Objetosc Stozka
Jedrzej Jablonski
matematyczny na objetosc stozka:
O= 1/3 * Pole podstawy * wysokosc
jest prawdziwy.
Z gory dziekuje
c...@neuron.bednarska.edu.pl
Piotr Beliczynski
> Nurtuje mnie od pewnego czasu, jak udowodnic, ze wzor
> matematyczny na objetosc stozka:
>
> O= 1/3 * Pole podstawy * wysokosc
>
> jest prawdziwy.
Skoro az tak Cie to nurtuje: sparametryzuj promien walca od wysokosci,
scalkuj pole powierzchni S(h)dh. Najpierw jednak upewnij sie, ze wiesz
jak chcesz zdefiniowac stozek (to proste, ale niezbedne).
PB
Siriuz
> matematyczny na objetosc stozka:
>
> O= 1/3 * Pole podstawy * wysokosc
>
> jest prawdziwy.
cialka...
tworzaca to jakas tam fun. r = ah
pole kola to s = pi*r^2
jedno w drugie i cialko od 0 do h z pi*a^2*h^2 po h
to pi*a^2*1/3*h^3 |0 h c, to V=pi*a^2*1/3*h^3
a wiemy ze a to r/h, wiec V=1/3*pi*r^2*h,
gdzie pi*r^2 to pole podst :)... i ju..
ale chyba bardzo brzydkie to yst :)
Siriuz
> >
> > jest prawdziwy.
aha... jeszcze cos... NTG...
Tomasz Dryjanski
> matematyczny na objetosc stozka:
>
> O= 1/3 * Pole podstawy * wysokosc
>
> jest prawdziwy.
Przyszedl mi do glowy jeszcze jeden dowod, ale wymaga uscislen.
Powyzsze jest prawda dla dowolnego ostroslupa o podstawie wielokata
foremnego.
W zwiazku z tym mozemy (?) przejsc do granicy z liczba wierzcholkow.
No i rzeczywiscie NTG
T. D.
Maciek
Użytkownik "Tomasz Dryjanski" <tdryj...@hotmail.com> napisał
w wiadomości news:a3vui3$12su$1...@news2.ipartners.pl...
> > Nurtuje mnie od pewnego czasu, jak udowodnic, ze wzor
> > matematyczny na objetosc stozka:
> >
> > O= 1/3 * Pole podstawy * wysokosc
> >
> > jest prawdziwy.
>
> Przyszedl mi do glowy jeszcze jeden dowod, ale wymaga uscislen.
>
> Powyzsze jest prawda dla dowolnego ostroslupa o podstawie
> wielokata foremnego.
I nie tylko foremnego!
Ostroslup jest po prostu szczegolnym przypadkiem stozka:
jest to stozek, ktory ma w podstawie wielokat.
A ostroslup prawidlowy jest szczegolnym przypadkiem
ostroslupa: wielokat w podstawie jest foremny.
Maciek
PS.
> No i rzeczywiscie NTG
NTG i NTG, a odpowiedzi przybywa.
PPS.
A poza tym, to już naprawde NTG. ;-)
Adamus
Użytkownik "Jedrzej Jablonski" <c...@neuron.bednarska.edu.pl> napisał w
wiadomości news:slrna65l6...@neuron.bednarska.edu.pl...
Wpadlem na dosc szalony pomysl, tylko nie bardzo
wiem jak go zrealizowac :
Stozek powstaje w wyniku obrotu trojkata prostokatnego
wokol jednej z przyprostokatnych.Teoretycznie moznaby
wysumowac 'objetosci trojkatow', a wlasciwie nie trojkatow,
tylko niezbyt foremnych klinow, parametryzujac je wczesniej
katem.Calka w granicach od 0 do 2*Pi powinna zalatwic sprawe.
Tylko jest maly problem...Jak znalezc objetosc plasterka ?
