Tensor mnie atakuje
igr...@go2.pl
wytlumaczcie mi jak chlopu w gumiakach czym jest tensor (prosze nie uzywac
suchych definicji typu: jest to uogulnienie skalara i wektora) obrazowo; czy
mozecie mi to zwizualizowac??
jak sie bawilem w krystalografie - twor ten pojawial sie; jedno z przyblizen
mowilo cos o elipsoidzie - czy ma to cos wspolnego z dreczacym mnie tensorem??
definicji encyklopedycznej nie pojmuje za bardzo..cos tam swita; prosze
uwolnijcie mnie od natrectwa tensorowego - wasz mozg lekiem na moja przypadlosc
Pozdrawiam Pakuszka
igr...@go2.pl
--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl
Pasztet
igr...@go2.pl wrote:
Najprościej wytłumaczyłbym to tak:
Założmy przestrzeń 3D, w której mamy dwa wektory A i B będące w pewnej relacji
między sobą.
Jeżeli każda składowa wektora A zależy od wszystkich składowych wektora B, to taką
relację elegancko można zapisać używając tensora t, który w przestrzeni
3-wymiarowej jest macierzą 3x3:
|A1| |t11 t12 t13| |B1|
|A2| = |t21 t22 t23| x |B2|
|A3| |t31 t32 t33| |B3|
Pozdrawiam
Pasztet
igr...@go2.pl
kazda skladowa 1 wektora jest funkcja skladowej 2-go? moge to tak ujac??
i co laczy te 2 wektyory ze ich skladowe sa od siebie zalezne??
Grzegorz Jastrzebski
news:12fa.000000...@newsgate.onet.pl...
> Prosba - do Was
> wytlumaczcie mi jak chlopu w gumiakach czym jest tensor (prosze nie uzywac
> suchych definicji typu: jest to uogulnienie skalara i wektora) obrazowo;
czy
> mozecie mi to zwizualizowac??
wektorów. Jeśli wektor zapisujemy jako kolumienkę liczb,
to tensor zapisujemy jako macierz. Elementy takiej macierzy
nazywają się współrzędnymi tensora. Działanie tensora
w tym zapisie to mnożenie macierzowe macierzy przez wektor
- wynikiem jest wektor.
Możliwe tensory są rozmaite: od prostego mnożenia
przez liczbę do całkiem skomplikowanych.
Delikatnym aspektem jest znajdowanie współrzędnych
tensora w różnych układach współrzędnych. Rozpatrzmy
przypadek, że tensor A działa na wektor x i w yniku dostajemy wektor y
A(x)=y
W pierwszym układzie współrzędnym x ma współrzędne (x1,x2,x3)
w drugim (x1', x2', x3'). Podobnie jest z wektorem y.
Jest dosyć oczywiste, że współrzędne tensora też będą
różne w tych układach współrzędnych. Innymi słowy macierz
tego samego tensora będzie wyglądała różnie w różnych
układach współrzędnych.
Dlatego często mówi się, że tensor to macierz której współrzędne
odpowiednio się trasformują przy zmianie układu współrzędnych.
Rzecz jasna definicje tensorów mogą być rozmaite, ale
mniej więcej o to chodzi.
Pozdrawiam
Grzegorz Jastrzębski
(*) Przekształcenie liniowe oznacza, że jeśli dodamy dwa wektory
do siebie i przekształcimy to otrzymamy to samo jabyśmy przekształcali
oba osobno i dodali wyniki:
A(v+x)=A(v)+A(x),
oraz
A(licza*x)=liczba*A(x)
Jakub Witkowski
> > Jeżeli każda składowa wektora A zależy od wszystkich składowych wektora B, to
> taką
> > relację elegancko można zapisać używając tensora t, który w przestrzeni
> > 3-wymiarowej jest macierzą 3x3:
> > |A1| |t11 t12 t13| |B1|
> > |A2| = |t21 t22 t23| x |B2|
> > |A3| |t31 t32 t33| |B3|
> >
> > Dziekuje Dr Pasztecie - teraz twardo stapam po ziemi
> kazda skladowa 1 wektora jest funkcja skladowej 2-go? moge to tak ujac??
dokladniej: jest funkcja _wszystkich_ skladowych 2-go, np. A1 = t11B1+t12B2+t13B3.
Oczywiscie nic nie stoi na przeszkodzie aby niektore elememnt macierzy
(wspolrzedne tensora) byly np. zerowe.
> i co laczy te 2 wektyory ze ich skladowe sa od siebie zalezne??
To juz pytanie natury fizycznej, zalezy jakie wielkosci sa opisywane przez
A i B.
JW
Lacny Adam
> igr...@go2.pl wrote:
[...]
>> wytlumaczcie mi jak chlopu w gumiakach czym jest tensor (prosze nie uzywac
[...]
> Najprościej wytłumaczyłbym to tak:
[...]
> |A3| |t31 t32 t33| |B3|
[...]
I tak doszliśmy niespodziewanie dojednoformy... ale jeśli chodzi o
tensor to można inaczej. Właśnie z definicji.
Tensor to nic innego jak przekształcenie liniowe, przyporządkosujące
pewnym n wektorom jakąś liczbę.
A teraz dla chłopa w gumiakach.
Weź sobie powiedzmy trzy wektory, i taką maszynę (nazwiemy ją tensor)
do przerabiania wektorów na melasę (skalar == liczba). Działanie
maszyny opiera się na dwóch bardzo prostych zasadach. Jeżeli dasz jej
zamiast jednego z wektorów sumę dwóch wektorów, to otrzymasz tyle samo
melasy co gdybyś produkował ją dla każdego z tych dwóch wektorów
osobno a następnie obie wyprodukowane porcje sobie zmieszał (pierwszy
warunek liniowości). Weźmy sobie teraz rozmnóżmy jeden wektor przez
podział... mamy dwa takie same. Ile maszyna wyprodukuje melasy? Dwa
razy więcej. Jeżeli jeden z wektorów potroimy, to otrzymamy trzy razy
więcej melasy itd...
Tak się przypadkiem składa, że współrzędne tensora można przedstawiać
przy pomocy macieży. Nie jest to jednak aż tak ważne (patrz literatura
poniżej). Przeczytaj i nie zniechęcaj się, bo temat nie jest niestety
trywialny.
Przykład.
Iloczyn skalarny wektorów. Bierzemy dwa wektory, następnie mnożymy
odpowiednie współrzędne tych wektorów przez siebie i je dodajemy (w
przestrzeni Euklidesowej). W wyniku tego otrzymujemy liczbę
rzeczywistą. Reguła mówiąca o tym co należy zrobić ze współrzędnymi
nazywa się tensorem. Udowodnij sobie, że jest to przekształcenie
liniowe.
Literatura:
,,Wstęp do Ogólnej Teorii Względności'' B. Schutz -- bardzo
wyczerpująco omówione.
Mam nadzieję, że Ci trochę rozjaśniłem.
POzdro!
Adam Łacny
igr...@go2.pl
****dzieki rozjasniles mi - majac wytlumaczenie od wielu ludzi co to tensor -
mam szanse na obiektywne dotarcie do rozumienia jego idei - teraz to mi sie
podoba :))) Pozdrawiam Pakuszka
igr...@go2.pl
> news:12fa.000000...@newsgate.onet.pl...
> > Prosba - do Was
> > wytlumaczcie mi jak chlopu w gumiakach czym jest tensor (prosze nie uzywac
> > suchych definicji typu: jest to uogulnienie skalara i wektora) obrazowo;
> czy
> > mozecie mi to zwizualizowac??
> Można myśleć o tensorze jako o przekształceniu liniowym(*)
> wektorów. Jeśli wektor zapisujemy jako kolumienkę liczb,
> to tensor zapisujemy jako macierz. Elementy takiej macierzy
> nazywają się współrzędnymi tensora. Działanie tensora
> w tym zapisie to mnożenie macierzowe macierzy przez wektor
> - wynikiem jest wektor.
>
> Możliwe tensory są rozmaite: od prostego mnożenia
> przez liczbę do całkiem skomplikowanych.
>
> Delikatnym aspektem jest znajdowanie współrzędnych
> tensora w różnych układach współrzędnych. Rozpatrzmy
> przypadek, że tensor A działa na wektor x i w yniku dostajemy wektor y
> A(x)=y
> W pierwszym układzie współrzędnym x ma współrzędne (x1,x2,x3)
> w drugim (x1', x2', x3'). Podobnie jest z wektorem y.
> Jest dosyć oczywiste, że współrzędne tensora też będą
> różne w tych układach współrzędnych.
***czy sa tensory ktore mimo zmiany ukladu wspolrzednych nie zmieniaja swoich
skladowych?? takie np."niewzruszalne ze wzgledu na zmiane ukladu tensory" ??
Innymi słowy macierz
> tego samego tensora będzie wyglądała różnie w różnych
> układach współrzędnych.
