Bylo: dlaczego mechanika kwantowa uzywa liczb zespolonych
Kazek Kurz
Przeczytujac archiwum grupy na ggolach znalazlem interesujacy watek
ktory zakonczyl sie na trocinach i filozofii. Mozna go sobie poczytac tu:
http://groups.google.com/group/pl.sci.fizyka/browse_frm/thread/3333ede02e9e6e9a/c3e6c0b12413c1fa?lnk=st&q=&rnum=1#c3e6c0b12413c1fa
Watek ma dwie ciekawe cechy: po pierwsze dotyczy bardzo niebanalnego
pytania:
dlaczego w MK musza byc uzywane liczby zespolone. Wydaje sie bowiem ze
koniecznosc
takiego podejscia jest mocno ugeuntowana, wielu ludzi w to wierzy, a z
kolei brak jakichs formalnych dowodow ze jest ono konieczne ;-)
Czy macie jakies nowe przemyslenia na ten temat?
Moze w konteksie teorii strun?
A po drugie: watek jest ceikawy z uwagi na osobe autora peirwszego
postu. Czy nadal czytuje nasza grupe? jesli tak: uprzejmie prosze o
rozwiniecie wlasnych przemyslen na temat jak w temacie ;-)
Pozdrawiam
kazek
--
O ktorym Wojtek Wierba napisal:
Kiedyś mówiło się "cogito ergo sum".
No Kazek chyba powiedzialby jednak:
"cogito ergo zum" co tlumaczy sie jako
"... jezdem"
Kazimierz Kurz
> pytania:
> dlaczego w MK musza byc uzywane liczby zespolone. Wydaje sie bowiem ze
> koniecznosc
> takiego podejscia jest mocno ugeuntowana, wielu ludzi w to wierzy, a z
> kolei brak jakichs formalnych dowodow ze jest ono konieczne ;-)
> Czy macie jakies nowe przemyslenia na ten temat?
W zasadzie liczby zespolone pojawiaja sie w MK dosyc subtelnie.
Bowiem jak wiadomo faza funkcji falowej nie ma sensu fizycznego, choc z klei
fakt jej istneinia ujawnia sie w niektorych sytuacjach.
Prosze zauwazyc ze w calce po trajektoriach, faza funkcji falwoej zwiazana
jest z polem elektromagnetycznym i symetria ta ( niefizycznosc, redundancja
fazy) prowadzi w istocie do wprowadzenia pola cechowania.
Moim zdaniem istneije scisly zwiazek miedzy koniecznosia uzywania aparatu
funkcji zespolonych a polami cechowania, i co wiecej, pola cechowania wydaja
sie mi byc czym nieusowalnym z teorii kwantowej.
Symetria cechwania jest czyms zdumeiwajacym: nie jest ona transformacja
geometryczna ukladu, jest transformacja geometryczna opisu ukladu. najbardziej
zagadkowym faktem dotyczacym mechaniki kwantowej dla mnie jest nastepujace
zagadnienie:
dlaczego przyroda trwoni zasoby na kreacje tylu niefizycznych stopni swobody (
cechowanie)?
kazek
--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/
Maciej Marek
> Bowiem jak wiadomo faza funkcji falowej nie ma sensu fizycznego, choc z klei
> fakt jej istneinia ujawnia sie w niektorych sytuacjach.
Sama faza może nie, ale różnica faz - tak. Objawia się w zjawisku
interferencji.
> dlaczego przyroda trwoni zasoby na kreacje tylu niefizycznych stopni swobody (
> cechowanie)?
Może po prostu to nasze narzędzia opisu przyrody
są zbyt rozrzutne.
Pozdrawiam
Maciej Marek
Maciej Marek
> Watek ma dwie ciekawe cechy: po pierwsze dotyczy bardzo niebanalnego
> pytania:
> dlaczego w MK musza byc uzywane liczby zespolone.
A jak byś odpowiedział na (pozornie) prostsze
pytanie:
dlaczego w mechanice klasycznej używa się liczb rzeczywistych?
Pozdrawiam
Maciej Marek
PFG
On Mon, 6 Mar 2006 13:37:02 +0000 (UTC), "Kazimierz Kurz"
<ka...@gazeta.SKASUJ-TO.pl> wrote:
>No to ja zaczne.
A ja się raczej nie włączę, bo to, co miałem do powiedzenia,
powiedziałem już w tamtym wątku. I przy swoich ówczesnych tezach
obstaję. Mam tylko dwa techniczne komentarze:
>Bowiem jak wiadomo faza funkcji falowej nie ma sensu fizycznego
Globalna faza - nie. Faza względna - jak najbardziej, jest mierzalna
etc. Wydaje się, że zjawiska interferencyjne są dla mechaniki
kwantowej fundafentalnie ważne, nie uważasz? Nawet - a może przede
wszystkim - dla preferowanego przez ciebie podejścia poprzez całki
po trajektoriach.
>Moim zdaniem istneije scisly zwiazek miedzy koniecznosia uzywania aparatu
>funkcji zespolonych a polami cechowania, i co wiecej, pola cechowania wydaja
>sie mi byc czym nieusowalnym z teorii kwantowej.
Kulą w płot, obawiam się. Po pierwsze, schroedingeerowska mechanika
kwantowa doskonale obywa się bez symetrii cechowania. Po drugie,
symetrie cechowania można wprowadzać na poziomie klasycznym,
żadnego kwantowania do tego nie trzeba.
--
Paweł (kozak frajer)
Kazek Kurz
> Kazimierz Kurz wrote:
>>Bowiem jak wiadomo faza funkcji falowej nie ma sensu fizycznego, choc z klei
>>fakt jej istneinia ujawnia sie w niektorych sytuacjach.
> Sama faza może nie, ale różnica faz - tak. Objawia się w zjawisku
> interferencji.
neibanalna topologie ( musza istniec drogi niesciagalne jedna do drogiej
albo co na jedno wychodzi nie sciagalne do punktu) jelsi ten warunek nie
jest spelniony, i kazde dwie drogi sa homotopijne, masz pelna lokalna
symetrie cechowania i faza nie jest fizyczna w tym sensie ze mamy
symetrie U(1) jako daodatkowa symetrie teorii. zauwaz jednak ze nie
oznacza to ze faza jest nieistotna: wlasnie z owej symetrii wynika
koniecznosc uwzglednienia pola powiedzmy EM w ukladzie.
>>dlaczego przyroda trwoni zasoby na kreacje tylu niefizycznych stopni swobody (
>>cechowanie)?
> Może po prostu to nasze narzędzia opisu przyrody
> są zbyt rozrzutne.
No ja wlasnie jakis czas juz o tym msyle i nie wydaje mi sie. Po
pierwsze: symetria wzgledem U(1) pewnego modelu ulega zlamaniu przez
bogatsze grupy symetri w modelach szerszych. jesli jakis uklad ma
symetrie U(1) to w obecnosci powiedzmy pol silnych czy slabych ja traci
lub ulega ona rozszerzeniu. Mysle ze yo nie banalne, i dobrym pytaniem
jest: czy w konsekwencji wobec wlaczenia wszystkich oddzialywan
fundamentalnych, ktore wedlug naszej wiedzy sa teoria i z cechowaniem,
owe symetrie zostaja w koncu usuniete?
Oczywiscei zunifikowana teoria wszystkich owych oddzialywan powinna byc
bardziej symetryczna wiec poinna miec jescze wiecej redundantnych stopni
swobody, jednak zauwaz ze one sie lamia do obserwowalnych pol fizycznych
w niskich energiach i owo zlamamnie dowodzi ze wcale nie jest tak ze owa
bogatsza grupa symetrii jest po prostu nadmiarem w naszym opisie: ona
jest konieczna by dostac pola silne slabe i em takie jakie znamy...
BYc moze podobnie jest z tym co pzrezywa: moze owe symetrie nie sa
zwiazane z zadnymi redundancjami ale w istocie w jakis sposob zostaja
zlamane do kona w jakims procesie zwiazanym np. z kwantowa grawitacja itp?
Kazek Kurz
> On Mon, 6 Mar 2006 13:37:02 +0000 (UTC), "Kazimierz Kurz"
> <ka...@gazeta.SKASUJ-TO.pl> wrote:
>>No to ja zaczne.
> A ja się raczej nie włączę, bo to, co miałem do powiedzenia,
> powiedziałem już w tamtym wątku. I przy swoich ówczesnych tezach
> obstaję. Mam tylko dwa techniczne komentarze:
>>Bowiem jak wiadomo faza funkcji falowej nie ma sensu fizycznego
> Globalna faza - nie. Faza względna - jak najbardziej, jest mierzalna
> etc. Wydaje się, że zjawiska interferencyjne są dla mechaniki
> kwantowej fundafentalnie ważne, nie uważasz? Nawet - a może przede
> wszystkim - dla preferowanego przez ciebie podejścia poprzez całki
> po trajektoriach.
trajektoriach znaczenie o tyle tylko o ile dwa kontury po ktorych fazy
sie roznia nie dadza sie zdeformowac jeden w drogi. Jesli zatem myslisz
o efekcie Aharonowa Bohma to warto pamietac ze tam w gre wchodzi topologia.
Nie mowie tu o funkcji falowej jakichs ukladow zlozonych ale o
fundamentalnych wlasnociach prostego ukladu zlozonego z jednej czastki.
>>Moim zdaniem istneije scisly zwiazek miedzy koniecznosia uzywania aparatu
>>funkcji zespolonych a polami cechowania, i co wiecej, pola cechowania wydaja
>>sie mi byc czym nieusowalnym z teorii kwantowej.
> Kulą w płot, obawiam się. Po pierwsze, schroedingeerowska mechanika
> kwantowa doskonale obywa się bez symetrii cechowania. Po drugie,
> symetrie cechowania można wprowadzać na poziomie klasycznym,
> żadnego kwantowania do tego nie trzeba.
Owzem: jedno i drogie jest prawda.
Jesli jednak ktos poszukiwalby "powodow dla ktorych mechanika kwantowa"
musi uzywac liczb zespolonych to staje przed nastepujaca sytuacja.
Mechanika Schrodingerowska jest wylacznie matematycznym modelem dobrze
opisujacym pewne uklady jednak nie mogacym sobie rosscic pretensji do
poisu rzeczywistosci w sposob calosciowy. Sam fakt, ze w jej ramach moze
sie pojawic pole elektromagnetyczne wlasnie pzrez wprowadzenie
cechowania jest dowodem na to, ze posiada ona ukryta symetrie, wlasnie
zwiazana z lokalna zmiana fazy, ktora w niektorych sytuacjach,
rownowaznych w sensie cechowania znikajacemu polu F_ik mozemy pominac.
Rzonice juz na poziomie mechaniki Schrodingerowskiej pojawiaja sie
wlasnie wobec niebanalnej topologii przestrzeni.
PO drugie klasyczne teorie z cechowaniem czyli klasyczne teorie Y_M to
nie jest mechanika kwantowa a teoria pola. Proba odniesienia teorii tych
pol do oddzialywania z materia moze byc rozwiazana na wiele sposobow, a
jednym z nich jest przeyjecie ze materia jest opisana funkcja zespolona
+ grupa symetrii U(1) w najprostszym przypadku. O zadnym kwantowaniu
pola zwiazanego z symetria U(1) nawet nie mysle...
