数值积分公式的代数精度

[XuQiang]

代数精度对于数值积分公式而言有何意义？为什么人们总用代数精度衡量数值积分公式的优劣呢？

我们用多项式逼近连续函数f(x)时，事实上考虑的是连续函数f(x)向某多项式空间在某种度量下的投影问题，换句话说是寻找该连续函数与某多项式空间
中的哪个多项式距离d最小的问题。这样的话，我们可以意识到多项式空间越大，这种最小距离d就应该越小。

n次代数精度的数值积分公式可以保证：至少对次数不超过n的多项式用数值积分公式求得的结果是精确的。越高代数精度的积分公式越能使得次数更高的多项式
保证积分结果精确，那么我们用该数值积分公式求一般连续函数的积分值所产生的误差就越小就是很自然的事情了。