> Dlatego często mówi się, że tensor to macierz której współrzędne
> odpowiednio się trasformują przy zmianie układu współrzędnych.
>
> Rzecz jasna definicje tensorów mogą być rozmaite, ale
> mniej więcej o to chodzi.
>
> Pozdrawiam
> Grzegorz Jastrzębski
>
> (*) Przekształcenie liniowe oznacza, że jeśli dodamy dwa wektory
> do siebie i przekształcimy to otrzymamy to samo jabyśmy przekształcali
> oba osobno i dodali wyniki:
> A(v+x)=A(v)+A(x),
> oraz
> A(licza*x)=liczba*A(x)
>
>
>
GoTaR
> kazda skladowa 1 wektora jest funkcja skladowej 2-go? moge to tak ujac??
Chyba nawet wszystkich składowych drugiego...
> i co laczy te 2 wektyory ze ich skladowe sa od siebie zalezne??
Na przykład moment bezwładności jest tensorem przedstawianym w postaci
macierzy 3x3. Idź do najbliższego zakładu gumiarskiego i obejrzyj, jak
się wyważa koła samochodu - chyba najlepiej oddaje istotę.
--
GoTaR <go...@priv0.onet.pl> http://ppl.7thguard.net/
Published under the terms of the Paranoid Posting License
perl -e 's%%"NIE ODPALAJ TEGO!"^"v{}\x1fab;(ug!Fmh,+H"^"K"x17%ee'
ari
> się wyważa koła samochodu - chyba najlepiej oddaje istotę.
Można prosić coś więcej?
igr...@go2.pl
poddajmy pod powyzszy opis substrat rzeczywisty - to bedzie uwienczenie mego
zrozumienia
dziekuje za wszystkie wyjasnienia
Pakuszka
igr...@go2.pl
Przemek Borys
[05 Sep 01][Stardate [-30]7199.9] igr...@go2.pl->All
>Prosba - do Was
>wytlumaczcie mi jak chlopu w gumiakach czym jest tensor (prosze nie
>uzywac suchych definicji typu: jest to uogulnienie skalara i wektora)
>obrazowo; czy mozecie mi to zwizualizowac??
[Uwaga: poniżej piszę jak ja rozumiem tensory, a ponieważ sam mam z nimi do
czynienia kilka tygodni dopiero, więc niech ktoś mnie w razie czego skoryguje,
choć liczę że nie będzie trzeba]
Tensor to jest zbiór wartości, transformujący się z jednego układu
współrzędnych do innego za pomocą ustalonych reguł. Dzięki temu równania
tensorowe są niezależne od układu odniesienia. Tensory kowariantne rozpoznaje
się po tym, że ich składowe transformują się tak:
A'_i=\sum_j=0^N \frac{\partial x^j}{\partial x^i}A_j
(znak sumy w konwencji Einsteina się pomija)
Tensory kontrawariantne rozpoznaje się po tym, że ich składowe transformują się
tak:
A'^i=\sum_j=0^N \frac{partial x_i}{\partial x_j}A^j
Tensor może wykonywać kontrakcję (zwężenie) np. z innym tensorem (np. pewnym
wektorem). Znaczy to, że odbywa się sumowanie po wskaźniku np. `i', którym
oznaczamy tak współrzędne wektora, jak i jeden z wskaźników tensora. W przypadku
tensora drugiego rzędu[1] (przedstawianego w macierzy), w wyniku dostajesz
wektor (konkretnie tensor kowariantny). Np:
B_i=T_{ij}A^j=T_{00}A^0+T_{01}A^1+T_{02}A^2+...+T_{0n}A^n
(czyli występuje tutaj podnoszenie wskaźnika)
W szczególności za pomocą tensora metrycznego można przechodzić od składowych
kowariantnych do kontrawariantych i wice wersa:
A_i=g_{ij}A^j=g_{ji}A^j (bo tensor metryczny g{ji} jest symetryczny)
A^i=g^{ij}A_j=g^{ji}A_j
Zachodzi zależność między bazą kowariantną i kontrawariantną, mówiąca że
odpowiadające sobie wektory bazowe kowariantne sa prostopadłe do reszty (tzn.
wszystkich poza odpowiadającym) wektorów kontrawariantnych (stąd powyższe wzory
z tensorem metrycznym).
Baza wektorów kowariantnych jest (o ile mi wiadomo) nazywana bazą dualną.
W układzie kartezjańskim dualna baza kowariantna jest równa bazie
kontrawariantnej.
