Tensor i skalar Ricciego - interpretacja
Przemek Borys
OTW i czuje juz pewien komfort, a pozostaly mi dwie rzeczy z tytulu:
Interpretacja tego, co wyraza tensor i skalar Ricciego.
Oczywiscie probowalem juz cos czytac i oto co wiem:
Tensor Ricciego
-zwezenie tensora Riemanna po 1 i 3 wskazniku - to nie jest
dla mnie interpretacja
-na wikipedi cos pisza o zwiazku z "sectional curvature".
Probowalem poszukac cos na ten temat, ale wszedzie pojawia
sie juz gotowy wzor-znormalizowany polem rownolegloboku
tensor Riemanna z powtorzonymi indeksami 1-3 i 2-4.
Nie umiem sobie wyobrazic co to oznacza.
Skalar Ricciego
-zwezenie tensora Ricciego z metryka - to znow nic mi nei
daje jak chodzi o interpretacje.
- jest zwiazek tensora ricciego z transformowaniem objetosci
infinitezymalnej: tutaj jakby podstawa tej relacji
jest zwiazek tych objetosci poprzez pierwiastek wyznacznika
metryki. A skad ten zwiazek z pierwiastkiem metryki?
Podejrzewam, ze musi z wyznacznika z metryki wyjsc jakobian,
ale mi nie wychodzi.
Tensor Riemanna rozumiem - interpretacja fajna dla mnie
to ze daje on blad w przeniesieniu rownoleglym wektora po zadanej
petli. Czytalem tez interpretacje o komutowaniu drugich pochodnych;
ale do mnie bardziej przemawia podejscie geometryczne i cos
takiego chcialbym znalezc dla tensora/skalara Ricciego
(idac np. tym tropem, ktory zarysowalem wyzej)
Oczywiscie mozna mnie ew. odeslac do zrodel, ale jesli tak,
to prosze o cos dostepnego w sieci, bo nie do wszystkich ksiazek
moge sie latwo dostac:(
Marek Józefowski
[...]
> Tensor Ricciego
> -zwezenie tensora Riemanna po 1 i 3 wskazniku - to nie jest
> dla mnie interpretacja
> -na wikipedi cos pisza o zwiazku z "sectional curvature".
> Probowalem poszukac cos na ten temat, ale wszedzie pojawia
> sie juz gotowy wzor-znormalizowany polem rownolegloboku
> tensor Riemanna z powtorzonymi indeksami 1-3 i 2-4.
> Nie umiem sobie wyobrazic co to oznacza.
>
przestrzeni stycznej TM_p: {e_1,..,e_n} , liczba:
Ric_nn
jest sumą n-1 krzywizn sekcyjnych w dwukierunkach (e_j,e_n)
dla j=1,...,n-1.
Co to jest krzywizna sekcyjna w dwukierunku (A,B),
gdzie A,B /in TM_p oraz A,B niewspółliniowe?
Jest to normalna krzywizna Gaussa pewnej dwuwymiarowej
podrozmaitości w otoczeniu "p", wyznaczonej przez (A,B).
Podrozmaitość tę konstruujemy w następujący sposób:
bierzemy wszystkie geodezyjne wychodzące z punktu "p",
o wektorach stycznych w "p" należących do podprzestrzeni
TM_p wyznaczonej przez A i B: jest to powłoka P={a*A+b*B,a,b\in R}.
Dla małego otoczenia zera w P, geodezyjne wyznaczają podrozmaitość
2-wymiarową w otoczeniu "p". Istnieje twierdzenie,że krzywizna
Gaussa tej podrozmaitości w "p" jest (z dokładnością do znaku)
równa:
R(A,B,A,B)
gdzie R(...) tensor krzywizny.
> Skalar Ricciego
> -zwezenie tensora Ricciego z metryka - to znow nic mi nei
> daje jak chodzi o interpretacje.
> - jest zwiazek tensora ricciego z transformowaniem objetosci
> infinitezymalnej: tutaj jakby podstawa tej relacji
> jest zwiazek tych objetosci poprzez pierwiastek wyznacznika
> metryki. A skad ten zwiazek z pierwiastkiem metryki?
> Podejrzewam, ze musi z wyznacznika z metryki wyjsc jakobian,
> ale mi nie wychodzi.
>
Argumentować można różnie: np tak jak w Landau.."Teoria Pola",
wychodząc od żądania niezmienniczości elementu miary.
