베르누이확률변수의 분산, 공분산에 관하여

[성균관대학교민동녘]

권세혁 선생님,

안녕하십니까.

이산형 변수들의 분산과 공분산에 관하여 공부한던 중, 혼자 해결이 버거워 이렇게 문의드리게 되었습니다.

1. 분산이라함은 기본적으로 기댓값 기준 확률변수들이 퍼져있는 정도의 요약치라고 이해하고 있습니다.

이산형 확률변수라 할지라도 대표적으로 이항분포의 경우를 보면, 성공횟수의 기댓값 np를 중심으로 성공횟수들이 퍼져있음을 확인할 수 있는데요,(여기서 n = 베르누이 시행 횟수, p = 그 시행의 성공확률)

베르누이 분포의 경우 산포도라는 개념이 이해가 가질 않습니다.

베루누이확률변수의 분산이 의미하는 바가 무엇인지 여쭤보고자 합니다.

2. 더하여 이러한 베르누이 분포들의 공분산이 갖는 의미도 여쭤봅니다.

일련의 의문은 회귀분석 간 0과 1로 코딩된 더미변수가 갖는 분산과 공분산에 대한 의문에서 비롯되었습니다.

감사합니다.

-민동녘

[통계상담_한남대권세혁교수]

안녕하세요?

베르누이 분포의 기반인 시행은 (0, 1)의 값은 확률 (1-p), p로 갖는 확률변수입니다.

(0, 1)만 나타나는 베르누이 분산(가질 수 있는 값들의 흩어진 정도)은 p(1-p)입니다.

평균이 p이므로, 0과 p의 거리 p, 1과 p의 거리 (1-p)를 이용합니다.

(분산의 의미는) 모든 확률분포에서 동일합니다.

사용하거나, 가정하는 분포에서 분산은 동일하게 정의되고 해석됩니다.

(예) 통계적 품질관리에서 분산은 품질의 역수입니다. 하여, 관측치가 정규분포를 가정하는 경우 공정도에서 구해지는 분산이 품질의 역수로 활용됨

-> 이것은 베르누이 분포이기 때문에 달라지는 것은 아님

(예) 경영학에서 분산은 위험입니다. 수익율을 로그 정규분포라 가정하면, 로그 정규분포로 부터 구해지는 분산은 그 투자 포트폴리오의 위험입니다.

분산 개념은 분포에 의존하지 않고 관측치의 흩어진 정도에 대한 척도입니다.

회귀분석에서 더비변수는 베르누이 분포를 따르는 확률변수가 아닙니다. 

단지 집단을 구별하는 (결정)설명변수입니다. 결정변수라 함은 확률분포가 아닙니다. (예) 성별->취업율(Y) 영향, 성별은 더미변수로 입력됨

회귀분석에서는 설명변수는 결정변수(확률변수가 아님, 물론 이를 확률변수로 가정하는 모형도 있음)입니다.   

도움이 되었기를... Best wishes,

2019년 10월 23일 수요일 오후 8시 16분 16초 UTC+9, 성균관대학교민동녘 님의 말: