Re: Ilość liczb wymiernych
Robakks
" (c)RaSz" <barra6W...@poczta.onet.pl>
news:h4vosh$pk5$1...@nemesis.news.neostrada.pl...
> "Wlodzimierz Holsztynski"
> news:h3msfc$eu2$1...@inews.gazeta.pl...
>> zdumiony <zdum...@jestem.pl> napisał:
>>> Jak udowodnić że ilość liczb wymiernych
>>> jest taka sama jak ilość liczb
>>> naturalnych; [...]?
>> ***
>>
>> Przedstawię 1-1 odpowiedniość zbioru F wszystkich
>> skończonych ciągów zero-jedynkowych (łącznie
>> z pustym) ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych,
>> N, oraz ze zbiorem wszystkich dodatnich liczb
>> wymiernych Q_+.
>>
>>
>> Pozdrawiam,
>>
>> Wlodek
> W dowodach równoliczności zbioru liczb Naturalnych i Wymiernych - niepokoi
> mnie nieco żonglowanie nieskończonościami... Wpierw 1-sza nieskończoność:
> np.
> ułamków typu n/2 - potem druga - powiedzmy wszystkich ułamków n/3, no i
> daAalej - leEecą sobie kolejne nieskończoności - cała ich (znowu:
> nieskończona!) czereda...
>
> Choć oczywiście wiemy z prac Cantora i innych - że tak postępować wolno, i
> że
> wszystko jest jak najbardziej w porządku, warto jednak zauważyć, że aby
> dokonać takiego "ponumerowania" ułamków, musimy użyć Nieskończonej ilości
> _Kolejnych_ Nieskończoności, a taka zabawa staje się coraz bardziej
> niebezpieczna...
>
> Aby nie było, że jedynie utyskuję - proponuję nieco inne połączenie w
> pary:
> L.Naturalna - L.Wymierna, w którym każdą L.Wymierną zapiszemy sobie jako
> dwójkę L.Naturalnych, i przechowywać to-to będziemy w tablicy par [L1; L2]
> - byłoby to połączenie, które pozwoli ponumerować L.Naturalnymi WSZYSTKIE
> L.Wymierne...
>
> Zakładam (nooo - nie jestem całkiem pewien, czy słusznie), że każdy
> ułamek -
> może być przedstawiony jako para liczb: Dzielna i Dzielnik. Jednakże dla
> większego porządku należy tą naszą reprezentację L.Wymiernych rozszerzyć
> do
> trójki liczb: [L1; L2; L3], gdzie wszystkie eL'e (od L1 do ostatniego
> eL'a,
> wszak może być ich więcej!) są liczbami naturalnymi, zaś L1 odpowiada
> kompletowi cyfr "przed przecinkiem" - naszej tu zapisywanej L.Wymiernej,
> natomiast ułamek właściwy L2/L3 reprezentuje sobą "to, co po przecinku"
> ("po
> przecinku" - gdybyśmy używali zapisu dziesiętnego). Ułamek ten powinien
> zostać zredukowany (skrócony) - zaś zmartwienie o to pozostawimy póki co
> demonowi Laplace'a... A jeszcze dla lepszej organizacji: użyjemy to tak,
> że
> L3 to nie cała wartość dzielnika "brutto" - lecz jedynie różnica jego
> wartości "netto" - czyli o ile jest większy od dzielnej... Wszak pragniemy
> zapisywać tu ułamki właściwe, i to nie powtarzające się.
>
> Tak to opisując mielibyśmy dyskretną (złożoną tylko z liczb całkowitych)
> "szachownicę" - trójwymiarową, co rodzi obawy, że jest ona "czymś więcej"
> niż
> zbiór L.Naturalnych. Ale przecież możemy ją przekształcić w sposób
> następujący:
> a = 2^L1 razy 3^L2 razy 5^L3
>
> - co nam gwarantuje, że "wyprodukujemy" tylko liczby naturalne, zaś każda
> taka liczba [ a ] będzie w sposób wzajemnie jedno-jednoznaczny przypisana
> do
> konkretnej L.Wymiernej. A to dlatego, że podnosiliśmy tu do określonych
> potęg
> trzy L.Pierwsze, więc możemy tę (wym)Mierną kiełbasę wrzucić teraz do
> odpowiedniej maszynki "odzyskującej", i odtworzyć składniki wyjściowe,
> poprzez faktoryzację z użyciem jedynie tych trzech L.Pierwszych.
