Problemy milenijne - nagroda 1 milion $
Robakks
przez Clay Mathematics Institute 24 maja 2000. Jest to zestaw siedmiu
zagadnień, które zostały uznane przez instytut za ważne dla nauki, a za
rozwiązanie każdego z nich wyznaczono 1 000 000 $ nagrody.
Niektóre z nich zostały już rozwiązane, inne wciąż czekają na rozwiązanie.
Na problemy milenijne składają się:
Zagadnienie klas P/NP
Hipoteza Hodge'a
Hipoteza Poincarégo
Hipoteza Riemanna
Teoria Yanga-Millsa
Równania Naviera-Stokesa
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera
źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Problemy_milenijne
Zagadnienie klas P/NP
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Niektóre problemy matematyczne i logiczne da się szybko rozwiązać
przy użyciu komputerów - i stanowią one klasę problemów, z którą
idealny komputer daje sobie radę w czasie będącym wielomianową
funkcją zadanych mu parametrów (należą do tej klasy choćby układy
równań liniowych czy problemy znajdowania najkrótszej drogi).
Istnieją jednak zagadnienia, których rozwiązania znamy, ale nie są to
rozwiązania równie "szybkie", jak w wypadku poprzednim.
Czy da się wszystkie podobne problemy (zgrupowane w pewnej klasie,
oznaczonej jako NP) rozwiązać szybciej? Czy też istnieją takie, których
analizy nie da się już przyspieszyć w żaden sposób? Pytanie ciekawe
i szalenie istotne z praktycznego punktu widzenia, bowiem problemy
te związane są z kryptografią (łamaniem kodów), kolorowaniem map
czy układaniem harmonogramów.
Hipoteza Hodge'a
~~~~~~~~~~~~~~
Badając kształty różnych obiektów (jak powierzchnia piłki, czy dętka),
matematyka rozwinęła zaawansowane techniki usiłujące stwierdzić,
czy kształt obiektów wielowymiarowych można przybliżać konstrukcjami
z prostych obiektów o niższej liczbie wymiarów. Uogólnienia tego typu
poszły jeszcze dalej, zatracając niemal całkowicie początkowy związek
z geometrią i obiektami geometrycznymi. Hipoteza Hodge'a sugeruje,
iż dla niektórych specjalnych obiektów pewne konstrukcje algebraiczne
są ściśle związane z określonymi tworami geometrycznymi.
Hipoteza Poincarégo
~~~~~~~~~~~~~~~~~
Jeśli na powierzchni piłki umieścimy elastyczną zamkniętą pętlę, to
bez większego trudu potrafimy ją ścieśnić do punktu, nie rozrywając
jej ani nie opuszczając powierzchni kuli. Coś takiego nie jest możliwe,
gdy zamiast powierzchni piłki weźmiemy dętkę - w tym wypadku
zawijając odpowiednio naszą pętlę, już nie możemy jej ścieśnić do punktu.
Okazuje się, że taka własność "ścieśniania" pętli wystarczająco charakteryzuje
powierzchnię piłki (mówiąc "matematycznie", sferę dwuwymiarową);
innymi słowy, jeśli każdą pętlę na dwuwymiarowej powierzchni potrafimy
ściągnąć do punktu - powierzchnia ta musi być sferą! Hipoteza Poincarégo
orzeka to samo - ale dla sfery trójwymiarowej: zdaniem genialnego
matematyka francuskiego, analogiczna własność charakteryzuje ją tak samo,
jak w wypadku dwuwymiarowym.
Hipoteza Riemanna
~~~~~~~~~~~~~~~~
Liczb pierwszych (takich, których dzielnikami są wyłącznie 1 i sama ta liczba)
jest nieskończenie wiele, co wiemy zapewne jeszcze ze szkoły.
Czy istnieją jednak jakieś regularności w ich rozłożeniu? Okazuje się, że tak.
Z częstością występowania liczb pierwszych ściśle związana jest pewna
funkcja (z), zwana funkcją zeta Riemanna od nazwiska matematyka, który
ją wprowadził. Otóż hipoteza mówi, że wszystkie interesujące zera tej funkcji
(tzn. liczby zespolone takie, że (z) = 0) leżą na pewnej prostej.
Sprawdzono już numerycznie ponad 1 500 000 000 takich miejsc - wszystkie
mają tę właściwość. Dowodu (ani kontrprzykładu) nadal jednak nie ma...
Teoria Yanga-Millsa
~~~~~~~~~~~~~~~~
Teorie Yanga-Millsa, opisujące model matematyczny cząstek elementarnych
i ich oddziaływań, są doskonale przetestowane i stanowią podstawę
współczesnej teorii pola. Nie wszystkie jednak problemy z tej dziedziny
udaje się opisać równie konsekwentnie - jak choćby fenomen "uwięzienia"
kwarków (kwarków nie można zaobserwować pojedynczo, jedynie w cząstkach,
które składają się z trzech kwarków lub pary kwark-antykwark).
Postawiony problem dotyczy znalezienia w kwantowej teorii oddziaływań
Yanga-Millsa, satysfakcjonujących z matematycznego punktu widzenia
rozwiązań wyjaśniających ten fenomen.
Równania Naviera-Stokesa
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Spokojny i gwałtowny przepływ wody, wiry w wodzie, turbulencje, wiatr
i tornada - wydaje się, że wszystkie te efekty są opisywane przez równania
Naviera-Stokesa. Choć zapisano je już w XIX wieku - do dziś mało
o nich wiemy. Problem sformułowany na XXI wiek dotyczy rozwiązań
tych równań - rozstrzygnięcia ich istnienia bądź znalezienia kontrprzykładu
dla dowolnego czasu.
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Problem znajdowania rozwiązań w liczbach całkowitych (czy ułamkowych)
prostych równań (np. typu x2 + y2 = z2) fascynował matematyków już
od dawna, jest on jednak ogromnie trudny. Jeden z problemów Hilberta
(nr 10) - dotyczący znalezienia ogólnej metody rozwiązywania takich równań -
okazał się wręcz (co oczywiście udowodniono) nierozwiązywalny!
W pewnych szczególnych wypadkach coś da się jednak powiedzieć.
Omawiana hipoteza łączy liczbę rozwiązań w liczbach wymiernych
danego równania (ułamkowych) z zachowaniem pewnej funkcji.
Gdy jej wartość w punkcie 1 wynosi 0, istnieje nieskończenie wiele
rozwiązań wymiernych, gdy jest różna od zera - liczba rozwiązań jest skończona.
Czy to prawda?
źródło: http://archiwum.wiz.pl/2000/00110700.asp
a dodatkowo:
Problemy Hilberta
~~~~~~~~~~~~~~
Problemy Hilberta to lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona
przez Davida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków
w Paryżu w 1900 roku podczas referatu pokazującego stan matematyki
na przełomie XIX i XX wieku.
źródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/Problemy_Hilberta
David Hilbert
~~~~~~~~~~
David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie)
- zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) - matematyk niemiecki; zajmował się
algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami
rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej
oraz problemami fizyki matematycznej.
żródło: http://pl.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert
podstawami geometrii i logiki matematycznej
podstawami geometrii i logiki matematycznej
podstawami geometrii i logiki matematycznej
problemami fizyki matematycznej
problemami fizyki matematycznej
problemami fizyki matematycznej
a ku,ku :)
Pytanie:
Ile z tych "problemów" rozwiązuje się SAMO! gdy wiadomo
co to jest liczba mianowana? :-)
hehe
Edward Robak* z Nowej Huty
~>°<~
"Prawda nie kłamie"