Na koniec: jesli ktos chce wyjkasniac dlaczego MK jest jaka jest
powinien zadac pytanie: a jaka jest MK. To znaczy co wyjasniamy: cechy
szczegolne jakichs konkretnych modeli czy interpretacji jak mechanika
Schrodingerowska, czy cechy teori kwantowej opisujacej jakis realny
wycinek rzeczywistosci. W tympierwszym wypadku mozemy zwykle przyjac
rozne nierealistyczne zalzoenia jak brakl pol, izolowanie ukladu od
wplywow zewnetrznych itp. W drogim wypadku jak sadze nie jest mozliwe
rozwazanie nawet tak prostego ukladu jak czastka swobodna w oderwaniu od
pelnego garnituru jej symetrii. Sadzxe ze tylko ten drogi wypadek jest
interesujacy z punktu widzenia tej dskusji.
Kazek
Kazek Kurz
ukladow mechanicznych jako ukladow deterministycznych zwiaznych z
mapowaniem zaleznym od jednego parametru. aewolucja ukladu klasycznego
jest w istocie mapowaniem z przestrzeni stanow poczatkowych w mozliwe
stany koncowe. Nie widac powodu dla ktorego mialyby sie tu pojawic
liczby zespolone. Mechanika klasyczna to teoria potokow fazowych na
rozmaitosciach rzeczywistych.
Jesli spojzysz na CFT ( Conformal Field Th) to okaze sie ze wystarczy
zarzadac aby zmienne ukladu zachowywaly pewna strukture metryczna z
dokladnoscia do lokalnego skalowania by wystarczylo to do naturalnego
przejscia w teorie funkcji zespolonych i to bez zadnego kwantowania
gdziekowleik.
Po ostatnich lektorach roznych rzeczy mam takie zdanie, choc oczywiscie
jest to opinia laika, zapewne naiwna dla znawcow przedmiotu:
Mysle ze to co sie pojawia w teorii strun jest calkiem niezlym opisem
pewnej rzeczywstosci fizycznej, tyle ze jest niepoprawnie
interpretowanwe. Sadze ze jesli zaczac od odwzorowanie R^N w R^2
zakladajac ze w R^N mamy strukture metryczna Minkowskiego, w R^2 ( R^n
n<N dla czastek nieskalarnych) dostaniemy w naturalny sposob indukowana
strukture wlasciwa zbiorowi funkcji zespolonych nad C z definicja normy
w postaci kwadradu modulu. Symetria dowolnego dyfeomorfizmu w
przestzreni R^N ( jak w OTW) indukuje w R^2 rozne symetrie w tym bardzo
podobne do U(1) ( wyzsze symetrie jak SU(2) dla pol nieskalarnych - to
juz by ktos musial wykazac...).
W ten sposob wydaje mi sie ze odtwarza sie niemal fundamentalne
wlasnosci mechaniki kwantowej ( i niestety lub stety duzo wiecej) i to
zanim zada sie jakakolwiek dynamike na owych obiektach. Wydaje sie wiec
ze koniecznosc zywania zmiennych zespolonych ( a moze raczej wygoda ich
uzywania) sa podyktowane niemal topologicznymi argumentami i pojawiaja
sie przed okresleniem jakiejekolwiek dynamiki.
Niejasnym pozostaje zas dlaczego mapowac R^N w R^2, dlaczego ma byc
pelna symetria dyfeo w R^N, no i gdzie i jak sie pojawia kwantowanie...
PFG
>Nie mowie tu o funkcji falowej jakichs ukladow zlozonych ale o
>fundamentalnych wlasnociach prostego ukladu zlozonego z jednej czastki.
Ja myślę o sytuacjach prostszych, czyli właśnie o układach złożonych, gdzie
przestrzeń Hilberta ma strukturę iloczynu tensorowego :-) To, że globalna faza
układu złożonego, czy też faza układu jednoskładnikowego, nie jest
obserwowalna bez osobliwości topologicznych, jest wiadome, nikt tego nie
kwestionuje, więc nie ma potrzeby do tego wracać.
>Mechanika Schrodingerowska jest wylacznie matematycznym modelem dobrze
>opisujacym pewne uklady jednak nie mogacym sobie rosscic pretensji do
>poisu rzeczywistosci w sposob calosciowy.
Mnie o tym nie musisz przekonywać.
>Sam fakt, ze w jej ramach moze
>sie pojawic pole elektromagnetyczne wlasnie pzrez wprowadzenie
>cechowania jest dowodem na to, ze posiada ona ukryta symetrie
Mechanika kwantowa nie potrzebuje symetrii cechowania. Mechanika
kwantowa potrzebuje za to innej symetrii, bez której nie byłaby sobą:
potrzebuje struktury symplektycznej. Pisałem już o tym rok temu i nie
mam nic więcej do dodania.
--
Pawel
Vago Augelletto che cantando vai
Kazimierz Kurz
> >Nie mowie tu o funkcji falowej jakichs ukladow zlozonych ale o
> >fundamentalnych wlasnociach prostego ukladu zlozonego z jednej czastki.
> Ja myślę o sytuacjach prostszych, czyli właśnie o układach złożonych, gdzie
> przestrzeń Hilberta ma strukturę iloczynu tensorowego :-) To, że globalna faza
> układu złożonego, czy też faza układu jednoskładnikowego, nie jest
> obserwowalna bez osobliwości topologicznych, jest wiadome, nikt tego nie
> kwestionuje, więc nie ma potrzeby do tego wracać.
odpowiadamy roznie bo dyuskutujemy o roznych sprawach. Przypuszczam ze Tobie
blizsze jest podejscei zwiazane z ukladami wielu cial.
Jesli jednak mowimy o ukladach najprostszych a zarazem najbardziej
podstawowych, to pytanie o liczby zespolone w MK jest w sumie, jak rozumiem,
pytaniem dlaczego opis ukladu pojedynczej czastki wymaga uzycia obiektu
rozciaglego jakim jest funkcja falowa. I moim zdaniem jest to zwiazane, choc
to dosyc karkolomna volta, przyznaje, z fundamentalna rola jaka pelni symetria
cechowania, a doroga do tej zaleznosci wiedzie pzrez rozumowanie obecne na
pierwszych 5-ciu stronach podrecznikow do CFT.
> >Sam fakt, ze w jej ramach moze
> >sie pojawic pole elektromagnetyczne wlasnie pzrez wprowadzenie
> >cechowania jest dowodem na to, ze posiada ona ukryta symetrie
> Mechanika kwantowa nie potrzebuje symetrii cechowania. Mechanika
> kwantowa potrzebuje za to innej symetrii, bez której nie byłaby sobą:
> potrzebuje struktury symplektycznej. Pisałem już o tym rok temu i nie
> mam nic więcej do dodania.
Co to znaczy nie potrzebuje?
Chodzi ci o to ze nie trzeba jawnie jej rozwazac? To tak samo jak to ze nie
trzeba jawnie pisac o symetrii translacyjnej czy obrotach: ale de facto zaden
opis nie zalezy przeciez od orientacji osi ukladu czy od polozenia
labolatorium. I dokladnie taka sama sytuacja w zakrsie cechowania jest
wbudowana w MK tyle ze nei ma ona interpretacji jako transformacja ukladu
fizycznego, a jedyni interpretacje jako transformacja jego opisu. I to jest
dosyc zagadkow nie sadzisz?
Mysle ze powinien istneijc jakis zwiazek, albo inaczej: jesli on instnieje
pewnie bedzie mial fundamentalne znaczenie: pomiedzy tym, ze MK generycznie
posiada wbudowana symetrie zmiany fazy, a tym, ze pola fundamentalne sa polami
cechowania.
Kazimierz Kurz
struktuzre sympletycznej na rozmaitosci w kontekscie mechaniki klasycznej.
Tylko ze jak wiesz dobzre nie da sie z mechaniki klasycznej wyprowadzic
mechaniki kwantowej. Mozna odwrotnie.
Tak ze nie bardzo rozumiem jaki zwaizek i koniecznosc masz tu na mysli.
PFG
wrote:
>Jesli masz troche czasu opisz co masz tu na mysli.
Nie mam. Była dyskusja w tamtym wątku. A co do symetrii cechowania,
to powtarzam, że, po pierwsze, można je rozważać na poziomie czysto
klasycznym, po drugie, schroedingerowską mechanikę kwantową można
robić bez symetrii cechowania. W tym sensie symetrie cechowania nie są
mechanice kwantowej potrzebne.
Kazimierz Kurz
> wrote:
> >Jesli masz troche czasu opisz co masz tu na mysli.
> Nie mam. Była dyskusja w tamtym wątku.
smplektycznej pojawiaja sie wartosci zespolone ( czysto urojone).
Mysle jednak ze podejscie hamiltonowskie choc uzywane w mechanice kwantowej i
bedace podstawa procesu kwantyzacji, nie jest bardziej fundamentalne od
lagranzowskiego. I w tym sensie nei bardzo uznaje strukture symplektyczna za
jakas szczegolnei istotna.
>A co do symetrii cechowania,
> to powtarzam, że, po pierwsze, można je rozważać na poziomie czysto
> klasycznym,
Owsem: ja tez nie mialem na mysle zadnej kwantyzacji pola cechowania. jednynei
to, ze istnieje wazny zwiazek pomiedzy symetria funkcji falowej ( uzywanie
promieni zamiast wektorow stanu jest fundamentalna wlasnoscia przestzreni
Hilberta ukladow kwantowych pojawiajaca sie zanim pjawi sie jakakolwiek
dynamika), a polami oddzialywa fundamentalnych.
>po drugie, schroedingerowską mechanikę kwantową można
> robić bez symetrii cechowania.
O tyle masz racej ze nikt cie nie zmusza. Jednak to stwierdzenie jest
pozbawione sensu o tyle, ze jakikolwiek uklad bys nie rozwazal struktura jego
pzrestrzeni Hilberta opiera sie wlasnei na promieniach czyli ma wbudowana
pewna relacje rownowaznosci a nie na "golych wektorach stanu.
> W tym sensie symetrie cechowania nie są
> mechanice kwantowej potrzebne.
Nie nie sa.
Ale sie w niej pojawiaja czy sie tego chce czy nie.
Wiesz dobzre ze jesli ignoruje sie istneijac a w ukladzie symetrie to traci
sie istotne cechy opisu. jesli ignoruje sie symetrie o fundamentalnej
wlasnosci, traci sie oglad fundamentalnych cech.
Nieprawdaz?
