driehoek met 3 hoeken van 90 graden...
LeonerD
Jan den Hollander
> , dat kan gewoon. Maar hoe??
boldriehoek? Een hoekpunt bij de noordpool, 2 andere hoekpunten op de
evenaar, 90o in lengtegraad van elkaar
Erik Hensema
begin quote of LeonerD (leoner...@zonnet.nl):
> , dat kan gewoon. Maar hoe??
Is dit een puzzeltje of een wetenschappelijke vraag?
--
Erik Hensema (er...@hensema.net)
Quoting-HOWTO: http://www.leerquoten.nl
Richard Smol
> , dat kan gewoon. Maar hoe??
Dat kan binnen de niet-euclidische meetkunde:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Niet-euclidische_meetkunde
RS
J. J. Lodder
> Install http://support.microsoft.com/kb/900930 to read this message.
> begin quote of LeonerD (leoner...@zonnet.nl):
> > , dat kan gewoon. Maar hoe??
>
> Is dit een puzzeltje of een wetenschappelijke vraag?
Vermoedelijk als puzzel bedoeld,
naar te afgezaagd om naar nl.hobby.puzzels
te forwarden,
Jan
Swakke
Kom ik nu in aanmerking voor een Nobelprijs voor Ruimtelijke Meetkunde?
Swakke
Eelco de Lange
> Een driehoek op een bol heeft drie hoeken van 90°
Niet noodzakelijk...
Een driehoek op een bol kan zelfs 3 hoeken van 180 graden hebben...
> Kom ik nu in aanmerking voor een Nobelprijs voor Ruimtelijke Meetkunde?
Die loop je deze keer mis denk ik. ;)
Eelco
Evertjan.
> On 17/01/2006 20:57, Swakke wrote:
>
>> Een driehoek op een bol heeft drie hoeken van 90°
>
> Niet noodzakelijk...
> Een driehoek op een bol kan zelfs 3 hoeken van 180 graden hebben...
Nee, een hoek van 180 graden is geen hoek.
--
Evertjan.
The Netherlands.
(Please change the x'es to dots in my emailaddress)
J. J. Lodder
> Een driehoek op een bol heeft drie hoeken van 90°
> Kom ik nu in aanmerking voor een Nobelprijs voor Ruimtelijke Meetkunde?
Nee, want het is onjuist.
Het zgn 'sferische exces' van een boldriehoek
hangt van de oppervlakte ervan af.
Voor een kleine boldriehoek
is de som van de drie hoeken vrijwel 180 graden.
Voor een boldriehoek van 270 graden
heb je een oppervlak van pi/2 nodig.
Beste,
Jan
J. J. Lodder
> Eelco de Lange wrote on 17 jan 2006 in nl.wetenschap:
>
> > On 17/01/2006 20:57, Swakke wrote:
> >
> >> Een driehoek op een bol heeft drie hoeken van 90°
> >
> > Niet noodzakelijk...
> > Een driehoek op een bol kan zelfs 3 hoeken van 180 graden hebben...
>
> Nee, een hoek van 180 graden is geen hoek.
Toch wel, anders zou een ontaarde driehoek
geen som van 180 graden kunnen hebben,
Jan
Evertjan.
Wat een onzin, Jan, waarom is dat dan zo?
J. J. Lodder
> J. J. Lodder wrote on 17 jan 2006 in nl.wetenschap:
>
> > Evertjan. <exjxw.ha...@interxnl.net> wrote:
> >
> >> Eelco de Lange wrote on 17 jan 2006 in nl.wetenschap:
> >>
> >> > On 17/01/2006 20:57, Swakke wrote:
> >> >
> >> >> Een driehoek op een bol heeft drie hoeken van 90°
> >> >
> >> > Niet noodzakelijk...
> >> > Een driehoek op een bol kan zelfs 3 hoeken van 180 graden hebben...
> >>
> >> Nee, een hoek van 180 graden is geen hoek.
> >
> > Toch wel, anders zou een ontaarde driehoek
> > geen som van 180 graden kunnen hebben,
>
> Wat een onzin, Jan,
Wat een verplettterend argument.