Sprawdzilem, ze procedura dziala dla walca:
Walec mozna pociac tak jak tort, na graniastoslupy
z trojkatem w podstawie i o wysokosci rownej wysokosci
walca.Objetosc takiego kawalka : dV= (0.5 * r * dr) * h
gdzie:
r - promien walca
dr - dlugosc podstawy trojkata ( max grubosc plasterka )
h - wysokosc walca
Poniewaz dr = da * r , gdzie da to kat rozwarcia klina,
calka z 0.5 * r*da*r*h w granicach 0, 2*Pi daje Pi*r^2*h,
czyli akurat tyle ile powinno.
No ale ze stozkiem sprawa sie komplikuje...
Adamus
Ewa Pawelec
> cialka...
Nie wiem, czy brzydkie, ale to pierwsze skojarzenie jakie i ja miałam :)
EwaP HF FH
--
Ewa Pawelec, Zakład Fizyki Plazmy UO
Power corrupts, but we all need electricity
Linux user #165317
wal...@cbr.tpsa.pl
>
> No ale ze stozkiem sprawa sie komplikuje...
>
> Adamus
>
>
A jakaz to komplikacja? Objetosc klina o kacie rozwarcia da wynosi w stozku
(H^2)*R*da/6 , gdzie R - promien podstawy, H - wysokosc. Tniemy klin na
poziome plasterki o objetosci (1/2)*r*(r*da)*dz, z - wspolrzedna wzdluz
wysokosci liczona od czubka, zamieniamy r = z*R/H i calkujemy po z od
0 do H. Dalej juz prosta droga do objetosci calego stozka.
Pozdrowienia, Waldzio.
--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl
Maciek
Użytkownik "Adamus" <wytrze...@poczta.onet.pl> napisał
w wiadomości news:3c63...@news.vogel.pl...
>
> >
> > (.....)
> >
>
> Wpadlem na dosc szalony pomysl, tylko nie bardzo
> wiem jak go zrealizowac :
To jest calkiem dobry pomysl.
> Stozek powstaje w wyniku obrotu trojkata prostokatnego
> wokol jednej z przyprostokatnych.Teoretycznie moznaby
> wysumowac 'objetosci trojkatow', a wlasciwie nie trojkatow,
> tylko niezbyt foremnych klinow, parametryzujac je wczesniej
> katem.Calka w granicach od 0 do 2*Pi powinna zalatwic sprawe.
>
> Tylko jest maly problem...Jak znalezc objetosc plasterka ?
Zauwaz, ze plasterek jest czworoscianem...
A zamiast kata przy osi stozka mozesz uzyc dlugosci odcinka
obwodu podstawy (czyli "gruposci" plasterka w jego naj-
grubszym miejscu) i calkowac po obwodzie podstawy.
Maciek
Adamus
news:5cc1.00000e...@newsgate.onet.pl...
> A jakaz to komplikacja? Objetosc klina o kacie rozwarcia da wynosi w
stozku
> (H^2)*R*da/6 , gdzie R - promien podstawy, H - wysokosc. Tniemy klin na
> poziome plasterki o objetosci (1/2)*r*(r*da)*dz, z - wspolrzedna wzdluz
> wysokosci liczona od czubka, zamieniamy r = z*R/H i calkujemy po z od
> 0 do H. Dalej juz prosta droga do objetosci calego stozka.
>
> Pozdrowienia, Waldzio.
A niech mnie kule bija ...Swieta racja.
Jaka fajna rzecz to calkowanie ;-)
To moze by teraz podzielic stozek szeregiem
rownoleglych ciec pionowa plaszczyzna ?
Tylko w tym przypadku trudno jest nawet sobie
wyobrazic ksztalt przekroju.Moim zdaniem
poczatkowo beda to fragmenty kola ( cos takiego
jak wylazace zza horyzontu slonce ), a pozniej
trojkaty z zaokraglonymi wierzcholkami.Ale nie
podejmuje sie calkowania...