Zeby inaczej rzecz przedstawic ( z pewnoscia doskonale wiesz o co mi chodzi
ale moze ktos to jeszcze zcyta): jesli patrzy sie na mechanike kwantowa od
lagrangeowskiej strony, za pomoca calek po trajektoriach, to funkcja falowa
czastki jest reprezentowana przez calke po trajektoriach z wolnym warunkiem
koncowym. I w takim sformuowaniu mzona dysponujac lagrangianem i dzialaniem od
razu pisac ile wynosza srednei wartosci wielkosci fizycznych po prostu je
wstawiajac po calke. Mozemy zatem liczyc wszystko co nas interesuje bez
hamiltonianu. Ale faza i tak sie bedzie pojawiac nadal i symetria cechowania i
tak wyniknie, pomimo braku potrzeby kwantowania ukladu przez wprowadzenie
hamiltonianu itp.
jednak zgodnie z tym co pisales, sformuowanie to juz w funkcjonale pod calka
ma "i" aby miec interferencyjnosc, i zachodzi pytanei po co to jest i dlaczego
byc musi? Zwlaszcza ze i tak wiele obliczen robi sie pzrechodzac do czasu
euklidesowego....
Pozdrawiam
Marek Józefowski
> PFG <go...@notthispart.if.uj.edu.pl> napisał(a):
>> Kazek Kurz <ka...@tlendwuczasteczkowy.pl> in <dui3qf$1a4n$1...@news.mm.pl>
>> wrote:
>> Mechanika kwantowa nie potrzebuje symetrii cechowania. Mechanika
>> kwantowa potrzebuje za to innej symetrii, bez której nie byłaby sobą:
>> potrzebuje struktury symplektycznej. Pisałem już o tym rok temu i nie
>> mam nic więcej do dodania.
> Jesli masz troche czasu opisz co masz tu na mysli. Bo ja slyszalem o
> struktuzre sympletycznej na rozmaitosci w kontekscie mechaniki klasycznej.
> Tylko ze jak wiesz dobzre nie da sie z mechaniki klasycznej wyprowadzic
> mechaniki kwantowej. Mozna odwrotnie.
> Tak ze nie bardzo rozumiem jaki zwaizek i koniecznosc masz tu na mysli.
> kazek
Moim zdaniem rację ma Paweł - IMHO odpowiedniość pomiędzy strukturą
symplektyczną a mechaniką kwantową nie jest "prosta",
daleka od izomorfizmu.Próbowałem to kiedyś analizować
na przykładzie kwantowania swobodnego rotatora w układzie
własnym (nieinercjalnym):
Message-ID: <BEBB700D.1FDF%marj...@friko7.onet.pl>
W dawnym wątku do którego nawiązujesz wyraziłem przypuszczenie,
że być może istnieje jakiś związek z faktem, że p. Hilberta
ma ukrytą strukturę symplektyczną (urojona część formy półtoraliniowej
jest antysymetryczna).
Teraz jednak skłaniam się do przypuszczenia, że występowanie
"i" w równaniach MK, jest efektem raczej technicznym, wynikającym:
a) z konstrukcji modelu jakim jest MK, b) z powodu tego, że odpowiadająca
w mechanice klasycznej wektorowa p. symplektyczna jest rzeczywista.
Najlepiej to widać w algebraicznym ujęciu MK - podam skrótowo:
Definicja: Symplektyczną p. wektorową nazywamy parę (X,A),
gdzie X jest rzeczywistą topologiczną p. wektorową, a "A" ciągłą
biliniową formą i niezdegonerowaną nad X.
Algebraiczna konstrukcja MK polega na wprawadzeniu tzw
"systemu Weyla nad (X,A):
Definicja: Systemem Weyla nad rzeczywistą wektorową p. symplektyczną
(X,A) nazywamy parę (H,W) , gdzie H jest zespoloną p. Hilberta,
a "W" jest ciągłym (w sensie silnej topologii operatorowej)
odwzorowaniem ( W:X -->U(H) ) przyporządkującym elementy x \in X
operatory unitarne należące do H, i spełniającym relację (Weyla):
W(x)W(x') = exp[i/2 A(x,x')] W(x+x')
Widzisz więc, że aby relacja Weyla (która jest odpowiednikiem
kanonicznych relacji komutacji Heisenberga) była konsystentna -
- nie wyprowadzała wartości W ze zbioru operatorów unitarnych -
musi być pod exponentą wartość urojona...a więc "i" ,ponieważ
A() jest formą rzeczywistą.
--
Marek
Nie wystarczy szeroko otwierać oczu [Hermann Weyl]
Kazek Kurz
> Moim zdaniem rację ma Paweł - IMHO odpowiedniość pomiędzy strukturą
> symplektyczną a mechaniką kwantową nie jest "prosta",
owej waznej odpowiedniosci.
> skłaniam się do przypuszczenia, że występowanie
> "i" w równaniach MK, jest efektem raczej technicznym, wynikającym:
> a) z konstrukcji modelu jakim jest MK, b) z powodu tego, że odpowiadająca
> w mechanice klasycznej wektorowa p. symplektyczna jest rzeczywista.
> Najlepiej to widać w algebraicznym ujęciu MK - podam skrótowo
> Definicja: Symplektyczną p. wektorową nazywamy parę (X,A),
> gdzie X jest rzeczywistą topologiczną p. wektorową, a "A" ciągłą
> biliniową formą i niezdegonerowaną nad X
> Algebraiczna konstrukcja MK polega na wprawadzeniu tzw
> "systemu Weyla nad (X,A):
> Definicja: Systemem Weyla nad rzeczywistą wektorową p. symplektyczną
> (X,A) nazywamy parę (H,W) , gdzie H jest zespoloną p. Hilberta,
> a "W" jest ciągłym (w sensie silnej topologii operatorowej)
> odwzorowaniem ( W:X -->U(H) ) przyporządkującym elementy x \in X
> operatory unitarne należące do H, i spełniającym relację (Weyla):
> W(x)W(x') = exp[i/2 A(x,x')] W(x+x')
> Widzisz więc, że aby relacja Weyla (która jest odpowiednikiem
> kanonicznych relacji komutacji Heisenberga) była konsystentna -
> - nie wyprowadzała wartości W ze zbioru operatorów unitarnych -
> musi być pod exponentą wartość urojona...a więc "i" ,ponieważ
> A() jest formą rzeczywistą.
Staram sie to pojac i mam nastepujacy komentarz:
Operatory unitarne w powyzszym opisie odpowiadaja operacjom nie
zmienaijacym normy stanow fizycznych. Jesli norma bylaby zdefiniowana w
inny sposob konieczne byloby zapewne uzycie innej klasy operatorow, to
znaczy sie mielibysmy inna przestzren Hilberta H a zatem i inna
reprezentacje operatorow ewolucji. Skoro zatem nie zmieniamy normy stanu
w procesie ewolucji co gwarantuje nam niewychodzenie stanu ukladu poza
pzrestrzen Hilberta w trakcei ewolucji fizycznej to postac normy ma
bezposredni wplyw na forme operatorow unitarnych. I tak rzeczywistosc
formy A w mechanice klasycznej wespol z DEFINICJA normy daje nam postac
mechaniki kwantowej jaka mamy.
Zauwaz ze konstrukcja Systemu Weyla zaczyna sie od _zespolonej_
przestrzeni Hilberta. Zatem dlaczego nie zapytac po co ma ona byc zespolona?
Dalej pozwole sobie puscic wodze fantazji, co zapewne moze byc zabojcze
( zabijecie mnie smiechem ;-) ale co mi tam:
Mysle ze jesli wyjdziesz czysto technicznie od rozumowania ktore mozna
znalezc w kazdym opracowaniu CFT zobaczysz ze cecha wewnetrzna teorii
posiadajacej symetrie ziany o dowolny dyfeomorfizm w 2 wymiarach jest
wlasnie to ze owa transformacja daje nastepujace prawo zmiany formy
odleglosci ( a wiec i normy) (*) ds`^2 dz`dz`* -> |df/dz|^2dzdz* gdzie *
oznacza sprzezenie zespolone. Liczby zespolone pojawiaja sie tu
zupellnei naturalnie jako konsekwencja istneinia symetri konforemnej -
zaczynalismy id R^2 ale rachunki pozwalaja uwazac ze wspolrzedne
posaidajace symetrie konforemne w istocie sa lokalnie funkcjami
analitycznymi a niektore ich rodzaje moga byc scalkowane do pewnych
symetrii globalnych. Aby wyprowadzic powyzsza lazeznosc konieczne jest
tylko zalozenie ze rozwazamy wspolrzedne x^i i \in {1,2}
oraz ze mamy okreslona forme metryczna g_i_k i zakladamy ze mozliwe sa
dowolne zmiany ukladu wspolrzednych zmieniajace dlugosc wektora co
najwyzej o czynnik skali g`=O(x)*g. Standardowe rozumowanie CFT prowadzi
wowczas do wyniku (*).
Zauwaz ze owo prawo bardzo przypomina to co znajdujemy w mechanice
kwantowej - transformacja zachowuje norme w postaci ||z|| = zz*. Wydaje
mi sie ze daloby sie rozszerzyc owa zaleznosc w nastepujacy sposob:
jesli mamy przestrzen metryczna R^N ( bylyby to stany \ukladu
klasycznego) i odwzorowanie z przestzreni w R^2 do R^N oraz
dostatecznei bogata grupe symetrii w przestzteni R^N metryka w R^N
indukuje metryke w R^2 ( skoro X \in R^N i istnieje X: p \in R^2 -> R^N
, to struktura metryczna w R^N indukuje w R^2 metryke dp^2 = dX^i/dp^s
dX^k/dp^t dp^s dp^t ). W wyniku takiego odwzorowania struktura metryczna
w R^N daje w przestzreni R^2 strukture metryczna jak w (*) zas symetria
zmiany o dowolny dyfeomorfizm w R^N dawalaby wymog aby |df/dz|^2 = 1. I
tak oto dostalibysmy matematycznie strukture typu przestzen sespolona z
norma w postaci kwadratu modulu, oraz przy okazji transformacje
cechowania jako jedna z globalnych symetrii konforemnych.
Slowem marzy mi sie ( pewnei glupio) przeformuowanie i reinterpretacja
CFT jako struktury matematycznej na ktorej wyrasta MK.
Pozdrawiam
Kazek
Komentarz metodologiczny ;-) - mechanike kwantowa mozna definiowac na
wiele sposobow. Symetrie cechowania ( dla konkretnosci U(1) lokalnie)
takze. Nie jest okreslone ze np. wprowadzenie mechaniki kwantowej za
pomoca kwantowania symplektomorfizmow na rozmaitosci symplektycznej
odpowiadajacej ukladowi klasycznemu jest najwlasciwszym. Osobiscie
wieksze nadzieje wiazalbym z podejsciem lagrangeowskim, i calkami po
trajektoriach, jako ze pozwala ono uniknac dodatkowego pbiektu jaikim
jest wlasnei struktura symplektyczna itp. Wydaje mi sie ze wykscie z
symetrii i wprowadzenie przestzreni Hilberta najmniejszym kosztem jak to
mzlwe, jestwlasciwsze. Ale pewnie wynika to raczej z tego ze mam
wrazenie ze je lepiej rozumiem, niz z tego ze tak jest wlasciwiej.
Marek Józefowski
[...]