> waarom is dat dan zo?
Dat klinkt al beter. Antwoord:
Omdat wiskundigen niet van uitzonderingen en speciale gevallen houden.
Ze willen definities en stellingen zo algemeen mogelijk hebben.
Dus: iedere drie punten in het vlak spannen een driehoek op,
en iedere planaire driehoek heeft een som van 180 graden.
Ook als dat 0 + 0 + 180 is.
Beste,
Jan
Evertjan.
Dat zou dus beteken dat je een rechte lijn als een aaneenschakeling van
180 gradige hoeken kan definieren,
en dat zou beteken dat een driekoek uit veel meer hoeken dan drie zou
bestaan en DUS geen driehoek zou zijn,
en dat zou beteken dat driehoeken helemaal niet bestaan,
en als je volhoudt dat ze wel bestaan, de som van hun [bij platte
driehoeken] hoeken niet 180 graden maar oneindig graden zou zijn.
Ongerijmd hoor!
===========
Verder is een punt op een bol een driehoek,
waarvan de oppervlakte gelijk is aan de boloppervlakte,
en ook een driehoek met een nul oppervlak.
===========
Kort en goed, als je altijd de limiet van een set als behorend tot die
set definieert, valt er nauwelijks nog zinnig te praten,
want dan zouden er, inclusief nul-postings, vandaag al miljoenen postings
in deze NG zijn verzonden.
J. J. Lodder
> J. J. Lodder wrote on 17 jan 2006 in nl.wetenschap:
>
> >> Wat een onzin, Jan,
> >
> > Wat een verplettterend argument.
> >
> >> waarom is dat dan zo?
> >
> > Dat klinkt al beter. Antwoord:
> > Omdat wiskundigen niet van uitzonderingen en speciale gevallen houden.
> > Ze willen definities en stellingen zo algemeen mogelijk hebben.
> >
> > Dus: iedere drie punten in het vlak spannen een driehoek op,
> > en iedere planaire driehoek heeft een som van 180 graden.
> > Ook als dat 0 + 0 + 180 is.
> >
> >
>
> Dat zou dus beteken dat je een rechte lijn als een aaneenschakeling van
> 180 gradige hoeken kan definieren,
Opvatten, ja.
De rechte lijn wordt uiteraard gewoonlijk iets anders gedefinieerd.
> en dat zou beteken dat een driekoek uit veel meer hoeken dan drie zou
> bestaan en DUS geen driehoek zou zijn,
Een driehoek is per definitie -een tripel- van punten.
> en dat zou beteken dat driehoeken helemaal niet bestaan,
Jouw curieuze logica slechts.
> en als je volhoudt dat ze wel bestaan, de som van hun [bij platte
> driehoeken] hoeken niet 180 graden maar oneindig graden zou zijn.
Afgezien van je misplaatste terminologie
is dat volledig in overeenstemming
met de algemene formule voor de n-hoek.
De vierhoek (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) bv
heeft keurig een som van hoeken van
0 + 180 + 180 + 0 = 360
> Ongerijmd hoor!
>
> ===========
>
> Verder is een punt op een bol een driehoek,
> waarvan de oppervlakte gelijk is aan de boloppervlakte,
>
> en ook een driehoek met een nul oppervlak.
>
> ===========
>
> Kort en goed, als je altijd de limiet van een set als behorend tot die
> set definieert, valt er nauwelijks nog zinnig te praten,
Limieten hebben er niets mee te maken,
we hadden het immers over meetkunde.
Maar inderdaad, als je de definities (zoals eerder aangegeven)
goed kiest dan gaat het limietgedrag ook 'vanzelf' goed
Maar inderdaad, als je niet-zinnig wilt praten
dan kan dat altijd.
Met wiskunde heeft dat verder niets te maken,
Jan
LeonerD
"Erik Hensema" <use...@smac.hensema.net> schreef in bericht
news:slrndspu0h...@bender.home.hensema.net...