Mnie najbardziej odpowiada podejście poprzez repery ruchome
(tetrady,vielbein). W każdej przestrzeni stycznej możemy obrać
taki reper aby (tu już dla ustalenia uwagi będę rozważał p. fizyczną)
w tej bazie p. styczna była p. Minkowskiego:
E_a = E_a^n (d/dx^n)
oczywiście możemy rozważać formy dualne:
E^a = dx^n E_n^a
gdzie E^a_n jest macierzą odwrotną do E_a^n.
Reper jest tak wybrany, aby p. styczna była
przestrzenią Minkowskiego:
g(E_a,E_b) = h_ab
gdzie h_ab = diag(-+++)
Z liniowości metryki g(), dostajemy związek pomiędzy
współczynnikami wielbeinu: E_a^n i zwykłą metryką g_nm:
g(E_a,E_b) = E_a^n E_b^m g(d/dx^n,d/dx^m) =
= E_a^n E_b^m g_nm = h_ab
A wykorzystując współczynniki odwrotne:
g_nm = E_n^a E_n^b h_ab (*)
Teraz, w p. Minkowskiego element zorientowanej miary to:
dm = E^0/\E^1/\E^2/\E^3
Symbol "/\" oznacza iloczyn zewnętrzny form. Podstawiając,
i wykorzystując liniowość oraz antysymetrę iloczynu zewnętrznego
dostaniemy:
dm = det(E_n^a) dx^4
ale traktując (*) jak równanie macierzowe, biorąc
wyznacznik obu stron dostaniemy:
-det(E_n^a)^2 = det(g_nm)
W rezultacie:
dm = sqrt(-det(g_nm)) dx^4
> Tensor Riemanna rozumiem - interpretacja fajna dla mnie
> to ze daje on blad w przeniesieniu rownoleglym wektora po zadanej
> petli. Czytalem tez interpretacje o komutowaniu drugich pochodnych;
> ale do mnie bardziej przemawia podejscie geometryczne i cos
> takiego chcialbym znalezc dla tensora/skalara Ricciego
> (idac np. tym tropem, ktory zarysowalem wyzej)
>
Przymierzam się do napisania tekstu o grawitacji ;)
posługując się tylko formami różniczkowymi i algebrą spinorową -
- pod względem formalnym grawitacja byłaby bardzo podobna
do teorii z cechowaniem, z tym, że tutaj zamiast zwartej
lokalnej grupy Liego transformacji cechowania byłaby niezwarta
lokalna grupa Lorentza. W charakterze próbki: dwa pierwsze
rozdziały (proszę wybaczyć ewentualne błędy i literówki):
http://www.marjozef.republika.pl/Fizyka_w_działaniu/Fizyka_w_działaniu_files/wstep.pdf
--
Nie wystarczy szeroko otwierać oczu [Hermann Weyl]
waligóra
> rozdziały (proszę wybaczyć ewentualne błędy i literówki):
które jednoznacznie dyskwalifikują wszystkie umieszczone teksty. Po
pierwsze źle dobrany kolor tła i rozmiary czcionek, błędne dzielenia
wyrazów oraz liczne literówki, że o przecinkach nie wspomnę. No i
najważniejsze wzory nie są napisane zgodnie z ogólnie przyjętą
międzynarodową konwencją naukową. .....
A tak naprawdę tekst są bardzo interesujące i właściwie bardzo
zbliżają się do wielu tematów z którymi borykam się od dawna. Tekst o
RTG jest w istocie streszczeniem książki Logunowa którą to miałem
przyjemność tłumaczyć (dla potrzeb własnych jak i ogólnie użytkowych).
Tekst o formach różniczkowych jest dla mnie zwłaszcza w tej chwili
dosyć interesujący. Bardzo wiele z tego co piszesz obecnie przetrawiam
w postaci pewnego tłumaczenia ksiązki dotyczącej analizy tensorowej.
Po pobieżnym (jak na razie) przeczytaniu mam kilka uwagi (na razie) -
w tekscie pt "wstęp" - gwiazdka górna to jest odwzorowanie Hodge'a tj.
operator Hodge'a.
Forma rózniczkowa to oczywiście w pierwszej kolejności tensor skośnie
symetryczny - warto było by to zaznaczyć na początku. Nie podajesz
definicji mnożenia zewnętrznego a mówisz że jest to jedyny sposób
mnożenia form rózniczkowych co nie jest prawdą ponieważ formy bazowe
mozna mnożyć również tensorowo.
we wzorze (03) jak i w dalszych podobnych wzorach - w środku nawiasu
brak chyba jedynki. Warto było by udowodnić te wzory - co jest dosyć
proste.