> Staram sie to pojac i mam nastepujacy komentarz:
> Operatory unitarne w powyzszym opisie odpowiadaja operacjom nie
> zmienaijacym normy stanow fizycznych. Jesli norma bylaby zdefiniowana w
> inny sposob konieczne byloby zapewne uzycie innej klasy operatorow, to
> znaczy sie mielibysmy inna przestzren Hilberta H a zatem i inna
> reprezentacje operatorow ewolucji. Skoro zatem nie zmieniamy normy stanu
> w procesie ewolucji co gwarantuje nam niewychodzenie stanu ukladu poza
> pzrestrzen Hilberta w trakcei ewolucji fizycznej to postac normy ma
> bezposredni wplyw na forme operatorow unitarnych. I tak rzeczywistosc
> formy A w mechanice klasycznej wespol z DEFINICJA normy daje nam postac
> mechaniki kwantowej jaka mamy.
I tak właśnie jest - mamy różne reprezentacje systemów Weyla.
Zależą one od tego jak skonstruujesz sobie (X,A) (mechanikę),
oraz od konstrukcji H i odwzorowania W.
Dla przykładu podam Schrodingerowską reprezentację systemu Weyla:
Niech X będzie przestrzenią C wszystkich liczb zespolonych,
*rozumianą jako R^2* ; A(z,z') = Im(zz*').
H = { f \in L^2(R) } (całkowalne w kwadracie), zdefiniujmy:
(z=x+iy)
W(x,y)f(u) = W(z)f(u) := exp(-iyu -ixy/2) f(u+x)
Wtedy (H,W) jest systemem Weyla.
> Zauwaz ze konstrukcja Systemu Weyla zaczyna sie od _zespolonej_
> przestrzeni Hilberta. Zatem dlaczego nie zapytac po co ma ona byc zespolona?
>
Aby wogóle pytanie jak w temacie miało sens musimy się poruszać
w ramach danych modeli..inaczej chyba nie można.
Postaw sobie pytanie: co by było, gdyby H nie była p. Hilberta
(p.Hilberta z definicji jest zespolona) ale była p. zupełną,
z rzeczywistą formą kwadratową. Aby zachować fizyczną interpretację
normy stanu powinniśmy rozpatrywać operatory ortogonalne, ergo
relacja Weyla byłaby taka W(x)W(y) = W(x+y), co na pierwszy rzut
oka daje nam model równoważny zwykłej mechanice.
> Dalej pozwole sobie puscic wodze fantazji, co zapewne moze byc zabojcze
> ( zabijecie mnie smiechem ;-) ale co mi tam:
> Mysle ze jesli wyjdziesz czysto technicznie od rozumowania ktore mozna
> znalezc w kazdym opracowaniu CFT zobaczysz ze cecha wewnetrzna teorii
> posiadajacej symetrie ziany o dowolny dyfeomorfizm w 2 wymiarach jest
> wlasnie to ze owa transformacja daje nastepujace prawo zmiany formy
> odleglosci ( a wiec i normy) (*) ds`^2 dz`dz`* -> |df/dz|^2dzdz* gdzie *
> oznacza sprzezenie zespolone. Liczby zespolone pojawiaja sie tu
> zupellnei naturalnie jako konsekwencja istneinia symetri konforemnej -
> zaczynalismy id R^2 ale rachunki pozwalaja uwazac ze wspolrzedne
> posaidajace symetrie konforemne w istocie sa lokalnie funkcjami
> analitycznymi a niektore ich rodzaje moga byc scalkowane do pewnych
> symetrii globalnych. Aby wyprowadzic powyzsza lazeznosc konieczne jest
> tylko zalozenie ze rozwazamy wspolrzedne x^i i \in {1,2}
> oraz ze mamy okreslona forme metryczna g_i_k i zakladamy ze mozliwe sa
> dowolne zmiany ukladu wspolrzednych zmieniajace dlugosc wektora co
> najwyzej o czynnik skali g`=O(x)*g. Standardowe rozumowanie CFT prowadzi
> wowczas do wyniku (*).
;) Myślę, że niepotrzebnie mieszasz tu CFT z naszą dyskusją.
>
> Zauwaz ze owo prawo bardzo przypomina to co znajdujemy w mechanice
> kwantowej - transformacja zachowuje norme w postaci ||z|| = zz*. Wydaje
> mi sie ze daloby sie rozszerzyc owa zaleznosc w nastepujacy sposob:
> jesli mamy przestrzen metryczna R^N ( bylyby to stany \ukladu
> klasycznego) i odwzorowanie z przestzreni w R^2 do R^N oraz
> dostatecznei bogata grupe symetrii w przestzteni R^N metryka w R^N
> indukuje metryke w R^2 ( skoro X \in R^N i istnieje X: p \in R^2 -> R^N
> , to struktura metryczna w R^N indukuje w R^2 metryke dp^2 = dX^i/dp^s
> dX^k/dp^t dp^s dp^t ). W wyniku takiego odwzorowania struktura metryczna
> w R^N daje w przestzreni R^2 strukture metryczna jak w (*) zas symetria
> zmiany o dowolny dyfeomorfizm w R^N dawalaby wymog aby |df/dz|^2 = 1. I
> tak oto dostalibysmy matematycznie strukture typu przestzen sespolona z
> norma w postaci kwadratu modulu, oraz przy okazji transformacje
> cechowania jako jedna z globalnych symetrii konforemnych.
> Slowem marzy mi sie ( pewnei glupio) przeformuowanie i reinterpretacja
> CFT jako struktury matematycznej na ktorej wyrasta MK.
Nie rozumiem o co Ci chodzi. Same CFT są specyficznymi teoriami
kwantowymi. Nie wydaje mi się rozsądne zajmować się podstawami MK
skupając się na pojedynczym przypadku. No i jeszcze niepotrzebnie
mieszasz do tego symetrię cechowania - to bardzo pojemny termin -
- w CFT jest nim np dowolna reparametryzacja, podobnie jak przy
kwantowaniu punktu materialnego. Ale przecież występuje już
na poziomie klasycznym.
>
> Komentarz metodologiczny ;-) - mechanike kwantowa mozna definiowac na
> wiele sposobow. Symetrie cechowania ( dla konkretnosci U(1) lokalnie)
> takze. Nie jest okreslone ze np. wprowadzenie mechaniki kwantowej za
> pomoca kwantowania symplektomorfizmow na rozmaitosci symplektycznej
> odpowiadajacej ukladowi klasycznemu jest najwlasciwszym. Osobiscie
> wieksze nadzieje wiazalbym z podejsciem lagrangeowskim, i calkami po
> trajektoriach, jako ze pozwala ono uniknac dodatkowego pbiektu jaikim
> jest wlasnei struktura symplektyczna itp. Wydaje mi sie ze wykscie z
> symetrii i wprowadzenie przestzreni Hilberta najmniejszym kosztem jak to
> mzlwe, jestwlasciwsze. Ale pewnie wynika to raczej z tego ze mam
> wrazenie ze je lepiej rozumiem, niz z tego ze tak jest wlasciwiej.
Też nie rozumiem co chciałeś powiedzieć. Podejście poprzez całki
funkcjonalne jest fajne i przyjemne rachunkowo, ale doleko mu do
ścisłości sformułowania von Neumanna via tw. spektralne...
nie mówiąc już o algebraicznym sformułowaniu MK.
Kazimierz Kurz
> > Staram sie to pojac i mam nastepujacy komentarz:
> > Operatory unitarne w powyzszym opisie odpowiadaja operacjom nie
> > zmienaijacym normy stanow fizycznych. Jesli norma bylaby zdefiniowana w
> > inny sposob konieczne byloby zapewne uzycie innej klasy operatorow, to
> > znaczy sie mielibysmy inna przestzren Hilberta H a zatem i inna
> > reprezentacje operatorow ewolucji. Skoro zatem nie zmieniamy normy stanu
> > w procesie ewolucji co gwarantuje nam niewychodzenie stanu ukladu poza
> > pzrestrzen Hilberta w trakcei ewolucji fizycznej to postac normy ma
> > bezposredni wplyw na forme operatorow unitarnych. I tak rzeczywistosc
> > formy A w mechanice klasycznej wespol z DEFINICJA normy daje nam postac
> > mechaniki kwantowej jaka mamy.
> I tak właśnie jest - mamy różne reprezentacje systemów Weyla.
> Zależą one od tego jak skonstruujesz sobie (X,A) (mechanikę),
> oraz od konstrukcji H i odwzorowania W.
> Dla przykładu podam Schrodingerowską reprezentację systemu Weyla:
> Niech X będzie przestrzenią C wszystkich liczb zespolonych,
> *rozumianą jako R^2* ; A(z,z') = Im(zz*').
> H = { f \in L^2(R) } (całkowalne w kwadracie), zdefiniujmy:
> (z=x+iy)
> W(x,y)f(u) = W(z)f(u) := exp(-iyu -ixy/2) f(u+x)
> Wtedy (H,W) jest systemem Weyla.
pewnei do tematu wroce, za jakis czas ;-) Ale jesli mozesz
_prosze_o_jeszcze_jedna informacje: czynnik W(i/2 A(x,x')) jest czym? Jakas
reprezentacja grupy operatorow unitarnych generowana przez A? czy cos
takiego?? jakie on ma algebraiczne znaczenie. Skad on sie bierze, ze ma taki
ksztalt a nie inny.
> > Zauwaz ze konstrukcja Systemu Weyla zaczyna sie od _zespolonej_
> > przestrzeni Hilberta. Zatem dlaczego nie zapytac po co ma ona byc zespolona?
> Aby wogóle pytanie jak w temacie miało sens musimy się poruszać
> w ramach danych modeli..inaczej chyba nie można.
> Postaw sobie pytanie: co by było, gdyby H nie była p. Hilberta
> (p.Hilberta z definicji jest zespolona) ale była p. zupełną,
> z rzeczywistą formą kwadratową.
Ogolnie przestzrenie Hilberta nei wymagaja aby byly nad C choc tak sie zwykle
robi. Ale wymogi definicji zakladaja tylko istneinei normy i zupelnosc w
sensie zbieznosc ciagow Cauchyego. Kazda skonczenie wymiarowa przestrzen
wektorowa z norma jest przestrzenia Hilberta automatycznie.
> Aby zachować fizyczną interpretację
> normy stanu powinniśmy rozpatrywać operatory ortogonalne, ergo
> relacja Weyla byłaby taka W(x)W(y) = W(x+y), co na pierwszy rzut
> oka daje nam model równoważny zwykłej mechanice.
Skomentuje to tak ( choc musze sie lepiej na tym poznac): jesli chcemy
odpowiedziec na pytanie: dlaczego liczby zespolone, powinnismy wiedziec
dlaczego zakaldamy przestrzen Hilberta nad C. Poszukiwalbym jakiegos
rozumowania w ktorym wychodzimy z pzrestzreni rzeczywistych, i w wyniku
dostajemy wymog, ze spojnosc teorii, jakas symetria, rzeczywistosc jakichs
widm itp. wymuszaja ze pzrestzren musi byc nad C. Patrz nizej..
