Trzynastka pitagorejska

[WM]

Nie ma trójki pitagorejskiej typu:
a²+b²=2024².

Jest natomiast trzynastka pitagorejska.
Wyznaczyłem ją własnym programem napisanym w języku Python:

12²+32²+76²+84²+320²+432²+468²+576²+688²+912²+960²+1008²=2024²

Niestety jestem w stanie wyznaczyć tylko trzynastki pitagorejskie, które spełniają dodatkowe kryteria ułatwiające obliczenia; a więc nie wszystkie.

Czy wiadomo ile jest trzynastek pitagorejskich dla liczby 2024?

Pozdrawiam

[Boguś]

W dniu 2023-12-19 o 22:08, WM pisze:

Chyba nie przemyślałeś problem

Liczba rozwiązań problemu 2-5
2 a^2 + b^2 = 2024^2 0
3 a^2 + b^2 + c^2 = 2024^2 40
4 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2024^2 4474
5 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 2024^2 364309

dla 13 to chyba miliardy rozwiązań

Tu masz niewielką liczbę rozwiązań
( 4 pierwsze elementy przy założeniu, że pozostałe 9 elementów są takie same jak u
ciebie czyli -> {320, 432, 468, 576, 688, 912, 960, 1008}

{{4,12,36,112},{4,12,68,96},{4,32,36,108},{4,48,68,84},{12,16,44,108},{12,16,60,100},{12,20,80,84},
{12,32,76,84}, (* to Twoje*)
{12,36,64,92},{12,44,52,96},{12,52,64,84},{16,28,36,108},{20,28,60,96},{20,36,48,100},{28,36,52,96},{32,36,68,84},{36,44,48,92},{36,48,68,76},{36,52,60,80},{44,48,52,84}}

--
Boguś

[J.F]

On Sun, 24 Dec 2023 00:00:06 +0100, Boguś wrote:
> W dniu 2023-12-19 o 22:08, WM pisze:
>> Nie ma trójki pitagorejskiej typu:
>> a²+b²=2024².
>>
>> Jest natomiast trzynastka pitagorejska.
>> Wyznaczyłem ją własnym programem napisanym w języku Python:
>>
>> 12²+32²+76²+84²+320²+432²+468²+576²+688²+912²+960²+1008²=2024²
>>
>> Niestety jestem w stanie wyznaczyć tylko trzynastki pitagorejskie, które spełniają dodatkowe kryteria ułatwiające obliczenia; a więc nie wszystkie.
>>
>> Czy wiadomo ile jest trzynastek pitagorejskich dla liczby 2024?
>>
> Chyba nie przemyślałeś problem
>
> Liczba rozwiązań problemu 2-5
> 2 a^2 + b^2 = 2024^2 0
> 3 a^2 + b^2 + c^2 = 2024^2 40
> 4 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2024^2 4474
> 5 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 2024^2 364309
>
> dla 13 to chyba miliardy rozwiązań

A dopuszczamy powtarzające się liczby?

2024^2-2023^2=4047

4047= 63^2+78
78=8^2+14
14=3^2+5
5=1+1+1+1+1

nie uzbierało sie 13 a tylko 9, ale IMO - cos sie dopasuje, na
podobnej zasadzie
I faktycznie mogą wyjsc miliardy ...

> Tu masz niewielką liczbę rozwiązań
> ( 4 pierwsze elementy przy założeniu, że pozostałe 9 elementów są takie same jak u
> ciebie czyli -> {320, 432, 468, 576, 688, 912, 960, 1008}
>
> {{4,12,36,112},{4,12,68,96},{4,32,36,108},{4,48,68,84},{12,16,44,108},{12,16,60,100},{12,20,80,84},
> {12,32,76,84}, (* to Twoje*)
> {12,36,64,92},{12,44,52,96},{12,52,64,84},{16,28,36,108},{20,28,60,96},{20,36,48,100},{28,36,52,96},{32,36,68,84},{36,44,48,92},{36,48,68,76},{36,52,60,80},{44,48,52,84}}

J.