Podajesz w formie stwierdzenia że w przestrzeni n wymiarowej nie może
istnieć forma n+1 - udowodnij to.
Dalej piszesz o orientacj formy i kostki ale nie podajesz jej
definicji dlaczego ?
To jak na razie tyle jak przetrawię resztę ( zwłaszcza ci zawartość
fizyczną) to napiszę co myślę dalej.
waligóra
Tensor Ricciego = (reprezentuje dla szczególnego przypadku) krzywiznę
Gaussa
Zawężenie tensora Ricciego = krzywizna skalarna
Interpretacja zobacz -> geometria różniczkowa -> teoria powierzchni
(krzywizna Gaussa) -> teoria krzywych (krzywizna skalarna = krzywizna
lub skęcenie krzywej lub ogólnie k-ta krzywizna krzywej )
Bardzo ładnie interpretuje się geometrycznie te wielkości dla krzywej
na płaszczyźnie.
Jesli ten prymitywny tekst mógłby wnieść odrobinę jasnosci to warto go
obejrzeć:
http://fizyka_teoretyczna.republika.pl/matematyka/geometriarozniczkowa/
gr1djvu.zip
Marek Józefowski
To konwencja: zamiast: (-1)^n piszemy: (-)^n,
spotkałem się z takim zapisem i IMO dużo ładniej wygląda.
> Warto było by udowodnić te wzory - co jest dosyć
> proste.
> Podajesz w formie stwierdzenia że w przestrzeni n wymiarowej nie może
> istnieć forma n+1 - udowodnij to.
> Dalej piszesz o orientacj formy i kostki ale nie podajesz jej
> definicji dlaczego ?
> To jak na razie tyle jak przetrawię resztę ( zwłaszcza ci zawartość
> fizyczną) to napiszę co myślę dalej.
>
Te dwa rozdziały to "surowy", nie skorygowany, początek
dłuższego tekstu. Niestety nie wiem kiedy go ukończę -
- napisałem szybko parę pierwszych rozdziałów...ale potem
straciłem jakby ochotę do pisania ;P
Dziękuję za uwagi... i odpowiadam:
1) Wiadomości dotyczące form różniczkowych,
absolutnie NIE służą do ich nauczania. Są pomyślane
dla czytelnika, który już wie o nich sporo - to raczej
ustalenie notacji i konwencji. Oczywiście mogłem zrobić z tego
szczegółowy wykład, ale po co? Wiesz ile stron musiałoby to liczyć?
2) Mnożenie zewnętrzne jest jedynym (sensownym) mnożeniem
w zbiorze form różniczkowych - mnożenie tensorowe wyprowadza nas
poza zbiór form. Można się o tym łatwo przekonać definiując
operację "od tyłu" - zakładając dwuliniowość, łączność etc i przekonać
się, że prowadzi do takiej samej definicji, którą podałem.
3) Konstatacja, że n+1 forma w p. n-wymiarowej znika jest trywialna,
więc nie ma czego dowodzić. W charakterze ciekawostki:
w superprzestrzeni możemy mieć formy dowolnego stopnia.
4) Problem z kostką - patrz punkt 1 - nie chciałem robić
z wstępu podręcznika i to świadomie.
Ogólnie tekst (pod warunkiem,że go skończę) jest pomyślany,
aby nie powielać podręczników - nie znajdzie się tam np rozwiązanie
sferycznie symetryczne etc etc, natomiast znajdzie się wiele
innych rzeczy: np równanie Diraca w polu grawitacyjnym,
równania cząstek o wyższych spinach...
Przemek Borys
<marj...@poczta.onet.pl> wrote:
Dzieki za odp. To mi troche pomaga odnosnie kierunku gdzie
szukac. Sciagam tez wlasnie Landaua teorie pola z jakiegos
torrenta, zobacze jak tam to robi.
Nie bede ukrywac, ze pojecie vierbianu jest mi obce,
ale co rozumiesz pod pojeciem "reper"? Tego okreslenia jeszcze
nie spotkalem. Jakas baza, cos takiego?
Odpowiem pewno za jakis czas jak przetworze te informacje.
Marek Józefowski
punkcie rozmaitości mamy bazę {e_a(x)}.
Ruchomy dlatego, że te bazy są tak wybrane, że formalnie
e_a(x) są gładkimi przekrojami wiązki stycznej.