> > Dalej pozwole sobie puscic wodze fantazji, co zapewne moze byc zabojcze
> > ( zabijecie mnie smiechem ;-)
[ciach]
> ;) Myślę, że niepotrzebnie mieszasz tu CFT z naszą dyskusją.
nie iem jak zrozumiales wyceity ze wstydu akapit ;-)
CFT jest teoria w ktoptrej:
a) rozwaza sie obiekty rozciagle w D wymiarach ( jest teoria pola)
b) w 2 wymiarach ma ona bogata grupe symetrii rownowazna symetriom konforemnym
c) w naturalny sposob pojawia sie przejscie do finkcji analitycznych gdyz
pojawiaja sie rownania Riemana jako wynik symetrii konforemnej.
Bron boze nie mialem na myslie ze CFT odgrywa tu jakas role w sensie jakiegos
modelu lub uogolnienai MK. Chodzilo mi wylacznie o ogolna wlasnosc
matematyczna teori w R^2 + symetria konforemna -> nawet jesli zacznie sie od
przestrzeni rzeczywistej, skonczy sie na zespolonej.
Zauwaz ze MK jest teoria obiektow rozciaglych: de facto rownanie Schrodingera
ejst przeceiz rownaniem dyfuzji, zas funkcja falowa jest polem tyle ze
niefizycznym. Tym samym jakies analogie, powtarzam, czysto matematyczne,
istnieja. Ta sama struktura teori musi prowadzic do tych samych wlasnosci.
Pytanie w jaki sposob zbudowac taka, matematyczna analogie i czy to wogole
mozliwe.
> Nie rozumiem o co Ci chodzi. Same CFT są specyficznymi teoriami
> kwantowymi.
Owszem -> po skwantowanu. Ja jednak nie tyle mialem na mysli CFT, ktore sa
bardzo zajmujace, ale wprowadzajace w CFT rozumowanie w ktorym sie dowodzi ze
teoria z symetria konforemna w 2 wymiarach jest rownowazna teori funkcji
analitycznych nad C ( bo w wiekszej liczbie wymiarow juz nie).
> Nie wydaje mi się rozsądne zajmować się podstawami MK
> skupając się na pojedynczym przypadku.
Zapewne masz racje. Jednak zauwaz ze matematycznie jak sam zreszta napisales
powyzej, mozna miec struktury Weyla rozmaitych rodzajow, takze komutujace i
rzeczywiste, natomaist intrygujacy jest wlasnie ten jeden przypadek
realizowany przez nature. jesli mozna miec wielka rozmaitosc struktur Weyla,
jaki jest powod ze natura wybrala ta jedna?
W wypadku analogii do STW ( o czym pisze ponizej), przestrzen metryczna moze
miec wiele symetrii zaleznie od okreslenia metryki, jednak jesli zalozy sie
afinicznosc przestrzeni ( w sensie liniowosc transformacji wsp.) to powodem
fizycznym dla ktorego pojawia sie grupa Lorenza jest zasada wzglednosci
Galileusza. Jaki jest zatem fizyczny powod wyboru zespolonej przestrzeni
Hilberta?
POniewaz dyskutujemy o teori ( a moze raczej wrecz metateori) podstawowej,
mianowicie o MK, to moze sie okazac ze fizyczna zasada owa nie jest calkowicie
rozpoznana, lub wrecz moze nie miec jakiegos klasycznego makroskopowego
odpowiednika, i w tym sensie moze nie byc mozliwe jej makroskopowe
sformuowanie. Nie wiem czy taka sytuacja jest mozliwa ale bylaby chyba
najgorsza z mozliwych...
moze jednak jest lepiej i da sie ja wypowiedziec klasycznie, to znaczy sie da
sie ja klasycznie zaobserwowac, tylko jej nie rpozpoznalismy lib nie
dostrzegamy zwiazku z MK.
> No i jeszcze niepotrzebnie
> mieszasz do tego symetrię cechowania - to bardzo pojemny termin -
> - w CFT jest nim np dowolna reparametryzacja, podobnie jak przy
> kwantowaniu punktu materialnego. Ale przecież występuje już
> na poziomie klasycznym.
Tak mysle ze to nieco zaciemnia obraz ale bierze sie to chyba stad ze
zainteresowalo mnie historyczne pytanie Jadczyka natomiast pytanie ktore
naprawde mnie zajmuje to: skad sie biora symetrie cechowania? I pomyslalem
sobie,ze byc moze istnieje zwiazk z tym, ze MK wymaga zespolonych przestzreni
H. W gruncie rzeczy mysle jednak ze pytanie o pochodzenie pol cechowania jest
znacznie ciekawsze, zas ich zwiazek z lokalnym cechowaniem jest zupelnie
podstawowy i niebanalny.
Jesli przypomnisz sobie jak wyprowadza sie symetrie Lorenza, zobaczysz ze
wystarczy serio potraktowac zasade wzglednosci Galileusza i zalozyc
afinicznosc przestrzeni. Mysle ze w wypadku symetri cechowania i jej zwiazkow
z lokalna zmiana fazy, moglaby istniec jakas ogolna zaad fizyczna majaca
rownie fundamentalny charakter jak zasada wzglednosci Galileusza dla grupy
Lorenza/Pincare, ale nie jest ona dotychczas ropzpoznana lub wrecz znana. Nie
wydaje mi sie aby natura miala trwonic sily ;-) na zabawe olbrzymia iloscia
niefizycznych stopni swobody, ktorych jednak nijak pominac nie mozna, bo w
odpowiednich warunkach staja sie fizyczne. Jest to temat na frapujaca dyskusje
ale nie wiem czy masz ochote ja propwadzic wiec na tym skoncze.
zaznacze tylko ze nie mam tu na mysli kwantowych pol cechowania tylko zwykly
fakt wprowadzanie minimalnego spzrezenia pola cechowania ( klasycznego) z
funkcja falowa materii.
> > Nie jest okreslone ze np. wprowadzenie mechaniki kwantowej za
> > pomoca kwantowania symplektomorfizmow na rozmaitosci symplektycznej
> > odpowiadajacej ukladowi klasycznemu jest najwlasciwszym. Osobiscie
> > wieksze nadzieje wiazalbym z podejsciem lagrangeowskim, i calkami po
> > trajektoriach, jako ze pozwala ono uniknac dodatkowego pbiektu jaikim
> > jest wlasnei struktura symplektyczna itp. Wydaje mi sie ze wykscie z
> > symetrii i wprowadzenie przestzreni Hilberta najmniejszym kosztem jak to
> > mzlwe, jestwlasciwsze. Ale pewnie wynika to raczej z tego ze mam
> > wrazenie ze je lepiej rozumiem, niz z tego ze tak jest wlasciwiej.
> Też nie rozumiem co chciałeś powiedzieć. Podejście poprzez całki
> funkcjonalne jest fajne i przyjemne rachunkowo, ale doleko mu do
> ścisłości sformułowania von Neumanna via tw. spektralne...
> nie mówiąc już o algebraicznym sformułowaniu MK.
Temu nie pzrecze, jednak sformuowanie onNeumanna lub algebraiczne wymyslone sa
po to aby badac konsekwencje zalozenia okreslonej struktury dla MK, a nie
badac skad sie ta struktura bierze. To jest dokladnie tak samo jak z kazda
teoria aksjomatyczna: zwykle bada sie w niej konsekwencje aksjomatow, ale nie
ich zasadnosc, co wymaga ogolniejszego podejscia. Zgadzam sie jednak
oczywiscie ze w dziedzinach o ktorych piszesz zrobiono bardzo wiele pieknych
choc trodnych rzeczy.
Pozdrawiam i dziekuje
PFG
wrote:
>Ogolnie przestzrenie Hilberta nei wymagaja aby byly nad C choc tak sie zwykle
>robi. Ale wymogi definicji zakladaja tylko istneinei normy
Iloczynu skalarnego, nie normy. Mogą być normy nieindukowane przez żadnen
iloczyn skalarny. To *nie* jest nieważne rozróżnienie.
Kazek Kurz
> "Kazimierz Kurz" <ka...@gazeta.SKASUJ-TO.pl> in <dum22h$su3$1...@inews.gazeta.pl>
> wrote:
>>Ogolnie przestzrenie Hilberta nei wymagaja aby byly nad C choc tak sie zwykle
>>robi. Ale wymogi definicji zakladaja tylko istneinei normy
> Iloczynu skalarnego, nie normy. Mogą być normy nieindukowane przez żadnen
> iloczyn skalarny. To *nie* jest nieważne rozróżnienie.
Bo ogolnie z pewnoscia, ale w kontekscie o ktorym mowimy chyba nie, prawda?
kazek
PFG
<ka...@tlendwuczasteczkowy.pl> wrote:
>PFG wrote:
>> "Kazimierz Kurz" <ka...@gazeta.SKASUJ-TO.pl> in <dum22h$su3$1...@inews.gazeta.pl>
>> wrote:
>>>Ogolnie przestzrenie Hilberta nei wymagaja aby byly nad C choc tak sie zwykle
>>>robi. Ale wymogi definicji zakladaja tylko istneinei normy
>> Iloczynu skalarnego, nie normy. Mogą być normy nieindukowane przez żadnen
>> iloczyn skalarny. To *nie* jest nieważne rozróżnienie.
>Pawle: w kontekscie o ktorym mowimy czy ogolnie?
>Bo ogolnie z pewnoscia, ale w kontekscie o ktorym mowimy chyba nie, prawda?
Nieprawda. Iloczyn skalarny w mechanice kwantowej *jest* potrzebny.
Jak bez iloczynu skalarnego będziesz wyliczał prawdopodobieństwa
zajścia poszczególnych wyników? Czy też, bardziej formalnie, jak bez
iloczynu skalarnego zrobisz rozkład spektralny?
--
Paweł (kozak frajer)
Kazek Kurz
> On Wed, 08 Mar 2006 18:01:56 +0100, Kazek Kurz
> <ka...@tlendwuczasteczkowy.pl> wrote:
>>PFG wrote:
>>>"Kazimierz Kurz" <ka...@gazeta.SKASUJ-TO.pl> in <dum22h$su3$1...@inews.gazeta.pl>
>>>wrote:
>>>
>>>>Ogolnie przestzrenie Hilberta nei wymagaja aby byly nad C choc tak sie zwykle
>>>>robi. Ale wymogi definicji zakladaja tylko istneinei normy
>>>Iloczynu skalarnego, nie normy. Mogą być normy nieindukowane przez żadnen
>>>iloczyn skalarny. To *nie* jest nieważne rozróżnienie
>>Bo ogolnie z pewnoscia, ale w kontekscie o ktorym mowimy chyba nie, prawda?
> Nieprawda. Iloczyn skalarny w mechanice kwantowej *jest* potrzebny.
> Jak bez iloczynu skalarnego będziesz wyliczał prawdopodobieństwa
> zajścia poszczególnych wyników? Czy też, bardziej formalnie, jak bez
> iloczynu skalarnego zrobisz rozkład spektralny?
Zagapilem sie i nieco inaczej zrozumielam to co piszesz.
Ok, zgoda. Nie to jest tematem dyskusji.
Marek Józefowski
[...]