[WM]

środa, 10 stycznia 2024 o 12:55:43 UTC+1 J.F napisał(a):
> On Sun, 24 Dec 2023 00:00:06 +0100, Boguś wrote:
> > W dniu 2023-12-19 o 22:08, WM pisze:
> >> Nie ma trójki pitagorejskiej typu:
> >> a²+b²=2024².
> >>
> >> Jest natomiast trzynastka pitagorejska.
> >> Wyznaczyłem ją własnym programem napisanym w języku Python:
> >>
> >> 12²+32²+76²+84²+320²+432²+468²+576²+688²+912²+960²+1008²=2024²
> >>
> >> Niestety jestem w stanie wyznaczyć tylko trzynastki pitagorejskie, które spełniają dodatkowe kryteria ułatwiające obliczenia; a więc nie wszystkie.
> >>
> >> Czy wiadomo ile jest trzynastek pitagorejskich dla liczby 2024?
> >>
> > Chyba nie przemyślałeś problem
> >
> > Liczba rozwiązań problemu 2-5
> > 2 a^2 + b^2 = 2024^2 0
> > 3 a^2 + b^2 + c^2 = 2024^2 40
> > 4 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2024^2 4474
> > 5 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 2024^2 364309
> >
> > dla 13 to chyba miliardy rozwiązań
> A dopuszczamy powtarzające się liczby?
>

Z powtarzającymi się liczbami jest pewien prosty schemat wykorzystujący dzielniki głównej liczby.
1012²+1012²+1012²+1012²=(2*1012)²=2024²

506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=(4*506)²=2024²

Można kombinować z łączeniem, uzyskując np. 13 składników.
1012²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=2024²

[J.F]

Ale chyba nie zawsze sie da.

To co - dopuszczamy powtarzanie, czy nie?
Pewnie mocno wplynie na liczbe wyników.

Ale i tak sie bardzo duzo nalezy spodziewac.

J.

[WM]

Pewnie lepiej wykluczyć powtarzalne liczby, by nie wyszło zbyt wiele możliwości.

Jednak zaskoczyła mnie przekątna graniastosłupa o podstawie kwadratowej.
Nie spodziewałem się takiej kombinacji.
1288²+ 1104²+1104²=2024²

W sumie można zatrudnić komputer do wyszukania wszystkich przypadków n-ki pitagorejskiej.
Ciekawe jakie maksymalne n jest w zasięgu rozsądnych możliwości obliczeniowych?
Może dla 10-tki pitagorejskiej będzie to możliwe?
372²+464²+576²+608²+684²+688²+756²+852²+896²=2024²
.
.
.
.
.
.
.
.

[J.F]

On Fri, 12 Jan 2024 02:54:21 -0800 (PST), WM wrote:
> piątek, 12 stycznia 2024 o 10:08:10 UTC+1 J.F napisał(a):
>> On Thu, 11 Jan 2024 13:34:29 -0800 (PST), WM wrote:
>>> środa, 10 stycznia 2024 o 12:55:43 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>> On Sun, 24 Dec 2023 00:00:06 +0100, Boguś wrote:
>>>>> W dniu 2023-12-19 o 22:08, WM pisze:
>>>>>> Nie ma trójki pitagorejskiej typu:
>>>>>> a²+b²=2024².
>>>>>>
>>>>>> Jest natomiast trzynastka pitagorejska.
>>>>>> Wyznaczyłem ją własnym programem napisanym w języku Python:
>>>>>>
>>>>>> 12²+32²+76²+84²+320²+432²+468²+576²+688²+912²+960²+1008²=2024²
>>>>>>
>>>>>> Niestety jestem w stanie wyznaczyć tylko trzynastki pitagorejskie, które spełniają dodatkowe kryteria ułatwiające obliczenia; a więc nie wszystkie.

[...]

>>>>>
>>>>> dla 13 to chyba miliardy rozwiązań
>>>> A dopuszczamy powtarzające się liczby?
>>>>
>>> Z powtarzającymi się liczbami jest pewien prosty schemat wykorzystujący dzielniki głównej liczby.
>>> 1012²+1012²+1012²+1012²=(2*1012)²=2024²
>>>
>>> 506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=(4*506)²=2024²
>>>
>>> Można kombinować z łączeniem, uzyskując np. 13 składników.
>>> 1012²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=2024²
>> Ale chyba nie zawsze sie da.
>>
>> To co - dopuszczamy powtarzanie, czy nie?
>> Pewnie mocno wplynie na liczbe wyników.
>>
>> Ale i tak sie bardzo duzo nalezy spodziewac.
>>

> Pewnie lepiej wykluczyć powtarzalne liczby, by nie wyszło zbyt wiele możliwości.

