Prawo Hubble'a a rozszerzanie sie Wszechswiata

[J. Sikorski]

Przewijal sie tu kilka razy problem, jak policzyc obecna odleglosc
do galaktyki czy kwazara dla bardzo duzych wartosci 'z' (np. 3 lub 5).
Gdzie ten obiekt jest teraz skoro widzimy jego swiatlo sprzed miliardow
lat i gdzie byl w chwili wyemitowania tego swiatla.
Wiadomo, ze prawo Hubble'a w postaci l = V/H_o nie bedzie tu dobre bo
'H' zmienia sie wczasie ekspansji.
Otoz zagadnienie to zostalo rozwiazane w latach 50-tych przez Mattiga.
Wzglednie prosto wyglada jego wzor dla swiata plaskiego:

2*c
(1) l_o = ----*(1 - 1/sqrt(z+1))
H_o

gdzie l_o obecna odleglosc obserwowanego obiektu,
H_o obecna wartosc stalej Hubble'a (ok 75 km/s/Mpc)
z obserwowane przesuniecie ku czerwieni delta_lambda/lambda_0

Jak latwo zauwazyc, dla z<<1 powyzszy wzor mozna rozwinac w szereg
do wyrazu liniowego i wtedy otrzymujemy z niego

(2) l_o = (2*c/H_o)*0.5*z + ..... = c*z/H_o

czyli stare liniowe prawo Hubble'a.

Odleglosc tego obiektu w chwili emisji widocznego dzis swiatla, 'l1',
wyraza sie notomiast:

(3) l1 = l_o/(z+1)

Dla przykladu wezmy z=5.25, czyli z+1 = 6.25. Wowczas otrzymamy
l_o = 15.65 mld. lat swietlnych zas
l1 = 2.5 mld lat swietlnych.
Gdybysmy liczyli wedlug liniowego prawa hubble'a to bysmy
dostali l_o = 68.46 mld. lat sw. zas l1 = 10.95 mld.lat sw.
Dla modeli hipersferycznych lub hiperbolicznych wzory sa bardziej uwiklane.
Ze wzoru (1) widac tez, ze dla 'z'-->oo wielkosc l_o --> 2*c/H_o czyli
do stalej. Jest to tzw. horyzont kosmologiczny.

J. Sikorski