wyliczanie sum rozbieznych typu 1+1+1+...

42 views
Skip to first unread message

Simpler

unread,
Sep 16, 2022, 1:28:31 PMSep 16
to
są rozmaite szeregi rozbieżne, które zostały 'posumowane'.

Najprostszy to chyba:

s = 1-1+1-1+ ...

co można łatwo 'wyliczyć':

s = 1-(-1+1-1 ...) = 1 - s,
zatem 2s = 1, czyli s = 1/2.

całkiem łatwo poszło...

Podobnie można załatwić inne takie naprzemienne, np.: 1-2+3-4+...

Problem się zaczyna na tych z samymi plusami,
gdzie najprostszy wygląda tak:

s = 1+1+1+... = -1/2

jak to wyprodukować - 'rozwiązać'? :)

heby

unread,
Sep 16, 2022, 1:36:43 PMSep 16
to
On 16/09/2022 19:28, Simpler wrote:
> jak to wyprodukować - 'rozwiązać'? :)

Na przykład:

https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww


Simpler

unread,
Sep 16, 2022, 3:02:55 PMSep 16
to
Nie ma tam 1+1+...

kombinuj dalej.

bartekltg

unread,
Sep 18, 2022, 10:07:24 AMSep 18
to
Formalnie?
https://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization
https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF

Tylko trzeba pamietac, ze to ma bardzo amło wspolnego z sumowanie
tego szeregu. Logika w ewentailnych zastosowaniach idzie odwrotnie:
z jakiejś analitycznej funkcji dostaliśmy ten szereg, nie jest on jej rowny,
ale pozwala coś o tej funkcji się doweidzieć, a potem wracamy do tej
nieznanej analitycznej funkcji zeby mieć wartość.

Zabawowo?
1 + 1 +1 +1 +1 +1 +1...
+
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1
=
2 +0 + 2 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 2*(1 + 1+ 1+ 1 + 1+ 1 +1 + 1...)

x+s = 2x
x=-s = -1/2

Z tym, że to ostatnie przejśćie ejst jeszcze bardziej mętne niż
te zabawy są zazwyczaj.

Simpler

unread,
Sep 18, 2022, 10:24:33 AMSep 18
to
chyba coś za bardzo...

s + 1/2 = 1+1+1... + 1-1+1-1+... = 2 + 0 + 2 + 0 +... = 2(1+1+1...) = 2s

czyli:
s+1/2 = 2s, co daje:
-s + 1/2 = 0 => s = 1/2

nie zgadza się - ma być: -1/2.


Simpler

unread,
Sep 18, 2022, 10:39:28 AMSep 18
to
może tak:

s - 1/2 = 1+1+... - (1-1+1- ...) = 0+2+0+2+ ... = 2s

wtedy:
s-1/2 = 2s

czyli: -s - 1/2 = 0

teraz jest ok,

w sumie z tego wynika:
0+2+0+2+... + 2+0+2+0+ ... = 0 <> 2+2+2+... = -1

fajne pierdoły... hehe!


Nowa operacja negacji:
-(0 + 1+ 0 + 1 + ...) = 1 + 0 + 1 +0 + ...

czyli shift o 1 w lewo. :)

ciekawe co w prawo wyjdzie...




bartekltg

unread,
Sep 18, 2022, 10:45:42 AMSep 18
to
niedziela, 18 września 2022 o 16:24:33 UTC+2 Simpler napisał(a):
żaden problem

1 + 1 +1 +1 +1 +1 +1...
-
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1

= 0+ 2 +0 + 2 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 2*(1 + 1+ 1+ 1 + 1+ 1 +1 + 1...)

x-s = 2x
i teraz już bez błedów mamy -s = x
x = - 1/2

W czym ten "wynik" jest lepszy od poprzedniego?
Patrząc tylko na takie sztuczki, w niczym:)
To nie jest prawdziwa suma.

(do tego ostatnia operacja, spakowanie 1+0+1+0 jako 1+1+1+...
jest wątpliwa nawet jak na te zabawy)

bartekltg

Simpler

unread,
Sep 18, 2022, 3:18:34 PMSep 18
to
niedziela, 18 września 2022 o 16:45:42 UTC+2 bartekltg napisał(a):
coś takiego: 1+0+1+ ...

jest szeregiem typu: 1/(1-x^2) dla x = 1

natomiast 0+1+0+ ...

to jest chyba: x/(1-x^2)

suma obu:
(1+x)/(1-x^2) = 1/(1-x) = 1+x+x^2+...
i to jest ten: 1+1+1...


natomiast różnica:
(1-x)/(1-x^2) = 1/(1+x) = 1-x+x^2-...
czyli to jest ten naprzemienny

J.F

unread,
Sep 19, 2022, 4:55:26 AMSep 19
to
Ale co chcesz "rozwiazac" ?

Szereg rozbiezny nie ma "sumy".

J.

WM

unread,
Sep 19, 2022, 5:32:47 AMSep 19
to
W dniu 2022-09-19 o 10:55, J.F pisze:
Ma sumę.

Suma n jedynek to po prostu n
:)

WM


bartekltg

unread,
Sep 19, 2022, 7:56:11 AMSep 19
to
niedziela, 18 września 2022 o 21:18:34 UTC+2 Simpler napisał(a):
Ale to znow pokazuje, że myslimy o szeregach formalnych i rpzedluzeniach
analitycznych, bo
1/(1 - x) = 1 + x+ x^2 +...
1/(1 - x^2) = 1 + x^2 + x^4...
...
mają tradycyjny sens dla |x|<1.

Jeśli pilnujemy, by jedynki były na "właściwym miejscu",
to już nie jest normalny szereg. W takich ważna jest tylko kolejność.
(jak mamy szreg warunkowo zbiezny, i tradyzyjnie, poprzestawiasz
elementy i mozna dostać dowolną liczbę;-), np z takiego
(-1)^n/n) - tak, żeby pamietać, że i klasyczna "suma" szeregu to nie
do końca po prostu suma.

bartekltg

Simpler

unread,
Sep 19, 2022, 11:10:04 AMSep 19
to
poniedziałek, 19 września 2022 o 13:56:11 UTC+2 bartekltg napisał(a):
Ale ten 1/(1-x^2)
jest faktycznie taki: 1+0+x^2+0+x^4+...
bo tu pochodne nieparzyste = 0

natomiast ten: x/(1-x^2)

jest tym samym, tyle że pomnożonym przez x:
x(1+0+x^2+0+x^4+...) = x+0+x^3+0+x^5+...

i dokładamy 0 na początku, a potem to zwyczajnie sumujemy:

1+0+x^2+0+x^4+... +
0+x+0+x^3+0+x^5+... =

1+x+x^2+...

jest ok.

i odejmujemy:

1-x+x^2-x^3+...

też ok.

no i co za problem?


o prostu jeśli uznamy że 1-x+x^2-x^3+... = 1/2 dla x=1
no to wtedy 1+1+1+... = -1/2 - z automatu.

jeden błąd robi swoje...

Reply all
Reply to author
Forward
0 new messages