Adamus
Maciek
> rownoleglych ciec pionowa plaszczyzna ?
>
> Tylko w tym przypadku trudno jest nawet sobie
> wyobrazic ksztalt przekroju.Moim zdaniem
> poczatkowo beda to fragmenty kola ( cos takiego
> jak wylazace zza horyzontu slonce ), a pozniej
> trojkaty z zaokraglonymi wierzcholkami.
To beda fragmenty hiperbol, coraz lepiej "wpasowanych"
w kat miedzy asymptotami (w przekroju centralnym, osiowym,
bedzie to trojkat).
> Ale nie podejmuje sie calkowania...
To tnij poziomo.
Bedziesz mial rodzine plasterkow kolowych, o promieniu
zmieniajacym sie liniowo od 0 do promienia podstawy
(zatem pole podstawy oraz objetosc bedzie sie zmieniac
kwadratowo).
I zadne kliny Ci do tego nie beda potrzebne.
Maciek
Adamus
news:a40qc5$355$1...@szmaragd.futuro.pl...
> To beda fragmenty hiperbol, coraz lepiej "wpasowanych"
> w kat miedzy asymptotami (w przekroju centralnym, osiowym,
> bedzie to trojkat).
Ze tez nie skojarzylem nazwy "krzywe stozkowe", buuu...
> > Ale nie podejmuje sie calkowania...
>
> To tnij poziomo.
Poziome ciecia mnie specjalnie nie bawia ;-)
Adamus
Jedrzej Jablonski
>
> tworzaca to jakas tam fun. r = ah
> pole kola to s = pi*r^2
> jedno w drugie i cialko od 0 do h z pi*a^2*h^2 po h
> to pi*a^2*1/3*h^3 |0 h c, to V=pi*a^2*1/3*h^3
> a wiemy ze a to r/h, wiec V=1/3*pi*r^2*h,
> gdzie pi*r^2 to pole podst :)... i ju..
> ale chyba bardzo brzydkie to yst :)
Wszystko by sie zgadzalo .. i wychodzi nawet ladnie,
tylko, ze calkujac a^2 po dh nie moze nam wyjsc a^2,
gdzyz a nie jest stala.
a=r/h .. a calkujac r^2/h^2 raczej nie wyjdzie
nam nic dobrego.
Jezeli chodzilo ci o cos innego to przepraszam ..
I jakbys mogl to wytlumacz mi (do mnie trzeba pisac
jak do ciemnej istoty) skad sie wzielo a^2 juz
po scalkowaniu.
Jedrzej Jablonski
> wiem jak go zrealizowac :
> Stozek powstaje w wyniku obrotu trojkata prostokatnego
> wokol jednej z przyprostokatnych.Teoretycznie moznaby
> wysumowac 'objetosci trojkatow', a wlasciwie nie trojkatow,
> tylko niezbyt foremnych klinow, parametryzujac je wczesniej
> katem.Calka w granicach od 0 do 2*Pi powinna zalatwic sprawe.
>
> Tylko jest maly problem...Jak znalezc objetosc plasterka ?
>
> Sprawdzilem, ze procedura dziala dla walca:
> Walec mozna pociac tak jak tort, na graniastoslupy
> z trojkatem w podstawie i o wysokosci rownej wysokosci
> walca.Objetosc takiego kawalka : dV= (0.5 * r * dr) * h
> gdzie:
> r - promien walca
> dr - dlugosc podstawy trojkata ( max grubosc plasterka )
> h - wysokosc walca
>
> Poniewaz dr = da * r , gdzie da to kat rozwarcia klina,
> calka z 0.5 * r*da*r*h w granicach 0, 2*Pi daje Pi*r^2*h,
> czyli akurat tyle ile powinno.
>
> No ale ze stozkiem sprawa sie komplikuje...
