Jaka jest interpretacja transformacji Laplace'a?

[Borneq]

Jeśli chodzi o transformację Fouriera to wszystko jasne - transformacja
między oś czasu a oś częstotliwości. A jak jest z transformacją
Laplace'a? jak ją fizycznie zinterpretować, do czego się przydaje?

[J.F.]

Dnia Tue, 15 Jul 2014 11:02:19 +0200, Borneq napisaďż˝(a):
> Je�li chodzi o transformacj� Fouriera to wszystko jasne - transformacja
> mi�dzy o� czasu a o� cz�stotliwo�ci. A jak jest z transformacj�
> Laplace'a? jak jďż˝ fizycznie zinterpretowaďż˝, do czego siďż˝ przydaje?

Przydaje sie - do analizy ukladow z przebiegami impulsowymi.

"swoboda" tych funkcji jest duza, wiec interpretacji w zasadzie nie
ma. A mimo tego sie przydaje.


A transformata Fouriera to szczegolny przypadek transformaty
Laplace'a.

J.

[piotr.paw...@gmail.com]

Transformacja Laplace'a jest wygodna do rozwiązywania pewnej klasy równań różniczkowych. Klasa równań różniczkowych o której piszę najczęściej opisuje stany układów elektrycznych np. Układ RLC zasilany prądem przemiennym sinusoidalnym.

Teraz czym jest transformata Laplace'a w porównaniu do transformaty Furiera.

Transformata Furiera "przedstawia" przebieg który podlega transformacji za pomocą maksymalnie nieskończonej sumy przebiegów sinusoidalnych o
"potrzebnych" fazach początkowych,
"potrzebnej" amplitudzie i
"potrzebnym" okresie trwania

natomiast

Transformata Laplace'a "przedstawia" przebieg który podlega transformacji za pomocą maksymalnie nieskończonej sumy przebiegów sinusoidalnych pomnożonych przez maksymalnie nieskończoną sumę przebiegów wykładniczych.

Mówiąc "maksymalnie" mam na myśli to że w niektórych przypadkach tych składników sumy może być skończona ilość np. jeden.

Aby to bardziej przybliżyć podam prosty przykład.

Układ elektryczny RLC zasilany że źródła sinusoidalnego w wyniku odpowiedzi generuje na wyjściu sinusoidę gasnącą. Taki przebieg można przedstawić jako:

w formie transformaty Furiera i będzie to nieskończona ilość zsumowanych sinusoid o "parametrach" o których pisałem wyżej (amplituda, faza, okres)

lub

w formie transformaty Laplace'a i będzie to jedna sinusoida której amplituda zmniejsza się w tempie jednej funkcji wykładniczej. W przypadku transformaty Laplace'a przedstawienie czyli opis tego przebiegu jest dużo prostszy.


Transformata Furiera jest szczególnym przypadkiem transformaty Laplace'a. Transformatę Laplace'a można stosować tylko dla przebiegów które rosną nie szybciej lub opadają nie wolniej niż funkcja wykładnicza i tutaj transformata Furiera nie ma takich ograniczeń.

[krzys...@gmail.com]

typowe zadanie

uklad opisany jest transmitancja

wyznacz odpowiedz ukladu na wymuszenie/skok jednostkowy

automatyka

[J.F.]

Dnia Sat, 26 Jul 2014 14:26:57 -0700 (PDT),
piotr.paw...@gmail.com napisaďż˝(a):
> Transformata Furiera jest szczeg�lnym przypadkiem transformaty
> Laplace'a. Transformat� Laplace'a mo�na stosowa� tylko dla
> przebieg�w kt�re rosn� nie szybciej lub opadaj� nie wolniej ni�
> funkcja wyk�adnicza i tutaj transformata Furiera nie ma takich
> ograniczeďż˝.

Ja tam pamietam ze obie lubia i skoki jednostkowe, i delty Diraca :-)

J.

[WM]

To nie sa funkcje rozniczkowalne, a transformaty chyba sa.
Moze dlatego sa problemy z wiernym rozlozeniem takich funkcji w szereg?
http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_Fouriera#mediaviewer/Plik:Synthesis_square.gif

Sa jeszcze rozniczkowalne dystrybucje, wymyslone z powodzeniem przez fizykow,
choc byly uwazane za herezje przez co bardziej dogmatycznych matematykow :)


WM

[Mirosław Kwaśniak]

WM <cie...@poczta.onet.pl> wrote:
> W dniu niedziela, 3 sierpnia 2014 09:24:26 UTC+2 u�ytkownik J.F. napisa�:

>> Dnia Sat, 26 Jul 2014 14:26:57 -0700 (PDT),
>>
>> piotr.paw...@gmail.com napisaďż˝(a):
>>
>> > Transformata Furiera jest szczeg�lnym przypadkiem transformaty
>>
>> > Laplace'a. Transformat� Laplace'a mo�na stosowa� tylko dla
>>
>> > przebieg�w kt�re rosn� nie szybciej lub opadaj� nie wolniej ni�
>>
>> > funkcja wyk�adnicza i tutaj transformata Furiera nie ma takich
>>
>> > ograniczeďż˝.
>>
>>
>>
>> Ja tam pamietam ze obie lubia i skoki jednostkowe, i delty Diraca :-)
>>
>
> To nie sa funkcje rozniczkowalne, a transformaty chyba sa.

Jako dystrybucje s� r�niczkowalne ;)

> Moze dlatego sa problemy z wiernym rozlozeniem takich funkcji w szereg?
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_Fouriera#mediaviewer/Plik:Synthesis_square.gif

Nie ma problemu, a �e szereg jest niesko�czony ... Pokaza�e� sko�czone aproksymacje zbie�ne wg L2
- dra�ni ciebie maksymalny b��d aproksymacji, to istnieje norma Czebyszewa,
albo inne podej�cia:

A Fourier series kernel based on Chebyshev polynomials
http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02248775

> Sa jeszcze rozniczkowalne dystrybucje, wymyslone z powodzeniem przez fizykow,
> choc byly uwazane za herezje przez co bardziej dogmatycznych matematykow :)

Je�eli tak by�o, to dziwne - to raczej fizyka nie lubi osobliwo�ci w rozwi�zaniach matematycznych ;)

Sobolew co� tam z fizyk� mia� wsp�nego, ale Schwartz raczej nie.