>> W(x,y)f(u) = W(z)f(u) := exp(-iyu -ixy/2) f(u+x)
>> Wtedy (H,W) jest systemem Weyla.
> Bardzo mnie zainteresowalo to co piszesz i musze sobie o tym doczytac, wiec
> pewnei do tematu wroce, za jakis czas ;-) Ale jesli mozesz
> _prosze_o_jeszcze_jedna informacje: czynnik W(i/2 A(x,x')) jest czym? Jakas
> reprezentacja grupy operatorow unitarnych generowana przez A? czy cos
> takiego?? jakie on ma algebraiczne znaczenie. Skad on sie bierze, ze ma taki
> ksztalt a nie inny.
>
Jest to potrzebne, aby odtworzyć relację Heisenberga,
która jest bardziej znana. Istnieje odpowiednie do tego twierdzenie.
Oczywiście relacja ta to [F(x),F(y)] = -iA(x,y)*1.
Operatory samosprzężone F() są to operatory generujące
jednoparametrową grupę unitarną t:-->W(tx) dla ustalonego x.
Istnienie takiego operatora gwarantuje nam tw. Stone'a.
Relacja Weyla jest lepsza pod tym względem, gdyż dla operatorów
F trzeba określać dziedziny etc...
[....]
> Ogolnie przestzrenie Hilberta nei wymagaja aby byly nad C choc tak sie zwykle
> robi. Ale wymogi definicji zakladaja tylko istneinei normy i zupelnosc w
> sensie zbieznosc ciagow Cauchyego. Kazda skonczenie wymiarowa przestrzen
> wektorowa z norma jest przestrzenia Hilberta automatycznie.
>
>> Aby zachować fizyczną interpretację
>> normy stanu powinniśmy rozpatrywać operatory ortogonalne, ergo
>> relacja Weyla byłaby taka W(x)W(y) = W(x+y), co na pierwszy rzut
>> oka daje nam model równoważny zwykłej mechanice.
> Skomentuje to tak ( choc musze sie lepiej na tym poznac): jesli chcemy
> odpowiedziec na pytanie: dlaczego liczby zespolone, powinnismy wiedziec
> dlaczego zakaldamy przestrzen Hilberta nad C. Poszukiwalbym jakiegos
> rozumowania w ktorym wychodzimy z pzrestzreni rzeczywistych, i w wyniku
> dostajemy wymog, ze spojnosc teorii, jakas symetria, rzeczywistosc jakichs
> widm itp. wymuszaja ze pzrestzren musi byc nad C. Patrz nizej..
Ta relacja tłumaczy się na relację Heisenberga typu
[F(x),F(y)] = 0
>>> Dalej pozwole sobie puscic wodze fantazji, co zapewne moze byc zabojcze
>>> ( zabijecie mnie smiechem ;-)
> [ciach]
>> ;) Myślę, że niepotrzebnie mieszasz tu CFT z naszą dyskusją.
> nie iem jak zrozumiales wyceity ze wstydu akapit ;-)
> CFT jest teoria w ktoptrej:
> a) rozwaza sie obiekty rozciagle w D wymiarach ( jest teoria pola)
> b) w 2 wymiarach ma ona bogata grupe symetrii rownowazna symetriom konforemnym
> c) w naturalny sposob pojawia sie przejscie do finkcji analitycznych gdyz
> pojawiaja sie rownania Riemana jako wynik symetrii konforemnej.
> Bron boze nie mialem na myslie ze CFT odgrywa tu jakas role w sensie jakiegos
> modelu lub uogolnienai MK. Chodzilo mi wylacznie o ogolna wlasnosc
> matematyczna teori w R^2 + symetria konforemna -> nawet jesli zacznie sie od
> przestrzeni rzeczywistej, skonczy sie na zespolonej.
> Zauwaz ze MK jest teoria obiektow rozciaglych: de facto rownanie Schrodingera
> ejst przeceiz rownaniem dyfuzji, zas funkcja falowa jest polem tyle ze
> niefizycznym. Tym samym jakies analogie, powtarzam, czysto matematyczne,
> istnieja. Ta sama struktura teori musi prowadzic do tych samych wlasnosci.
> Pytanie w jaki sposob zbudowac taka, matematyczna analogie i czy to wogole
> mozliwe.
To rozumię (sam tu kiedyś napisałem nt "mini wykład") nie rozumiem
tylko czemu nagle wyskoczyłeś z tą CFT. To, że 2-wymiarowa teoria
pola swobodnego, konforemna, jest holomorficzna nie jest związane z
kwantami...ani wogóle z fizyką. To czysty efekt geometryczny,
tego, że w 2-wymiarach grupa konforemna jest oo wymiarowa.
>
>> Nie rozumiem o co Ci chodzi. Same CFT są specyficznymi teoriami
>> kwantowymi.
> Owszem -> po skwantowanu. Ja jednak nie tyle mialem na mysli CFT, ktore sa
> bardzo zajmujace, ale wprowadzajace w CFT rozumowanie w ktorym sie dowodzi ze
> teoria z symetria konforemna w 2 wymiarach jest rownowazna teori funkcji
> analitycznych nad C ( bo w wiekszej liczbie wymiarow juz nie).
W zastosowaniach praktycznych -"w fizyce"? ;) - jest użyteczna w teorii
strun.
>
>> Nie wydaje mi się rozsądne zajmować się podstawami MK
>> skupając się na pojedynczym przypadku.
> Zapewne masz racje. Jednak zauwaz ze matematycznie jak sam zreszta napisales
> powyzej, mozna miec struktury Weyla rozmaitych rodzajow, takze komutujace i
> rzeczywiste, natomaist intrygujacy jest wlasnie ten jeden przypadek
> realizowany przez nature. jesli mozna miec wielka rozmaitosc struktur Weyla,
> jaki jest powod ze natura wybrala ta jedna?
Chyba za wielkie słowa "o wyborze natury" etc...może bym tak napisał
15 lat temu ;). To wszystko o czym mówimy jest umiejscowione
w kontekście danej teorii...a dlaczego tej a nie innej?
Ana dlatego, że taką mamy i sprawdza się w doświadczalnej praktyce.
Aby mieć nadzieję na odpowiedź na Twoje pytania należałoby
mieć teorię tworzenia "dobrych teorii" ;)
[...]
> Tak mysle ze to nieco zaciemnia obraz ale bierze sie to chyba stad ze
> zainteresowalo mnie historyczne pytanie Jadczyka natomiast pytanie ktore
> naprawde mnie zajmuje to: skad sie biora symetrie cechowania? I pomyslalem
> sobie,ze byc moze istnieje zwiazk z tym, ze MK wymaga zespolonych przestzreni
> H. W gruncie rzeczy mysle jednak ze pytanie o pochodzenie pol cechowania jest
> znacznie ciekawsze, zas ich zwiazek z lokalnym cechowaniem jest zupelnie
> podstawowy i niebanalny.
> Jesli przypomnisz sobie jak wyprowadza sie symetrie Lorenza, zobaczysz ze
> wystarczy serio potraktowac zasade wzglednosci Galileusza i zalozyc
> afinicznosc przestrzeni. Mysle ze w wypadku symetri cechowania i jej zwiazkow
> z lokalna zmiana fazy, moglaby istniec jakas ogolna zaad fizyczna majaca
> rownie fundamentalny charakter jak zasada wzglednosci Galileusza dla grupy
> Lorenza/Pincare, ale nie jest ona dotychczas ropzpoznana lub wrecz znana. Nie
> wydaje mi sie aby natura miala trwonic sily ;-) na zabawe olbrzymia iloscia
> niefizycznych stopni swobody, ktorych jednak nijak pominac nie mozna, bo w
> odpowiednich warunkach staja sie fizyczne. Jest to temat na frapujaca dyskusje
> ale nie wiem czy masz ochote ja propwadzic wiec na tym skoncze.
> zaznacze tylko ze nie mam tu na mysli kwantowych pol cechowania tylko zwykly
> fakt wprowadzanie minimalnego spzrezenia pola cechowania ( klasycznego) z
> funkcja falowa materii.
Hmm...
są różne symetrie cechowania, jedne wbudowane w model, pojawiające się
w systemach osobliwych (z więzami) - przykładem jest tu reparametryzacja
w działaniu dla relatywistycznego punktu materialnego - oraz symetrie
włożone (że tak powiem ręcznie) - symetrie U(1) SU(2) etc...
To co można powiedzieć ogólnego zawiera się w tw. Colemana-Manduli -
- jednego z ważniejszych twierdzeń typu "no go".
Jednym z jego wniosków jest to, że sensownych fizycznych przewidywań
w przypadku kwantowej teorii pola możemy spodziewać się gdy te grupy
są zwarte - mające zwarte algebry Lie.
Dużo ciekawiej jest w teoriach supersymetrycznych - tu rzeczywiście
wchodzi w grę jakaś struktura zespolona. Nie ma ona nic wspólnego z
geometrią przestrzeni. W skrócie: teorie SUSY można bardzo sprytnie
uogólniać stosując geometrię Kahlera - pola bozonowe są współrzędnymi
takiej "rozmaitości Kahlera" , pola fermionowe należą do wiązki stycznej...
... "ucechowienie" uzyskuje się wykorzystując specyficzne
własności geometrii Kahlera.
[...]
Kazek Kurz
> Kazimierz Kurz wrote on 08/03/2006 8:45 am:
>
> [...]
>
>>>Wtedy (H,W) jest systemem Weyla.
>>Bardzo mnie zainteresowalo to co piszesz i musze sobie o tym doczytac, wiec
>>pewnei do tematu wroce, za jakis czas ;-) Ale jesli mozesz
>>_prosze_o_jeszcze_jedna informacje: czynnik W(i/2 A(x,x')) jest czym? Jakas
>>reprezentacja grupy operatorow unitarnych generowana przez A? czy cos
>>takiego?? jakie on ma algebraiczne znaczenie. Skad on sie bierze, ze ma taki
>>ksztalt a nie inny.
> Jest to potrzebne, aby odtworzyć relację Heisenberga,
> która jest bardziej znana. Istnieje odpowiednie do tego twierdzenie.
> Oczywiście relacja ta to [F(x),F(y)] = -iA(x,y)*1.
> Operatory samosprzężone F() są to operatory generujące
> jednoparametrową grupę unitarną t:-->W(tx) dla ustalonego x.
> Istnienie takiego operatora gwarantuje nam tw. Stone'a.
> Relacja Weyla jest lepsza pod tym względem, gdyż dla operatorów
> F trzeba określać dziedziny etc...
relacji (*) jest wyrazenie exp(f(x,x')). jak ono sie ma do struktury
algebraicznnej przestrzeni Hilberta H. Pisales ze skoro ewolucja jest
zadana operatorami unitarnymi, to w konsrukcji owego f wykozystuje sie
forme symplektyczna, czyli de facto nawiasy Poissona. tak to
przynajmniej zrozumialem zas samo wyrazenie jest unitarne ( exp(i *
costam) ) co przupomina jakas konkretna reprezentacje grupy operatorow
unitarnych.