> Oczywiście:
> jest to technicznie czasem uciążliwe (gdyż dość szybko zaczną się pojawiać
> liczby naprawdę duże), ale z matematycznego punktu widzenia jest to
> jedynie
> "drobna trudność techniczna"...
>
> Co do liczb ujemnych: moglibyśmy na ich oznaczenie użyć kolejnej
> L.Pierwszej,
> czyli siódemki. Byłoby to pewną rozrzutnością, jako że dla niej
> przewidujemy
> raptem dwie wartości: plus (7^0) oraz minus (7^1) - ale przecież
> rozrzutność
> nic nas tu nie kosztuje, wszak liczb pierwszych też mamy nieskończenie
> wiele.
> A zresztą do siódemki moglibyśmy przypisać jeszcze jakieś inne znaki, np.:
> znak [ i ], albo znak [ - i ] czyli znaki imaginaty... W ten sposób więc
> moglibyśmy też poindeksować ("ponumerować") pewną wąską podklasę liczb
> zespolonych. Ale - nie będziemy sobie teraz mnożyć kłopotów. Czyli użyjemy
> jedynie trójki liczb.
>
> Na marginesie: podobnie możemy oczywiście "zredukować" do podzbiorów N -
> jeszcze większe struktury: N^4; N^5; N^6 etc... Dla każdego "dodatkowego
> wymiaru" - będziemy używać następnej L.Pierwszej - dzięki czemu zachowamy
> wzajemną jedno-jednoznaczność.
>
> Jeszcze warto tu podkreślić, że ponieważ do ponumerowania liczb wymiernych
> będziemy "zużywać" jedynie takie liczby naturalne, które będą stanowić
> kombinację potęg trzech najmniejszych L.Pierwszych, to możemy nawet
> stworzyć
> mylne wrażenie, iż L.Wymiernych jest mniej niż Naturalnych. Co jest
> oczywiście nieprawdą, gdyż oba zbiory są tej samej mocy...
>
> Natomiast fakt, że wszystkie L.Wymierne będziemy porządkować przy użyciu
> L.Naturalnych - umożliwia nam określanie Sąsiedztwa każdego elementu,
> czyli
> że dla każdego z nich (a więc: dla dowolnego ułamka) istnieje dokładnie
> wyznaczony sąsiad "mniejszy" (poprzedzający), oraz takoż samo: dokładnie
> jeden sąsiad większy (czyli następujący "później"). Ponieważ to właśnie
> zagadnienie wydaje się być ciekawym, to podejmę je w kolejnym poście...
>
> Pozdrawiam (c)RaSz
W ramach wakacyjnej erupcji fantazji proponuję wypełnić całą Tabelę N^2
(posiadającą oo kolumn i oo wierszy) liczbami naturalnymi, a następnie
każdą liczbę n wpisaną w Tabelę zastąpić jej odwrotością 1/n, co będzie
gwarancją, że żadna liczba nie została pominięta.
Po tej czynności wystarczy wskazać w tej Tabeli pola puste, w które
można wpisywać te liczby wymierne l/n, w których licznik l ma inną
wartość niż 1. Oczywiście jeśli cała Tabela jest już wypełniona liczbami 1/n
to pustych pól nie powinno być, ale...
ale?
to przecież nie jest problem dla teoretyków. Prawda? :-)
Robakks
*°"˝'´¨˘`˙.^:;~>¤<×÷-.,˛¸
- -
Kasia = aleph0 [cm] < Kasia = aleph0 [km] :) <= TABU