> Install http://support.microsoft.com/kb/900930 to read this message.
Of Ctrl- F3, to read the message.
Geen antwoord maar een wedervraag..........
LeonerD
"J. J. Lodder" <nos...@de-ster.demon.nl> schreef in bericht
news:1h9be2s.12v...@de-ster.xs4all.nl...
Nee...slechts een slimme vraag, die brugklassers krijgen voorgeschoteld van
slimme wiskundeleerkrachten op sommige scholen.
"Teken een driehoek met 3 hoeken van 90 graden"
Is wel grappig als er één met de juiste oplossing komt.
Jeroen Makkinje
>
> Nee...slechts een slimme vraag, die brugklassers krijgen voorgeschoteld van
> slimme wiskundeleerkrachten op sommige scholen.
>
> "Teken een driehoek met 3 hoeken van 90 graden"
>
>
>
Ik vind het een beetje een flauwe vraag. Je vraagt van
een brugklasser om het traditionele begrip rechte lijn
aan kant de schuiven en dit te vervangen door iets waar
zelfs Gauss niet mee voor de dag durfde te komen.
Jeroen Makkinje
Pim Lemmens
> LeonerD <leoner...@zonnet.nl> wrote:
>>
>> Nee...slechts een slimme vraag, die brugklassers krijgen
>> voorgeschoteld van slimme wiskundeleerkrachten op sommige scholen.
>>
>> "Teken een driehoek met 3 hoeken van 90 graden"
>>
>> Is wel grappig als er ??n met de juiste oplossing komt.
>>
>>
>
> Ik vind het een beetje een flauwe vraag. Je vraagt van
> een brugklasser om het traditionele begrip rechte lijn
> aan kant de schuiven
Wie vraagt dat? De definitie van rechte lijn is nog altijd "de kortste
verbinding tussen twee punten", en op een boloppervlak is dat een deel van
een grote cirkel.
Pim.
Femme Verbeek
Hoezo? In het oppervlak zijn het keurige rechte lijnen. Bijvoorbeeld
vanuit de noordpool een lijn zuid, dan oost, dan noord.
Alleen het oppervlak zelf is gebogen.
--
Femme
Pim Lemmens
>
Dat doet het ook niet, als je het over de geometrie van een bol*oppervlak*
hebt.
Pim.
Evertjan.
>> Kort en goed, als je altijd de limiet van een set als behorend tot die
>> set definieert, valt er nauwelijks nog zinnig te praten,
>
> Limieten hebben er niets mee te maken,
> we hadden het immers over meetkunde.
> Maar inderdaad, als je de definities (zoals eerder aangegeven)
> goed kiest dan gaat het limietgedrag ook 'vanzelf' goed
> Maar inderdaad, als je niet-zinnig wilt praten
> dan kan dat altijd.
>
> Met wiskunde heeft dat verder niets te maken,
>
Jan, wij discuteren nu al zo'n 10 jaar af en aan,
maar dat meetkunde geen vormm van wiskunde is,
of dat er in meetjunde geen limieten zijn,
zo'n onzin had je nog niet verkondigd.
Pim Lemmens
> geknipt hebt dan bestaat het eruit geknipte deel ook niet.
>
> Dus wat wilde je nu zeggen?
>
Dat je je toch eens in niet-euclidische meetkunde moet gaan verdiepen.
Pim.
Marko Nieuwenhuizen
>
> Daar weet ik meer van af dan jij denkt.
>
jammer dat je dat niet liet blijken dan
Mdmeenken
"Pim Lemmens" <wsi...@verwijderdit.win.tue.nl> schreef in bericht
news:9a0d8$43ce4324$839b45a5$27...@news2.tudelft.nl...
op het opp. wel ja.
>
> Pim.
>
>
Mdmeenken
"Evertjan." <exjxw.ha...@interxnl.net> schreef in bericht
news:Xns974FA34B...@194.109.133.242...