Powyższe równania można interpretować też w kategoriach form liniowych, o czym
pisali już inni. (do mnie ta interpretacja słabo przemawiała, bo nie byłem w
stanie na pierwszy rzut oka rozpoznać tensor--nie umiem dostrzegać od razu czy
równania spełniają wymogi liniowości ;)
Acha: sam tensor metryczny nazwę zawdzięcza temu, że daje współczynniki do
iloczynu skalarnego, umożliwiającego obliczenie odległości "właściwej" między
punktami w różnych współrzędnych; jego kontrakcja z dwoma wektorami daje:
s^2=g_{ab}x^ay^b (w kartezjańskim 3d s^2=x^1y^1+x^2y^2+x^3y^3)
Mam nadzieję, że trochę zamieszałem w kierunku dobrego zrozumienia o co w tym
chodzi i co jest czym, i dlaczego ;)
[1] Tensory mogą być i dalszych rzędów, np. T^{ab}_{cd} byłby tensorem 4-tego
rzędu o 2 składowych kontrawariantnych i 2 kowariantnych. Elementy tego tensora
to byłyby T^{00}_{00}, T^{00}_{01},...T^{n0}_{00},T^{n0}_{01},... T^{nn}_{nn}.
Czteroelementowy jest np. tensor krzywizny Riemanna.
--
____\___\___
(_(\|,|_|,|_ [ /o)\ | GCS/S/TW/P d? s+:- a21 UL++++/H L++(++++) PGP- ]
| | |. [ \(o/ | t+++ 5+ X- R- b+ E- W++ PE PS D- !r>r+++ ]
Mithrandir
> ***czy sa tensory ktore mimo zmiany ukladu wspolrzednych nie zmieniaja
swoich
> skladowych?? takie np."niewzruszalne ze wzgledu na zmiane ukladu tensory"
??
Zależy w jakim układzie np. w układzie euklidesowym tensor metryczny
( jedynki po przekątnej, resztę zera) jest niezmienniczy.
Pozdrawia Mithrandir
GoTaR
>> Idź do najbliższego zakładu gumiarskiego i obejrzyj, jak
>> się wyważa koła samochodu - chyba najlepiej oddaje istotę.
> Można prosić coś więcej?
Niewyważone koło 'bije' - to jest właśnie wpływ innych współrzędnych.
Wyważanie (a poprawniej wyrównoważanie) koła polega na diagonalizacji
tensora momentu bezwładności.
GoTaR
>>Prosba - do Was
>>wytlumaczcie mi jak chlopu w gumiakach czym jest tensor (prosze nie
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
>>uzywac suchych definicji typu: jest to uogulnienie skalara i wektora)
>>obrazowo; czy mozecie mi to zwizualizowac??
[ciach]
> tensorowe są niezależne od układu odniesienia. Tensory kowariantne rozpoznaje
> się po tym, że ich składowe transformują się tak:
> A'_i=\sum_j=0^N \frac{\partial x^j}{\partial x^i}A_j
> (znak sumy w konwencji Einsteina się pomija)
[ciach]
No... teraz to każdy rolnik wie, co to tensor;-PPPPPPP
Lacny Adam
[...]
Tensor metryczny jest niezmienniczy ze względu na jakiekolwiek
przekształcenie liniowe układu odniesienia. Zauważ, że długość wektora
jest zawsze taka sama, niezależnie od układu.
POzdro!
AŁ
Grzegorz Jastrzebski
wiadomości news:9nh15a$g7c$6...@zeus.man.szczecin.pl...
> Mithrandir <firstmi...@poczta.onet.pl> wrote:
> Tensor metryczny jest niezmienniczy ze względu na jakiekolwiek
> przekształcenie liniowe układu odniesienia. Zauważ, że długość wektora
> jest zawsze taka sama, niezależnie od układu.
Wynik działania tensora jest niezmienniczy
g(v,x)=liczba
gdzie g - tensor metryczny,
v,x - wektory.
Przy zamianie układu współrzędnych, współrzędne wektrorów
ulegają zmianie, współrzędne tensora też ulegją zmianie,
skalar (liczba) zostaje niezmienna. Tensor metryczny
nie różni się pod tym względem od żadnego innego tensora.
pozdrawiam
Grzegorz Jastrzębski
Przemek Borys
[08 Sep 01][Stardate [-30]7214.8] GoTaR->All
>No... teraz to każdy rolnik wie, co to tensor;-PPPPPPP
Chciałem mu pokazać co jest w tensorze charakerystycznego, czym różni się od
zwykłej macierzy czy wektora i co stanowi o sile równań tensorowych.