IMHO - to raczej zalezy to czego ci to potrzebne. Przestrzen 13-to
wymiarowa?

> Jednak zaskoczyła mnie przekątna graniastosłupa o podstawie kwadratowej.
> Nie spodziewałem się takiej kombinacji.
> 1288²+ 1104²+1104²=2024²
>
> W sumie można zatrudnić komputer do wyszukania wszystkich przypadków n-ki pitagorejskiej.

Można, przeciez zatrudniłeś, tylko:
-mogą wyjść miliardy rozwiązań,
-są ...zyliardy kombinacji do sprawdzenia, wszystkich chyba nie
zdążysz :-)

> Ciekawe jakie maksymalne n jest w zasięgu rozsądnych możliwości obliczeniowych?
> Może dla 10-tki pitagorejskiej będzie to możliwe?
> 372²+464²+576²+608²+684²+688²+756²+852²+896²=2024²

10 liczb, przy zakresie do ~2000, to tak rzedu 10^30 kombinacji do
sprawdzenia ..

J.

[J.F]

On Tue, 19 Dec 2023 13:08:00 -0800 (PST), WM wrote:
> Nie ma trójki pitagorejskiej typu:
> a²+b²=2024².
>
> Jest natomiast trzynastka pitagorejska.

A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²

czy to zabronione?

Powinien być chyba jakis trywialny przyklad ...


A przy wiekszej ilosci par ... trojek, czwórek ?


J.

[WM]

piątek, 12 stycznia 2024 o 21:29:43 UTC+1 J.F napisał(a):
> On Tue, 19 Dec 2023 13:08:00 -0800 (PST), WM wrote:
> > Nie ma trójki pitagorejskiej typu:
> > a²+b²=2024².
> >
> > Jest natomiast trzynastka pitagorejska.
> A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
> a²+b²=n²
> c²+d²=m²
> a²+b²+c²+d²= k²
>
> czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)
> J.

Dobrze gdy główna liczba tworzy iloczyn g*f, bo wtedy znacząco zmniejszą się obliczenia.
Wyjaśniam:
Szukamy wyniku dla liczby g.
a²+b²+c²+d²=g²
Potem mnożymy całość przez f² i mamy.
(a•f)²+(b•f)²+(c•f)²+(d•f)²=(g•f)²

Niestety takie podejście nie gwarantuje uzyskania wszystkich możliwych rozwiązań.

[J.F]

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

J.

[J.F]

Jednak trywialne.
9^2+12^2 = 15^2
12^2+16^2 = 20^2
15^2+20^2 = 25^2

Oczywiscie mamy tu 3*3, 3*4 -> 3*5, oraz
4*3 , 4*4 -> 4*5


Ale moze sa jakies inne ograniczenia ...

J.

[WM]

Czy to skuteczna metoda?
Spróbuj uzyskać w ten sposób np. takie wyniki.

9²+12²+20²=25²
12²+15²+16²=25²

>
> Oczywiscie mamy tu 3*3, 3*4 -> 3*5, oraz
> 4*3 , 4*4 -> 4*5
>
>
> Ale moze sa jakies inne ograniczenia ...

Nie bardzo wiem do czego zmierzasz, więc nie rozumiem sensu tych ograniczeń.

>
> J.

[WM]

To akurat łatwo otrzymać :)

> 9²+12²+20²=25²
> 12²+15²+16²=25²

Wkleiłem nie te co trzeba, chodziło mi o te:
2²+ 3²+ 6²+ 24² = 25²
2²+ 4²+ 11²+ 22² = 25²

[J.F]

skuteczne jak skuteczne.
Chodziło mi tylko o to, ze rownania

a²+b²=n²
c²+d²=m²

nakładają pewne ograniczenia na n i m, jesli mają być całkowite.
Już nie wszystkie liczby są dopuszczalne.

To tak na pierwszy rzut oka trudno powiedziec, czy takie dopuszczalne
m i n mogą utworzyc kolejną trójkę pitagorejską

m²+n² = k²


J.

[WM]

.

Z dowolnej trójki pitagorejskiej można zrobić czwórkę pitagorejską.