Można to sobie wyobrazić w ten sposób, że przechodząc
od punktu x do x + eps, baza zmienia się w "porządny",
gładki sposób.
W fizyce istnieje podejście tetradowe - wtedy takim reperem
jest tetrada (jest w Landale), alternatywna nazwa "vierbein",
a dla n-wymiarowych przestrzeni: "vielbein", który spolszczyłem
na wielbein.
Marek Józefowski
> ale co rozumiesz pod pojeciem "reper"? Tego okreslenia jeszcze
> nie spotkalem. Jakas baza, cos takiego?
>
Aszz... nie doczytałem, oczywiście: reper <==> baza p. wektorowej.
Przemek Borys
Marek Józefowski <marj...@poczta.onet.pl> wrote:
...mam niezla stala czasowa, prawda?.. :)
>2-wymiarową w otoczeniu "p". Istnieje twierdzenie,że krzywizna
>Gaussa tej podrozmaitości w "p" jest (z dokładnością do znaku)
>równa:
> R(A,B,A,B)
>gdzie R(...) tensor krzywizny.
Znasz moze jakies wyprowadzenie tej relacji?
Sciagnalem sobie pakiet ksiazek z fizyki i matmy, jest tam
kilkanascie pozycji o GR (w tym Misner!) i g. rozniczkowej,
ale nie znalazlem akurat tego.
Przypuszczam jednak, ze moze byc dla mnie zbyt trudne.
Ale moze da sie latwo pokazac jak ta relacja (miedzy krzywizna
Gaussa i skladowa t. Riemana) zachodzi np. dla kuli, lub
ogolniej-elipsoidy?
Probowalem do tego podejsc: narysowalem na sferze ,,prostokat''
petli z def. t. Riemanna, ale jedyne co umiem z tego wykombinowac
to fakt, ze od krzywizny (zwyklej, 1/R) zalezy kat obrotu wektora
przebiegajacego ta petle. Jak z tego dostac Gaussowskie 1/R1/R2, nie
umiem wykombinowac:(
>dm = E^0/\E^1/\E^2/\E^3
>i wykorzystując liniowość oraz antysymetrę iloczynu zewnętrznego
>dostaniemy:
>dm = det(E_n^a) dx^4
>wyznacznik obu stron dostaniemy:
> -det(E_n^a)^2 = det(g_nm)
>W rezultacie:
>dm = sqrt(-det(g_nm)) dx^4
To mi sie udalo dowiesc podobnie, choc dla mnie prostszymi slowami:
transformowalem metryke z ukladu plaskiego do krzywoliniowego,
wzialem obustronny wyznacznik, skorzystalem z praw na wyznacznik
iloczynu macierzy, itd, dostalem jakobian:)
Pozdrowienia;
nigdy sie nie nadziwie gdzie i kiedy tu sie tego wszystkiego nauczyles;
albo musisz miec kosmiczna inteligencje, albo rewelacyjnych nauczycieli:)
Marek Józefowski
>
> Znasz moze jakies wyprowadzenie tej relacji?
> Sciagnalem sobie pakiet ksiazek z fizyki i matmy, jest tam
> kilkanascie pozycji o GR (w tym Misner!) i g. rozniczkowej,
> ale nie znalazlem akurat tego.
> Przypuszczam jednak, ze moze byc dla mnie zbyt trudne.
> Ale moze da sie latwo pokazac jak ta relacja (miedzy krzywizna
> Gaussa i skladowa t. Riemana) zachodzi np. dla kuli, lub
> ogolniej-elipsoidy?
> Probowalem do tego podejsc: narysowalem na sferze ,,prostokat''
> petli z def. t. Riemanna, ale jedyne co umiem z tego wykombinowac
> to fakt, ze od krzywizny (zwyklej, 1/R) zalezy kat obrotu wektora
> przebiegajacego ta petle. Jak z tego dostac Gaussowskie 1/R1/R2, nie
> umiem wykombinowac:(
>
Na półce mam "Geometrię rozmaitości Riemanna" Macieja Skwarczyńskiego -
- jest to twierdzenie 6.36. Dowód krótki...tylko, że wcześniej
przygotowany. W ogóle krzywizna sekcyjna jest tam zdefiniowana
jako -R(A,B,A,B) dla |A|=|B|=1, a twierdzenie dotyczy jej
równości z tradycyjną krzywizną Gaussa opisanej dwuwymiarowej
podrozmaitości. BTW, trzeba się wrócić o dwa rozdziały, gdzie
jest konstrukcja krzywizny Kroneckera i jej szczególnego przypadku:
krzywizny Gaussa.