No coz .. wychodza ostroslupy o podstawie trojkata
wiec trzebaby udowodnic, ze objetosc ostroslupa
o podstawie trojkata = pole powierzchni trojkata
* wysokosc * 1/3.
Z walcem bylo prosciej.
A tak poza tym stozek nie musi powstac w wyniku obrotu
trojkata prostokatnego wzgledem przyprostokatnej.
Pomysl o takim "kopnietym" stozku :) ... co jednak
faktycznie nie zmienia ani calki ani problemu.
Jakbys cos wymyslil .. to bardzo prosze przyslij.
Jedrzej Jablonski
> A zamiast kata przy osi stozka mozesz uzyc dlugosci odcinka
> obwodu podstawy (czyli "gruposci" plasterka w jego naj-
> grubszym miejscu) i calkowac po obwodzie podstawy.
Zgadza sie, ale wtedy trzeba udowodnic, ze objetosc
czworoscianu jest rowna 1/3*pole trojkata*wysokosc.
Jezeli wiesz jak to zrobic to prosze pryslij.
Siriuz
> tylko, ze calkujac a^2 po dh nie moze nam wyjsc a^2,
> gdzyz a nie jest stala.
> a=r/h .. a calkujac r^2/h^2 raczej nie wyjdzie
> nam nic dobrego.
>
> Jezeli chodzilo ci o cos innego to przepraszam ..
> I jakbys mogl to wytlumacz mi (do mnie trzeba pisac
> jak do ciemnej istoty) skad sie wzielo a^2 juz
> po scalkowaniu.
bo a jest stala :)... to jest wsp kierunkowy tworzacej...
tj. kat nachylenia sciany bocznej.
jak jedziesz tym cialkiem od 0 do h to po drodze
ten kat nachylenia jest caly czas staly, h sie zmienia
ale i r sie zmienia i r/h jest stale...
i wlasnie dlatego a^2 nic sobie nie robi z cialka...
pozdrawiam Siriuz
ps. jeszcze cos wesolego :)
Idzie sobie e^x (e do potegi x) przez pustynie, nagle widzi biegnace Pi
(liczba), ktore krzyczy:
- Uciekaj! Zaraz tu bedzie operator rozniczkowania!
- Spokojnie, ja przecierz jestem e^x, nic mi nie bedzie.
Pi pobieglo dalej, a e^x spokojnie podaza. Po chwili dogonil go operator
rozniczkowania:
- No to teraz cie zrozniczkuje!
- Prosze bardzo, jestem przeciez e^x.
- A ja jestem d/dy.
Adamus
>
> Jakbys cos wymyslil .. to bardzo prosze przyslij.
>
podane jak na tacy...
Ale skoro panicznie sie boisz calkowania,
to dam Ci pseudo-dowod na przyslowiowe odczep sie ;-)
Rozwazmy odpowiedniki stozka i walca o tych samych
podstawach i wysokosciach w przestrzeniach o mniejszej
liczbie wymiarow niz 3.
W przypadku przestrzeni 1-wymiarowej odpowiednikiem
zarowno stozka, jak i walca jest odcinek.Dlugosci "walca"
i "stozka" w jednym wymiarze sa takie same i rowne wysokosci
tych bryl w normalnej przestrzeni.Wspolczynnik proporcjonalnosci
miedzy dlugosciami wynosi 1.
Na plaszczyznie odpowiednikiem stozka jest trojkat, a walca -
prostokat.Pole trojkata jest 2 razy mniejsze niz pole prostokata.
Wspolczynnik proporcjonalnosci wynosi 2 i jest rowny liczbie
wymiarow.
No i wreszcie przechodzimy do przestrzeni trojwymiarowej...
Wspolczynnik proporcjonalnosci miedzy objetoscia walca,
a stozka musi byc rowny 3, bo tyle jest wymiarow w tej
przestrzeni.
Ale jak bedzie w przestrzeni 4-wymiarowej - nie mam pojecia.