Zacytuje Cie jeszcze raz:
"Definicja: Symplektyczną p. wektorową nazywamy parę (X,A),
gdzie X jest rzeczywistą topologiczną p. wektorową, a "A" ciągłą
Algebraiczna konstrukcja MK polega na wprawadzeniu tzw
"systemu Weyla nad (X,A):
Definicja: Systemem Weyla nad rzeczywistą wektorową p. symplektyczną
(X,A) nazywamy parę (H,W) , gdzie H jest zespoloną p. Hilberta,
a "W" jest ciągłym (w sensie silnej topologii operatorowej)
odwzorowaniem ( W:X -->U(H) ) przyporządkującym elementy x \in X
operatory unitarne należące do H, i spełniającym relację (Weyla):
W(x)W(x') = exp[i/2 A(x,x')] W(x+x') = G(x,x')*W(x+x') [dopisek moj] (**)
Widzisz więc, że aby relacja Weyla (która jest odpowiednikiem
kanonicznych relacji komutacji Heisenberga) była konsystentna -
- nie wyprowadzała wartości W ze zbioru operatorów unitarnych -
musi być pod exponentą wartość urojona...a więc "i" ,ponieważ
A() jest formą rzeczywistą."
czyli we wzorze (**) pojawia sie pewna wielkosc G(x,x') a ze calosc ma
byc przyporzadkowaniem idacym od x do U(H) to de facto mamy do czynienia
z jakas struktura algebraiczna. jakie warunki musi spelniac w tej
strukturze to co oznaczylem jako G? Rozumiem ze jest zdefiniowana jako
exp(1/2 A(x,x') ) gdzie A jest odpowiednia forma symplektyczna systemu
kwantowego. czy jednak czescia konstrukcji jest tu fakt ze jest to rowne
dokladnie tyle, czy tez moze ma byc to jakas wielksoc bedaca
reprezentacja grupy generujacej ewolucje w ukladzie klasycznym
uzgodniona z definicja przestrzeni Hilberta ukladu kwantowego?
co do reszty: Doczytam. Znalazlem pasjonujacy choc trodny artykol o
geometrycznym kwantowaniu wiec mozxe cos sie dowiem...
>>Pytanie w jaki sposob zbudowac taka, matematyczna analogie i czy to wogole
>>mozliwe.
> To rozumię (sam tu kiedyś napisałem nt "mini wykład") nie rozumiem
> tylko czemu nagle wyskoczyłeś z tą CFT. To, że 2-wymiarowa teoria
> pola swobodnego, konforemna, jest holomorficzna nie jest związane z
> kwantami...ani wogóle z fizyką. To czysty efekt geometryczny,
> tego, że w 2-wymiarach grupa konforemna jest oo wymiarowa.
No wlasnie. ALe taka fundamentalna wlasnosc jest bardzo interesujaca.
Wlasnie przypomnalem sobie takze nastepujace fakty:
w mechanice klasycznej, na rozmaitosci symplektycznej jest okreslona
forma objetosci, pewnie daloby sie takze okreslic forme metryczna...
Grupa transformacji wspolrzednbych bedacych symetria ukladu jest klasa
transformacji kanonicznych.
Widze tu ciagle jakies odlegle analogie wlasnie do wlasnosci grupy
konforemnej w 2 wymiarach.
mechanika kwantowa jest teoria obiektow rozciaglych...
>>>Nie rozumiem o co Ci chodzi. Same CFT są specyficznymi teoriami
>>>kwantowymi.
>>Owszem -> po skwantowanu. Ja jednak nie tyle mialem na mysli CFT, ktore sa
>>bardzo zajmujace, ale wprowadzajace w CFT rozumowanie w ktorym sie dowodzi ze
>>teoria z symetria konforemna w 2 wymiarach jest rownowazna teori funkcji
>>analitycznych nad C ( bo w wiekszej liczbie wymiarow juz nie).
> W zastosowaniach praktycznych -"w fizyce"? ;) - jest użyteczna w teorii
> strun.
A tak. I wlasciwie stamtad sie pojawil caly pomysl. Mysle ze cos
glebokiego jest w tych wlasnosciach, i tak wlasnie niesmialo mi sie roi
ze moze owa glebokosc pojawia sie w mechanice kwantowej tylnimi drzwiami...
>>>Nie wydaje mi się rozsądne zajmować się podstawami MK
>>>skupając się na pojedynczym przypadku.
>>Zapewne masz racje. Jednak zauwaz ze matematycznie jak sam zreszta napisales
>>powyzej, mozna miec struktury Weyla rozmaitych rodzajow, takze komutujace i
>>rzeczywiste, natomaist intrygujacy jest wlasnie ten jeden przypadek
>>realizowany przez nature. jesli mozna miec wielka rozmaitosc struktur Weyla,
>>jaki jest powod ze natura wybrala ta jedna?
> Chyba za wielkie słowa "o wyborze natury" etc...może bym tak napisał
> 15 lat temu ;). To wszystko o czym mówimy jest umiejscowione
> w kontekście danej teorii...a dlaczego tej a nie innej?
> Ana dlatego, że taką mamy i sprawdza się w doświadczalnej praktyce.
> Aby mieć nadzieję na odpowiedź na Twoje pytania należałoby
> mieć teorię tworzenia "dobrych teorii" ;)
;-) eee, wtedy to byloby latwo...
A na serio, wiesz: sa teorie doskonale i teorie dobre. QTW, Mechanika
klasyczna i kwntowa sa z pewnoscia doskonale. I mysle ze teorie z
cechowaniem takze sa doskonale, co zreszta przejawia sie w miedzy innymi
w tym, ze w praktyce wszystkie oddzialywania fundamentalne jakos tam sa
polami cechowania ( scislej przejawiaja pewne cechy zwiazane z symetria
cechowania, grawitacja tak troche, reszta w calosci).
Mysle ze to ma jakies glebsze podstawy. To takie ogolniki: ja wiem...
[ciach]
> Hmm...
> są różne symetrie cechowania, jedne wbudowane w model, pojawiające się
> w systemach osobliwych (z więzami) - przykładem jest tu reparametryzacja
> w działaniu dla relatywistycznego punktu materialnego - oraz symetrie
> włożone (że tak powiem ręcznie) - symetrie U(1) SU(2) etc...
Ale to jest w sumie zbieznosc terminologiczna. czysto
slownikowo-jezykowa. ja mam na mysli to co pojawia sie w wyniku
symetrrii zwiazanych ze zmiana fazy oraz jego uogolnieniem na symetrie
nieabelowe. Teorie wyzszego rzedu, unifikujace te oddzialywania maja
jeszcze wyzsze grupy symetrii, i w sumie jakas GUT powinna byc calkiem
symetryczna ;-) Problem w tym, ze mialoby to oznaczac, ze w dostatecznie
duzych energiach materia jaka znamy ma cala mase niefizycznych ( w tym
zakresie energii) stopni swobody. A ja w to nie wierze: mysle ze
wszystkie te stopnie swobody sa do czegos potrzebne. Ze nie jest to li
tylko wewnetrzna symetria opisu, ale ze podobnie jak symetria opisu w
OTW jest to zwiazane np. z dowolnoscia wyboru ukladu wsporzednych, albo
z jakas inna swoboda bedaca cecha obserwatora, a wiec rzeczywistosci, a
wiec fizyki, a nie jedynie symetria struktury matematycznej zlozonej z
normy ktora jest nieczula na zmiane fazy powiedzmy...troche trywializujac..
> To co można powiedzieć ogólnego zawiera się w tw. Colemana-Manduli -
> - jednego z ważniejszych twierdzeń typu "no go".
> Jednym z jego wniosków jest to, że sensownych fizycznych przewidywań
> w przypadku kwantowej teorii pola możemy spodziewać się gdy te grupy
> są zwarte - mające zwarte algebry Lie.
Zwarte - niezwarte - owszem to wazne i interesuajce, ale nie wyjasnia
dlaczego takie symetrie pelnia tak wazna role wogole....
> Dużo ciekawiej jest w teoriach supersymetrycznych - tu rzeczywiście
> wchodzi w grę jakaś struktura zespolona. Nie ma ona nic wspólnego z
> geometrią przestrzeni. W skrócie: teorie SUSY można bardzo sprytnie
> uogólniać stosując geometrię Kahlera - pola bozonowe są współrzędnymi
> takiej "rozmaitości Kahlera" , pola fermionowe należą do wiązki stycznej...
> ... "ucechowienie" uzyskuje się wykorzystując specyficzne
> własności geometrii Kahlera.
O tego juz chba w tym zyciu nie pojme.
Nie mozna gonic za wszystkim.
DFzieki za interesujaca dyskusje.
Jak cos zrozumiem z artykulu o kwantyzacji postaram sie opisac.
Kazek
Marek Józefowski
Kazku...myślę, że zrozumiałem, i mogę Ci powtórzyć to samo.
Tam musi być i/2 A, aby odtwarzała się relacja Heisenbera.
BTW, określenie systemu Weyla to tylko początek - przygotowanie
gruntu, a operatory W(x) nie mają wiele wspólnego z ewolucją.
Na razie o żadnej ewolucji nie ma mowy. W "zwykłym" ujęciu
mamy operatory samosprzężone jako obserwable - tutaj mamy
operatory unitarne W(x) ,z których można otrzymać operatory
samosprzężone za pośrednictwem tw. Stone'a.
Wprawadzenie ewolucji (czyli dynamiki) do systemu Weyla to całkiem
inna bajka.
Może na przykładzie mechaniki z p.fazową 2-wymiarową p,q:
ma ona strukturę symplektyczną {F(q,p),G(q,p)}; {} - nawias Poissona.
I many W(F(..)) - operator unitarny.
Za pośrednictwem tw Stone'a odpowiada mu operator samosprzężony
F* , który jest kwantowym odpowiednikiem klasycznej wielkości F.
Jeżeli za F i G weźmiesz p i q, to dostaniesz standardowe
relacje komutacji. Oczywiście, to wszystko jest bardzo nieprecyzyjne,
ale zapewniam Cię, że istnieją odpowiednie twierdzenia.
[...]
>> To rozumię (sam tu kiedyś napisałem nt "mini wykład") nie rozumiem
>> tylko czemu nagle wyskoczyłeś z tą CFT. To, że 2-wymiarowa teoria
>> pola swobodnego, konforemna, jest holomorficzna nie jest związane z
>> kwantami...ani wogóle z fizyką. To czysty efekt geometryczny,
>> tego, że w 2-wymiarach grupa konforemna jest oo wymiarowa.
> No wlasnie. ALe taka fundamentalna wlasnosc jest bardzo interesujaca.
> Wlasnie przypomnalem sobie takze nastepujace fakty:
> w mechanice klasycznej, na rozmaitosci symplektycznej jest okreslona
> forma objetosci, pewnie daloby sie takze okreslic forme metryczna...
Zazwyczaj jest, pomijając jakieś wydumane przypadki... jak inaczej
wprowadziłbyć energię kinetyczną?
> Grupa transformacji wspolrzednbych bedacych symetria ukladu jest klasa
> transformacji kanonicznych.