> To mi sie udalo dowiesc podobnie, choc dla mnie prostszymi slowami:
> transformowalem metryke z ukladu plaskiego do krzywoliniowego,
> wzialem obustronny wyznacznik, skorzystalem z praw na wyznacznik
> iloczynu macierzy, itd, dostalem jakobian:)
>
> Pozdrowienia;
> nigdy sie nie nadziwie gdzie i kiedy tu sie tego wszystkiego nauczyles;
> albo musisz miec kosmiczna inteligencje, albo rewelacyjnych nauczycieli:)
>
E tam, to co wiem to jakieś szczątkowe jest... bardziej
pod kątem przydatności do teorii grawitacji, którą się interesuję,
i musiałem się douczyć. Inna sprawa: jestem fanem podejścia,
gdzie się tylko da, za pomocą form różniczkowych - prostota i elegancja
form różniczkowych jest urzekająca.
Przemek Borys
=?UTF-8?B?TWFyZWsgSsOzemVmb3dza2k=?= <marj...@poczta.onet.pl> wrote:
>> Probowalem do tego podejsc: narysowalem na sferze ,,prostokat''
>> petli z def. t. Riemanna, ale jedyne co umiem z tego wykombinowac
>> to fakt, ze od krzywizny (zwyklej, 1/R) zalezy kat obrotu wektora
>> przebiegajacego ta petle. Jak z tego dostac Gaussowskie 1/R1/R2, nie
>> umiem wykombinowac:(
>Skwarczynskiego -
>- jest to twierdzenie 6.36. Dowod krotki...tylko, ze wczesniej
>przygotowany. W ogole krzywizna sekcyjna jest tam zdefiniowana
>jako -R(A,B,A,B) dla |A|=|B|=1, a twierdzenie dotyczy jej
>podrozmaitosci. BTW, trzeba sie wrocic o dwa rozdzialy, gdzie
>jest konstrukcja krzywizny Kroneckera i jej szczegolnego przypadku:
>krzywizny Gaussa.
Znalazlem ta ksiazke w czytelni w bibliotece, wiec mam nadzieje
ze uda mi sie w tym tygodniu poczytac.
>> nigdy sie nie nadziwie gdzie i kiedy tu sie tego wszystkiego nauczyles;
>> albo musisz miec kosmiczna inteligencje, albo rewelacyjnych nauczycieli:)
>E tam, to co wiem to jakies szczatkowe jest... bardziej
>pod katem przydatnosci do teorii grawitacji, ktora sie interesuje,
>i musialem sie douczyc.
Moje pierwsze podejscie do OTW bylo jeszcze na poczatku studiow,
wzialem Schutza na wakacje i walkowalem 2 miesiace. Niestety,
zrozumialem tylko ogolny zarys idei i do czego sluza glowne rownania.
Do dzis minelo blisko 10 lat i wlasnie pierwszy raz przeczytalem
podrecznik, o ktorym moge powiedziec ze go rozumiem-wlasnie S. Waner,
Introduction to differential geometry & general relativity.
To dla mnie prawie jak oswiecenie, ale do poziomu ktory prezentujesz
to jeszcze daleko, bo Waner okroil matematyke do abs. minimum.
W kazdym razie nauczenie sie tych podstaw, w szegolnosci bez pomocy
z zewnatrz to jest jednak duza sztuka i trzeba miec ogromna wytrwalosc.
Teraz na urodziny zamierzam sobie zazyczyc aby mi ktos wydrukowal
i oprawil Misnera, ktorego mam jako djvu:)
A i tak nie czuje sie 100% pewnie na gruncie geom. rozn.: np. rozmaitosc
rozumiem jako pewna analogie do (hiper)powierzchni w wyzejwymiarowej
przestrzeni euklidesowej, a nie wiem czy w ogolnosci mozna tak zawsze
myslec. (oczywiscie warunki o mozliwosci odwzorowania M na E^n itp. znam)
> Inna sprawa: jestem fanem podejscia,
>gdzie sie tylko da, za pomoca form rozniczkowych - prostota i elegancja
>form rozniczkowych jest urzekajaca
Formy rozniczkowe narazie zrozumialem na takim poziomie, ze wiem dlaczego
powinny sie transformowac odwrotnie niz wektory :) Poza tym to dla mnie
byt abstrakcyjny, choc czasem przydatny w rachunkach (np. w wyznaczaniu
4-pedu w spadaniu na czarna dziure).