Byc moze istnieje wielkosc charakteryzujaca 4-wymiarowa
bryle taka, ze dla stozka i walca bedzie sie roznic 4 razy.
PS Nie traktuj tego "dowodu" zbyt powaznie.
Adamus
Jedrzej Jablonski
> tj. kat nachylenia sciany bocznej.
> jak jedziesz tym cialkiem od 0 do h to po drodze
> ten kat nachylenia jest caly czas staly, h sie zmienia
> ale i r sie zmienia i r/h jest stale...
> i wlasnie dlatego a^2 nic sobie nie robi z cialka...
>
>
> Idzie sobie e^x (e do potegi x) przez pustynie, nagle widzi biegnace Pi
> (liczba), ktore krzyczy:
> - Uciekaj! Zaraz tu bedzie operator rozniczkowania!
> - Spokojnie, ja przecierz jestem e^x, nic mi nie bedzie.
> Pi pobieglo dalej, a e^x spokojnie podaza. Po chwili dogonil go operator
> rozniczkowania:
> - No to teraz cie zrozniczkuje!
> - Prosze bardzo, jestem przeciez e^x.
> - A ja jestem d/dy.
>
PS: wiesz co .. mam jeszcze taki pomysl:
calka od 0 do H z h^2/H^2*Pole podst po dh
to bedzie: P*1/H^2 *1/3*h^3 |od 0 do H
wiec ostatecznie .. P*1/3*H ... i dziala na
kazdym ostroslupie :)
Piotr Beliczynski
> No coz .. wychodza ostroslupy o podstawie trojkata
> wiec trzebaby udowodnic, ze objetosc ostroslupa
> o podstawie trojkata = pole powierzchni trojkata
> * wysokosc * 1/3.
Taka drobna dygresja (nie do konca zwiazana z ta nicia watkow). Zarowno
powyzszy wzor, wzor na stozek, czy jakakolwiek inna figure o podstawie
prostopadlej do wysokosci (nie chce mi sie scisle okreslac tego) mozna
wyprowadzic z podobienstwa przekrojow. S(h)=(h/H)^2*S(H). Po scalkowaniu
S(h)dh w granicach od 0 do H otrzymujemy S(H)*(1/H)^2*H^3/3, czyli
S(H)*H/3, czyli szukany wzor.
Pozdrawiam
PB
Jedrzej Jablonski
> powyzszy wzor, wzor na stozek, czy jakakolwiek inna figure o podstawie
> prostopadlej do wysokosci (nie chce mi sie scisle okreslac tego) mozna
> wyprowadzic z podobienstwa przekrojow. S(h)=(h/H)^2*S(H). Po scalkowaniu
> S(h)dh w granicach od 0 do H otrzymujemy S(H)*(1/H)^2*H^3/3, czyli
> S(H)*H/3, czyli szukany wzor.
Tak .. wiem .. to znaczy niedawno na to wpadlem i napisalem
to kilka godzin przed toba :)
(powinno byc gdzies tam .. troche wyzej).
Tak czy inaczej dziekuje
Piotr Beliczynski
Jedrzej Jablonski wrote:
> Tak .. wiem .. to znaczy niedawno na to wpadlem i napisalem
> to kilka godzin przed toba :)
> (powinno byc gdzies tam .. troche wyzej).
Ooo, faktycznie. Tak wlasciwie to jest sluszne dla kazdej figury ktora sklada
sie z tworzacych stozkowych (czy jak tam to sie nazywa), nawet jesli jest to
"kopnieta" figura, nawet jesli w podstawie ma nieplaska figure (tzn. lezy na
2D powierzchni, niekoniecznie plaszczyznie) - rozumowanie pozostaje to samo.