To nasza trójka pitagorejska
a^2+b^2=c^2

mnożymy każdy jej wyraz przez c^2
c^2*a^2+c^2*b^2=c^2*c ^2

w pierwszym wyrazie podstawiamy c^2=a^2+b^2
(a^2+b^2)*a^2+c^2*b^2=(c*c)^2

porządkujemy i mamy:
(a*a)^2+(a*b)^2+(c*b)^2=(c*c)^2

proste? :)

.
.
.
.
.

WM

[WM]

Dziękuję za inspirację.
Poszedłem tą drogą, wykorzystując trójkę pitagorejską 3²+4²=5².
Znalazłem 3-kę, 4-kę, 5-kę, 6-kę, 7-kę i 8-kę pitagorejską.
Można iść dalej, ale wyrazy szybko robią się trochę zbyt duże.
Wzór jest skomplikowany, więc tylko pierwszy i ostatni wyraz rozszyfruję:
729=3⁶
15625=5⁶
Ciąg wygląda tak.
729²+972²=1215²
729²+972²+1620²=2025²
729²+972²+1620²+2700²=3375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

-
-
-
WM

[J.F]

On Wed, 17 Jan 2024 14:21:55 -0800 (PST), WM wrote:
> wtorek, 16 stycznia 2024 o 15:28:56 UTC+1 J.F napisał(a):
>> On Tue, 16 Jan 2024 05:53:48 -0800 (PST), WM wrote:
>>> wtorek, 16 stycznia 2024 o 08:48:03 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>> On Tue, 16 Jan 2024 08:32:06 +0100, J.F wrote:

>> [...]

>> Chodziło mi tylko o to, ze rownania
>> a²+b²=n²
>> c²+d²=m²
>> nakładają pewne ograniczenia na n i m, jesli mają być całkowite.
>> Już nie wszystkie liczby są dopuszczalne.
>>
>> To tak na pierwszy rzut oka trudno powiedziec, czy takie dopuszczalne
>> m i n mogą utworzyc kolejną trójkę pitagorejską
>>
>> m²+n² = k²
>>

> Dziękuję za inspirację.
> Poszedłem tą drogą, wykorzystując trójkę pitagorejską 3²+4²=5².
> Znalazłem 3-kę, 4-kę, 5-kę, 6-kę, 7-kę i 8-kę pitagorejską.
> Można iść dalej, ale wyrazy szybko robią się trochę zbyt duże.
> Wzór jest skomplikowany, więc tylko pierwszy i ostatni wyraz rozszyfruję:
> 729=3⁶
> 15625=5⁶
> Ciąg wygląda tak.
> 729²+972²=1215²
> 729²+972²+1620²=2025²
> 729²+972²+1620²+2700²=3375²
> 729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
> 729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
> 729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

No, jakby ciekawe.

Nie kazda liczba moze stworzyc trojkę pitagorejską (*).
A tu jakby tworzą sie kolejne i kolejne.

Ciekawe, czy to jakas specyficzna postac, co tworzy i tworzy,
czy ten ciąg sie kiedys urwie.

Fakt, ze im wieksza liczba, tym wieksza ilość potencjalnych mozliwosci
dopasowań ... ale to chyba za mało na nieskonczony ciąg.

J.

(*) hm, a moze jednak kazda z wyjątkiem 2? Nie wiem czy jest na to
dowód, ale gdyby tak było, to twój ciąg przestaje być interesujący :-)

[WM]

To jest znacznie prostsze niż się wydaje :)

Konstrukcja przypomina ślimak Teodorosa, z tym że wszystkie trójkąty ślimaka muszą być do siebie podobne (3*nⱼ)^2+(4*nⱼ)^2=(5*nⱼ)^2. Różnią się skalą, a dokładniej mnożnikami nⱼ .
Przeciwprostokątna trójkąta o numerze j jest równa mniejszej przyprostokątnej trójkąta następnego o numerze j+1.
Tak będzie gdy mnożniki utworzą ciąg geometryczny nⱼ₊₁=(5/3)*nⱼ.
Jeżeli w ciągu będzie m trójkątów, to przeciwprostokątna ostatniego będzie równa 5*(5/3)^m.
Trzeba pozbyć się mianowników, dlatego całość pomnożymy przez 3^m.