> Widze tu ciagle jakies odlegle analogie wlasnie do wlasnosci grupy
> konforemnej w 2 wymiarach.
> mechanika kwantowa jest teoria obiektow rozciaglych...
Tego nie rozumię.
[...]
>> W zastosowaniach praktycznych -"w fizyce"? ;) - jest użyteczna w teorii
>> strun.
> A tak. I wlasciwie stamtad sie pojawil caly pomysl. Mysle ze cos
> glebokiego jest w tych wlasnosciach, i tak wlasnie niesmialo mi sie roi
> ze moze owa glebokosc pojawia sie w mechanice kwantowej tylnimi drzwiami...
>
Wogóle nie widzę tu związku z "kwantami" jako takimi.
[...]
>> Hmm...
>> są różne symetrie cechowania, jedne wbudowane w model, pojawiające się
>> w systemach osobliwych (z więzami) - przykładem jest tu reparametryzacja
>> w działaniu dla relatywistycznego punktu materialnego - oraz symetrie
>> włożone (że tak powiem ręcznie) - symetrie U(1) SU(2) etc...
> Ale to jest w sumie zbieznosc terminologiczna. czysto
> slownikowo-jezykowa. ja mam na mysli to co pojawia sie w wyniku
> symetrrii zwiazanych ze zmiana fazy oraz jego uogolnieniem na symetrie
> nieabelowe. Teorie wyzszego rzedu, unifikujace te oddzialywania maja
> jeszcze wyzsze grupy symetrii, i w sumie jakas GUT powinna byc calkiem
> symetryczna ;-) Problem w tym, ze mialoby to oznaczac, ze w dostatecznie
> duzych energiach materia jaka znamy ma cala mase niefizycznych ( w tym
> zakresie energii) stopni swobody. A ja w to nie wierze: mysle ze
> wszystkie te stopnie swobody sa do czegos potrzebne. Ze nie jest to li
> tylko wewnetrzna symetria opisu, ale ze podobnie jak symetria opisu w
> OTW jest to zwiazane np. z dowolnoscia wyboru ukladu wsporzednych, albo
> z jakas inna swoboda bedaca cecha obserwatora, a wiec rzeczywistosci, a
> wiec fizyki, a nie jedynie symetria struktury matematycznej zlozonej z
> normy ktora jest nieczula na zmiane fazy powiedzmy...troche trywializujac..
>
Rozumiem, Tobie chodzi o symetrie cechowania w teoriach Yanga-Millsa.
Ja tylko zwróciłem uwagę, że to termin pojemniejszy: np
OTW można rozumieć jako teorię z grupą cechowania: lokalna grupa Lorentza
L_mn(x)..itd. Tylko tyle.
>> To co można powiedzieć ogólnego zawiera się w tw. Colemana-Manduli -
>> - jednego z ważniejszych twierdzeń typu "no go".
>> Jednym z jego wniosków jest to, że sensownych fizycznych przewidywań
>> w przypadku kwantowej teorii pola możemy spodziewać się gdy te grupy
>> są zwarte - mające zwarte algebry Lie.
> Zwarte - niezwarte - owszem to wazne i interesuajce, ale nie wyjasnia
> dlaczego takie symetrie pelnia tak wazna role wogole....
Tu trzeba pytać filozofa...lub księdza ;-)
>> Dużo ciekawiej jest w teoriach supersymetrycznych - tu rzeczywiście
>> wchodzi w grę jakaś struktura zespolona. Nie ma ona nic wspólnego z
>> geometrią przestrzeni. W skrócie: teorie SUSY można bardzo sprytnie
>> uogólniać stosując geometrię Kahlera - pola bozonowe są współrzędnymi
>> takiej "rozmaitości Kahlera" , pola fermionowe należą do wiązki stycznej...
>> ... "ucechowienie" uzyskuje się wykorzystując specyficzne
>> własności geometrii Kahlera.
> O tego juz chba w tym zyciu nie pojme.
> Nie mozna gonic za wszystkim.
W przyszłości, być może coś na ten temat napiszę.
Kazek Kurz
> Kazek Kurz wrote on 08/03/2006 10:48 pm:
> Kazku...myślę, że zrozumiałem, i mogę Ci powtórzyć to samo.
>>>To rozumię (sam tu kiedyś napisałem nt "mini wykład") nie rozumiem
>>>tylko czemu nagle wyskoczyłeś z tą CFT.
>>Wlasnie przypomnalem sobie takze nastepujace fakty:
>>w mechanice klasycznej, na rozmaitosci symplektycznej jest okreslona
>>forma objetosci, pewnie daloby sie takze okreslic forme metryczna...
> Zazwyczaj jest, pomijając jakieś wydumane przypadki... jak inaczej
> wprowadziłbyć energię kinetyczną?
>>Grupa transformacji wspolrzednbych bedacych symetria ukladu jest klasa
>>transformacji kanonicznych.
>>Widze tu ciagle jakies odlegle analogie wlasnie do wlasnosci grupy
>>konforemnej w 2 wymiarach.
>>mechanika kwantowa jest teoria obiektow rozciaglych...
> Tego nie rozumię.
powolywalem sie piszac o grupie konforemnej. Brakuje mi kilku rzeczy:
a) nie wiem skad mialyby sie wziasc owe 2 wymiary ;-)
b) skad mialaby sie brac symetria konforemna, w sensie dlaczego uklad
mialby doznawac dzialania jakiejs grupy zmieniajacej wspolrzedne co
powinno miec jakies uzasadnienie fizyczne.
I oto okazuje sie ze przy analizie systemow lagranzowskich dopuszczalne
sa dowolne lokalnie okreslone zamiany wsporzednych ( inaczej niz w
sformuowanieu hamiltonowskim, gdzie wielkosci p i q sa tylk pozornie
niezalezne co prowadzi do koniecznosci rozwazania transformacji
kanonicznych). tak wiec w mechanice lagranzowskiej, mamy przestrzen R^N,
mamy grupe dowolnych zmian wsporzednych, pytanie skad wziasc tam
strukture metryczna no i skad wziasc owe 2 wymiary ;-)
ja wiem : to nie jest powazne zajecie ale przeciez przy okazji takich
dywagacji sporo mozna sie dowiedziec czytajac to i owo...
> Rozumiem, Tobie chodzi o symetrie cechowania w teoriach Yanga-Millsa.
> Ja tylko zwróciłem uwagę, że to termin pojemniejszy: np
> OTW można rozumieć jako teorię z grupą cechowania: lokalna grupa Lorentza
> L_mn(x)..itd. Tylko tyle.
OK. A to akurat powinno miec jakis zwiazek... A prznajmniej fajnie by
bylo gdyby mialo ;-)
>>Zwarte - niezwarte - owszem to wazne i interesuajce, ale nie wyjasnia
>>dlaczego takie symetrie pelnia tak wazna role wogole....
> Tu trzeba pytać filozofa...lub księdza ;-)
;-) no wlasnie ;-)
Ale na serio: to naprawde niebanalne, choc faktycznie filozoficzne
pytanie: dlaczego symetria jest tak wazna? Oczywiscie mozna zamknac
wszytskim usta mowiac, ze taki jest swiat, albo ze ludzie tak wlasnie
postrzegaja rzeczywistosc. Jednak mysle ze to bardzo glebokie pytanie:
dlaczego definicja ukladu fizycznego ( co najmniej jesli chodzi o
oddzialywania fundamentalne tak jest) moze zostac poprawnie
skonstruowana za pomoca 3 rzeczy: okreslenia przestrzeni na ktorej
dzialamy, okreslenia symetrii i zasady ekonomii ( np. minimalne sprzezenie).
Mysle ze nauka szczegolnie ta analizujaca pola fundamentalne, mowi cos
istotnego o rzeczywistosci, to znaczy sie wierze ze nie jest to tylko
matematyczny model ktory mozna by wymienic na dowolny inny, jak pisze
czesto Maciek Wozniak.
Sadze ze jakie by te modele nie byly, pewna prawda o rzczywistosci ktora
z nich wynika jest mniej wiecej ta sama, i osoby ktore patrza na nie (
na te rozne modele np. mechaniki kwantowej: algebraiczne, przez calki po
trajektoriach, kiedys Heisenberga i Schrodingera itp.) jako na oderwane
od siebie teorie aksjomatyczne maja tendencje do zapominania ze
wszytskie te teorie opisuja to samo ( w najgorszym wyoadku mozna to
nazwac: ludzkim zrozumieniem swiata, w najlepszym prawda o obiektywnej
rzeczywistosci). A tym samym nawet jesli uzywaja roznych systemow
aksjomatow, w istocie staraja sie wypowiedziec jedna prawde, i co wiecej
mysle ze ta prawda jest osiagalna w jakims zakresie ludzkiemu poznaniu.
W tym kontekscie rola jaka pelni symetria jest wlasciwie najwazniejsza,
gdyz to ona jest tym co jest specyficzne wsrod owych 3 spraw: to ona
wlasnie definiuje fizyke. To nie jest trywialne stwierdzenie faktu ze
czlowiek dokouje abstrchowania sytualcji fizycznej pomijajac wszytsko co
zbedne i konstruuje taki wyidealizowany model w ktorym symetria jest po
prostu tylko ulatwieniem technicznym. Jesli taki model opisuje
prawidlowo rzeczy w skalach od milionow kilometrow do wnetrza protonu,
to owa symetria nie moze byc tylko zachcianka pana od fizyki...
A z kolei jesli symetrie transformacyujne ( translacje i obroty) odnosza
sie do namacalnych doznan na temat geometrii czy nie byloby rozsadnie
poszukiwac rownie szczegolnego sposobu uzasadnienia tych innych
symetrrii? Piszac szczegolnego mam na mysli: fizycznego, nie
matematycznego ale wlasnie fizycznego, zwiazanego z jakimis wlasnosciami
niemodelu ale swiata?
Nie wiedac przeciez zadnych powodow dla ktorych powiedzmy sprzezenie
pola EM z materia bozonowa nie mialoby miec charakteru nieminimalnego.
Albo wogole po co to cechowanie. czy nie wystarczaja symetrie "fizyczne"
jak obroty, translacje? Czego nie wiemy o swiecie, ze ona ma w sobie
jeszce takie bogate symetrie ktore ujawniaja sie w tak niespodziewany
sposob a wydaja sie miec tak potezne znaczenie...
>>>Dużo ciekawiej jest w teoriach supersymetrycznych - tu rzeczywiście
>>>wchodzi w grę jakaś struktura zespolona. Nie ma ona nic wspólnego z
>>>geometrią przestrzeni. W skrócie: teorie SUSY można bardzo sprytnie
>>>uogólniać stosując geometrię Kahlera - pola bozonowe są współrzędnymi
>>>takiej "rozmaitości Kahlera" , pola fermionowe należą do wiązki stycznej...
>>>... "ucechowienie" uzyskuje się wykorzystując specyficzne
>>>własności geometrii Kahlera.
>>O tego juz chba w tym zyciu nie pojme.
>>Nie mozna gonic za wszystkim.
> W przyszłości, być może coś na ten temat napiszę.
Z pewnoscia przeczytam z przyjemnoscia.
kazek