Na przyklad wycinek kuli - albo cala kula (albo... cokolwiek). Byc moze to tez
napisales, tylko przeoczylem (szybciej napisac niz dokladnie przejrzec ;)))
Pozdrawiam
PB
Jedrzej Jablonski
> sie z tworzacych stozkowych (czy jak tam to sie nazywa), nawet jesli jest to
> "kopnieta" figura, nawet jesli w podstawie ma nieplaska figure (tzn. lezy na
> 2D powierzchni, niekoniecznie plaszczyznie) - rozumowanie pozostaje to samo.
> Na przyklad wycinek kuli - albo cala kula (albo... cokolwiek). Byc moze to tez
> napisales, tylko przeoczylem (szybciej napisac niz dokladnie przejrzec ;)))
Taak .. ktos napisal, ze dla 1 wymiarowych odpowiednikow walca
i stozka (dwoch odcinkow) wspolczynnik proporcjonalnosci = 1.
Dla 2D (prostokata i trojkata) = 2. Dla 3D (walca i stozka) = 3.
Jesli zachowamy nasz tok rozumowania .. i scalkujemy to wszystko
w 4 wymiarze to bedzie: calka z V h^3/H^3 po dh od 0 do H.
A wiec 1/4 H^4 * V * 1/H^3 czyli 1/4 * V * H :))
czyli wspolczynnik proporcjonalnosc = 4. Fajnie ...
hiperobjetosc stozka 4 wymiarowego to 1/4 * objetosc podstawy
* przesuniecie w 4 wymiarze. Brzmi nie zle co ? ;-)
Jedrzej Jablonski
> podstawach i wysokosciach w przestrzeniach o mniejszej
> liczbie wymiarow niz 3.
> W przypadku przestrzeni 1-wymiarowej odpowiednikiem
> zarowno stozka, jak i walca jest odcinek.Dlugosci "walca"
> i "stozka" w jednym wymiarze sa takie same i rowne wysokosci
> tych bryl w normalnej przestrzeni.Wspolczynnik proporcjonalnosci
> miedzy dlugosciami wynosi 1.
> Na plaszczyznie odpowiednikiem stozka jest trojkat, a walca -
> prostokat.Pole trojkata jest 2 razy mniejsze niz pole prostokata.
> Wspolczynnik proporcjonalnosci wynosi 2 i jest rowny liczbie
> wymiarow.
> No i wreszcie przechodzimy do przestrzeni trojwymiarowej...
> Wspolczynnik proporcjonalnosci miedzy objetoscia walca,
> a stozka musi byc rowny 3, bo tyle jest wymiarow w tej
> przestrzeni.
>
> Ale jak bedzie w przestrzeni 4-wymiarowej - nie mam pojecia.
> Byc moze istnieje wielkosc charakteryzujaca 4-wymiarowa
> bryle taka, ze dla stozka i walca bedzie sie roznic 4 razy.
Moze istotnie jest to pseudo dowod, ale wszystko sie zgadza.
1D: niby objetosc = wysokosc
2D: calka z a*h/H po dh od 0 do H = 1/2 a*h
3D: calka z P*h^2/H^2 po dh od 0 do H = 1/3 P * h
4D: calka z V*h^3/H^3 po dh od 0 do H = 1/4 V * h
A wiec wszystko sie zgadza. Hiper objetosc stozka 4 -wymiarowego
= 1/4 * objetosc podstawy * przesuniecie w 4 wymiarze ..
dla 5 wymiaru wychodzi calka z HV*h^4/H^4 po dh ...
a to wychodzi 1/5 HV * h
:)) wiec twoja teoria sie sprawdza ...
PS: gorzej jest w 0 wymiarowej przestrzeni
--6--MARshALL--9--
<mac...@elkomtech.com.pl.nospam> wrote:
>Ostroslup jest po prostu szczegolnym przypadkiem stozka:
>jest to stozek, ktory ma w podstawie wielokat.
>A ostroslup prawidlowy jest szczegolnym przypadkiem
>ostroslupa: wielokat w podstawie jest foremny.
a czasem nie odwtotnie ?