Tu mam problem, bo ślimak może być dowolnie długi z przeciwprostokątną największego trójkąta 5*5^m, ale wtedy i pierwszy wyraz będziemy mieć duży 3*3^m.
Tu nieskończoność i tam nieskończoność, nie wiem co z tym zrobić.
*
*
*
*
*
WM

[J.F]

Konstrukcja mnie nie interesuje - jeśli jednak do każdej liczby można
dobrać dwie inne tworzące trójkę pitagorejską, to Twoj ciąg przestaje
być interesujący :-)

A na razie nie potrafie znaleźć przykładu takiej, co nie pasuje,
z wyjątkiem 2.

J.

[WM]

Nie sądzę by pokazaną tu metodą, do dowolnej liczby można było dobrać trójkę pitagorejską. Nigdy tak nie uważałem.

Jest za to wierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych i chyba o tym myślałeś?
Mam na to gotowy program w języku Python.
Dla liczby 2024 znalazł takie oto takie rozkłady:
6²+12²+20²+38²=2024

10²+18²+24²+32²=2024

10²+12²+22²+36²=2024

12²+14²+28²+30²=2024

Lagrange's four-square theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

[J.F]

On Thu, 25 Jan 2024 00:52:01 -0800 (PST), WM wrote:
> środa, 24 stycznia 2024 o 12:30:49 UTC+1 J.F napisał(a):
>> On Fri, 19 Jan 2024 14:59:11 -0800 (PST), WM wrote:
>>> piątek, 19 stycznia 2024 o 20:19:59 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>> On Wed, 17 Jan 2024 14:21:55 -0800 (PST), WM wrote:
>>>>> wtorek, 16 stycznia 2024 o 15:28:56 UTC+1 J.F napisał(a):

>>>>>> [...]

> Nie sądzę by pokazaną tu metodą, do dowolnej liczby można było dobrać trójkę pitagorejską. Nigdy tak nie uważałem.

A ja nie mówie, że tą metodą.

przyjmujemy sobie np a=143, i teraz pytanie czy da się dobrac b i c.

Program napisałem - od 3 do 500 sie da :-)
Więc podejrzewam, ze zawsze się da.

I w tym momencie twój ciąg przestaje byc interesujący :-)
do dowolnej liczby a moge dobrac b1 i c1 takie że
a^2+b1^2=c1^2
do c1 moge dobrać b2 i c2, takie ze
c1^2+b1^2=c2^2 = a^2+b1^2+b2^2

i tak dalej, chyba w nieskończoność.

To jest cos innego niz "liczba ma rozkład na dwie mniejsze liczby".
Na dwie to wiemy, że nie zawsze, na 3 chyba też nie zawsze,
na dowolną ilość to pewnie też nie zawsze, ale IMHO szansa rośnie.

Zauważ tez, ze w powyzszym ciągu/szeregu każda suma częściowa jest
kwadratem liczby naturalnej, a w przypadku rozkładu tak nie musi być.

np 6^2= 4*(3^2)

a z 18 i 27 nic nie zrobisz.

> Jest za to wierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych i chyba o tym myślałeś?
> Mam na to gotowy program w języku Python.
> Dla liczby 2024 znalazł takie oto takie rozkłady:
> 6²+12²+20²+38²=2024
>
> 10²+18²+24²+32²=2024
>
> 10²+12²+22²+36²=2024
>
> 12²+14²+28²+30²=2024

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

> Lagrange's four-square theorem
> https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

czyli na 4 kwadraty sie da.
na 16 też :-)


J.

[WM]

Są nawet liczby pierwsze:
3²+8²+12²+17²=506
Robiłem poszukiwania dla dzielnika 506 , następnie wyniki mnożyłem przez 4 i dlatego są same parzyste :)
(2*3)²+(2*8)²+(2*12)²+(2*17)²=4*506=2024
Mniej czasu trwały obliczenia :)

[J.F]

On Thu, 25 Jan 2024 07:22:09 -0800 (PST), WM wrote:
> czwartek, 25 stycznia 2024 o 13:50:53 UTC+1 J.F napisał(a):
>> On Thu, 25 Jan 2024 00:52:01 -0800 (PST), WM wrote:
>>> środa, 24 stycznia 2024 o 12:30:49 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>> On Fri, 19 Jan 2024 14:59:11 -0800 (PST), WM wrote:
>>>>> piątek, 19 stycznia 2024 o 20:19:59 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>>>> On Wed, 17 Jan 2024 14:21:55 -0800 (PST), WM wrote:
>>>>>>> wtorek, 16 stycznia 2024 o 15:28:56 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>>>>>> [...]

