę cyfr znajdowanych przez
poszczególnych autorów //Pominąłem 2-mpn, które są z innej bajki//
Woltman 2154, 850.40, 801.69
Helenius 1277, 308.14, 281.48
Moxham 1040, 594.91, 562.73
Flammenkamp 481, 790.17, 638.13
Flammenkamp&Woltman 344, 1020.88, 1002.49
Poulet 145, 93.25, 84.14
Garcia 135, 113.90, 105.60
Franqui 135, 113.90, 105.60
Gretton 128, 123.13, 119.07
1-kolumna - liczba liczb
2,3 - kolumna - średnia arytmetyczna/geometryczna liczby cyfr
znalezionych liczb
Przewaga Woltmana jest bardzo wyraźna nie tylko w ilości ale również w
znajdowaniu liczb bardzo dużych.
Achim samodzielnie ma na koncie ponad dwa razy mniej wyników niż we
współpracy z Woltmanen i do tego liczb 'małych'. Algorytm Achima plus
możliwości techniczne Woltmana zaowocowały liczbami 'dużymi', choć
autorem tych największych jest Woltman
--
Gik
Wlodzimierz Holsztynski
> Woltman 2154, 850.40, 801.69
> Helenius 1277, 308.14, 281.48
> Moxham 1040, 594.91, 562.73
> Flammenkamp 481, 790.17, 638.13
> Flammenkamp&Woltman 344, 1020.88, 1002.49
> Poulet 145, 93.25, 84.14
> Garcia 135, 113.90, 105.60
> Franqui 135, 113.90, 105.60
> Gretton 128, 123.13, 119.07
>
> 1-kolumna - liczba liczb
> 2,3 - kolumna - średnia arytmetyczna/geometryczna liczby cyfr
> znalezionych liczb
Gik wykazał, że na ogół średnia geometryczna jest
mniejsza od arytmetycznej.
> Przewaga Woltmana jest bardzo wyraźna nie tylko
> w ilości ale również w znajdowaniu liczb bardzo dużych.
To raczej "niedowaga" niż przewaga.
Istotniejszym jest, żeby znajdować
przykłady systematycznie, a nie od
Sasa do lasa.
Co prawda "systematycznie" może mieć w teorii
liczb różne znaczenia. Mam nadzieję, że znajdują
te liczby w jakimś sensie systematycznie. Co prawda
sam chciałem znajdować je w sposób probabilistyczny,
co miałoby automatycznie pewien minus. Mam jednak
wrażenie, że takie algorytmy znajdowałyby niemal
wszystkie liczby w danym zakresie, lub wszystkie,
czyli dosyć systematycznie, mimo losowego
podejścia. Jednak pozostalaqby kwestia dowodów,
że więcej liczb takich to a takich już nie ma.