>>> Jest za to wierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych i chyba o tym myślałeś?
>>> Mam na to gotowy program w języku Python.
>>> Dla liczby 2024 znalazł takie oto takie rozkłady:
>>> 6²+12²+20²+38²=2024
>>>
>>> 10²+18²+24²+32²=2024
>>>
>>> 10²+12²+22²+36²=2024
>>>
>>> 12²+14²+28²+30²=2024
>> Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.
>
> Są nawet liczby pierwsze:
> 3²+8²+12²+17²=506

ale w tej 2024.

Rozkład liczby parzystej może zawierac dwie, 4 lub zero liczb
nieparzystych. A tu same zera.

[J.F]

On Thu, 25 Jan 2024 16:39:25 +0100, J.F wrote:
> On Thu, 25 Jan 2024 07:22:09 -0800 (PST), WM wrote:
>> czwartek, 25 stycznia 2024 o 13:50:53 UTC+1 J.F napisał(a):

>>>> Jest za to wierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych i chyba o tym myślałeś?
>>>> Mam na to gotowy program w języku Python.
>>>> Dla liczby 2024 znalazł takie oto takie rozkłady:
>>>> 6²+12²+20²+38²=2024
>>>>
>>>> 10²+18²+24²+32²=2024
>>>>
>>>> 10²+12²+22²+36²=2024
>>>>
>>>> 12²+14²+28²+30²=2024
>>> Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.
>>
>> Są nawet liczby pierwsze:
>> 3²+8²+12²+17²=506
>
> ale w tej 2024.

Zaraz ... 2024=4*506
co by tlumaczyło rozkłady 2024 na liczby parzyste, ale czy wyklucza na
nieparzyste?

ale idąc tym tropem to co z rozkładem
6²+16²+24²+34² = 4*506

?

Podałeś tylko kilka przykładowych?

J.

[WM]

Liczyłem najpierw dla 2024 i przerwałem obliczenia po godzinie.
Przeszukałem tylko ułamek obszaru i dostałem małą część czwórek.

>
> Podałeś tylko kilka przykładowych?

tak

> J.
*
*
WM

[J.F]

Wydaje mi się, ze to powinno szybko iść. wszak górne ograniczenie to
45, 45*45*45 = ... moze ten python powolny.

J.

[J.F]

2 18 20 36.0 2024.0
2 18 36 20.0 2024.0
2 20 36 18.0 2024.0
4 6 6 44.0 2024.0
4 6 26 36.0 2024.0
4 6 36 26.0 2024.0
4 10 12 42.0 2024.0
4 10 42 12.0 2024.0
4 12 42 10.0 2024.0
4 18 28 30.0 2024.0
4 18 30 28.0 2024.0
4 26 36 6.0 2024.0
4 28 30 18.0 2024.0
6 8 18 40.0 2024.0
6 8 30 32.0 2024.0
6 8 32 30.0 2024.0
6 8 40 18.0 2024.0
6 12 20 38.0 2024.0
6 12 38 20.0 2024.0
6 16 24 34.0 2024.0
6 16 34 24.0 2024.0
6 18 40 8.0 2024.0
6 20 38 12.0 2024.0
6 24 34 16.0 2024.0
6 26 36 4.0 2024.0
6 30 32 8.0 2024.0
8 18 40 6.0 2024.0
8 22 24 30.0 2024.0
8 22 30 24.0 2024.0
8 24 30 22.0 2024.0
8 30 32 6.0 2024.0
10 12 22 36.0 2024.0
10 12 36 22.0 2024.0
10 12 42 4.0 2024.0
10 18 24 32.0 2024.0
10 18 32 24.0 2024.0
10 22 36 12.0 2024.0
10 24 32 18.0 2024.0
12 14 28 30.0 2024.0
12 14 30 28.0 2024.0
12 18 20 34.0 2024.0
12 18 34 20.0 2024.0
12 20 34 18.0 2024.0
12 20 38 6.0 2024.0
12 22 36 10.0 2024.0
12 28 30 14.0 2024.0
14 24 24 26.0 2024.0
14 24 26 24.0 2024.0
14 28 30 12.0 2024.0
16 24 34 6.0 2024.0
18 20 20 30.0 2024.0
18 20 30 20.0 2024.0
18 20 34 12.0 2024.0
18 20 36 2.0 2024.0
18 24 32 10.0 2024.0
18 28 30 4.0 2024.0
20 20 30 18.0 2024.0
22 24 30 8.0 2024.0
24 24 26 14.0 2024.0

sekunda

def pyt4(n):
k=2024
for a in range(1, 44):
s1=k-a*a
for b in range(a, 44):
s2=s1-b*b
if s2<=0 :
break
for c in range(b, 44):
s3=s2-c*c
if s3<=0 :
break
d = math.sqrt( s3)
if d == int(d) :
print(a, b, c, d, a*a+b*b+c*c+d*d)


I wszystkie parzyste ... ciekawe.
Czy to skutek tego, ze 2024 dzieli sie przez 4, a nawet przez 8?

Chyba jakos tak, bo nieparzystych składników nie ma w 2000, 2008,
2016, a w pozostałych bywają ..

a te inne to bogate w rozwiązania, szczególnie 2002 - 351

...
o głupia sprawa - nie udało mi sie rozłożyc 2048 na 4 kwadraty.

No tak - twierdzenie dopuszcza 0.
4096 ma jedno rozwiązanie u mnie, 8192 znów nie ma ..

J.

[WM]

Użyłem podobnej metody, ale nie wpadłem na to, że pętle można ograniczyć do 44.
Gdy po prawej jest 2024^2 to tak się nie da ograniczyć.

>
> I wszystkie parzyste ... ciekawe.
> Czy to skutek tego, ze 2024 dzieli sie przez 4, a nawet przez 8?
>

Ciekawe jak wyznaczono stałą Sierpińskiego?
Zawiera ona liczbę sposobów na przedstawienie liczby k jako sumy kwadratów.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Sierpi%C5%84skiego
Tu może się kryć technika określania liczby przedstawień danej liczby w postaci sumy czterech kwadratów.
To już jednak przekracza znacznie moje amatorskie umiejętności.

> Chyba jakos tak, bo nieparzystych składników nie ma w 2000, 2008,
> 2016, a w pozostałych bywają ..
>
> a te inne to bogate w rozwiązania, szczególnie 2002 - 351
>
> ...
> o głupia sprawa - nie udało mi sie rozłożyc 2048 na 4 kwadraty.
>
> No tak - twierdzenie dopuszcza 0.
> 4096 ma jedno rozwiązanie u mnie, 8192 znów nie ma ..
>
> J.

Jest książka Sierpińskiego o trójkach pitagorejskich. Dostępne jest tylko tłumaczenie jej na angielski.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#CITEREFSierpi%C5%84ski2003
W polskiej WIKI nie ma o niej wzmianki, ale w angielskiej jest.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Proof_of_Euclid's_formula

WM

[J.F]

On Fri, 26 Jan 2024 09:14:39 -0800 (PST), WM wrote:
> piątek, 26 stycznia 2024 o 13:32:36 UTC+1 J.F napisał(a):
>> On Thu, 25 Jan 2024 18:37:14 +0100, J.F wrote:
>>> On Thu, 25 Jan 2024 09:22:25 -0800 (PST), WM wrote:
>>>> czwartek, 25 stycznia 2024 o 17:16:27 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>>> On Thu, 25 Jan 2024 16:39:25 +0100, J.F wrote:
>>>>>> On Thu, 25 Jan 2024 07:22:09 -0800 (PST), WM wrote:
>>>>>>> czwartek, 25 stycznia 2024 o 13:50:53 UTC+1 J.F napisał(a):
>>>>>
>>
>> def pyt4(n):
>> k=2024
>> for a in range(1, 44):
>> s1=k-a*a
>> for b in range(a, 44):
>> s2=s1-b*b
>> if s2<=0 :
>> break
>> for c in range(b, 44):
>> s3=s2-c*c
>> if s3<=0 :
>> break
>> d = math.sqrt( s3)
>> if d == int(d) :
>> print(a, b, c, d, a*a+b*b+c*c+d*d)
>>

Taa - google wycina pierwsze spacje, a w Pythonie tak sie nie da :-)

> Użyłem podobnej metody, ale nie wpadłem na to, że pętle można ograniczyć do 44.
> Gdy po prawej jest 2024^2 to tak się nie da ograniczyć.

Da sie, tylko trzeba ograniczyc do 2024 :-)
1000^2 daje czas w okolicach minuty.

No ale to sa 4 składniki, nie 13 ..

J.