> J. J. Lodder wrote on 18 jan 2006 in nl.wetenschap:
>
>>> Kort en goed, als je altijd de limiet van een set als behorend tot die
>>> set definieert, valt er nauwelijks nog zinnig te praten,
>>
>> Limieten hebben er niets mee te maken,
>> we hadden het immers over meetkunde.
>> Maar inderdaad, als je de definities (zoals eerder aangegeven)
>> goed kiest dan gaat het limietgedrag ook 'vanzelf' goed
>> Maar inderdaad, als je niet-zinnig wilt praten
>> dan kan dat altijd.
>>
>> Met wiskunde heeft dat verder niets te maken,
>>
>
> Jan, wij discuteren nu al zo'n 10 jaar af en aan,
> maar dat meetkunde geen vormm van wiskunde is,
> of dat er in meetjunde geen limieten zijn,
> zo'n onzin had je nog niet verkondigd.
een keer moet het de eerste keer zijn toch.
Jeroen Makkinje
kan je de som van de hoeken vrij kiezen. De vraagstelling klopt niet.
Je introduceert een drie-dimensionaal object en tegelijk verplicht je
de leerlingen om zich te beperken tot het twee-dimensionale oppervlak.
Zonder dit erbij te zeggen.
De definitie van een rechte lijn is trouwens niet "de korste
verbinding tussen twee punten" de lijn loopt in principe
oneindig lang door. Bij een bol is het lijnstuk dat achterlangs
gaat ook recht.
Jeroen Makkinje
Pim Lemmens
> Pim Lemmens <wsi...@verwijderdit.win.tue.nl> wrote:
>> Jeroen Makkinje wrote:
>>> Ik vind het een beetje een flauwe vraag. Je vraagt van
>>> een brugklasser om het traditionele begrip rechte lijn
>>> aan kant de schuiven
>>
>> Wie vraagt dat? De definitie van rechte lijn is nog altijd "de
>> kortste verbinding tussen twee punten", en op een boloppervlak is
>> dat een deel van een grote cirkel.
>>
>> Pim.
>>
>>
> Door een extra restrictie aan te leggen (het oppervlakte van een
> lichaam) kan je de som van de hoeken vrij kiezen. De vraagstelling
> klopt niet.
> Je introduceert een drie-dimensionaal object en tegelijk verplicht je
> de leerlingen om zich te beperken tot het twee-dimensionale oppervlak.
> Zonder dit erbij te zeggen.
>
maar een speciaal geval is van de algemene geometrie. Als jij het per se
over Euclidische geometrie wilt hebben moet *jij* dat erbij zeggen.
> De definitie van een rechte lijn is trouwens niet "de korste
> verbinding tussen twee punten" de lijn loopt in principe
> oneindig lang door. Bij een bol is het lijnstuk dat achterlangs
> gaat ook recht.
>
Ik zal het niet ontkennen.
Pim.
Jeroen Makkinje
> Jeroen Makkinje wrote:
>> Pim Lemmens <wsi...@verwijderdit.win.tue.nl> wrote:
>>> Jeroen Makkinje wrote:
>>>> Ik vind het een beetje een flauwe vraag. Je vraagt van
>>>> een brugklasser om het traditionele begrip rechte lijn
>>>> aan kant de schuiven
>>>
>>> Wie vraagt dat? De definitie van rechte lijn is nog altijd "de
>>> kortste verbinding tussen twee punten", en op een boloppervlak is
>>> dat een deel van een grote cirkel.
>>>
>>> Pim.
>>>
>>>
>> Door een extra restrictie aan te leggen (het oppervlakte van een
>> lichaam) kan je de som van de hoeken vrij kiezen. De vraagstelling
>> klopt niet.
>> Je introduceert een drie-dimensionaal object en tegelijk verplicht je
>> de leerlingen om zich te beperken tot het twee-dimensionale oppervlak.
>> Zonder dit erbij te zeggen.
>>
> In tegendeel. Ik generaliseer van de Euclidische "vlakke" meetkunde, die
> maar een speciaal geval is van de algemene geometrie. Als jij het per se
> over Euclidische geometrie wilt hebben moet *jij* dat erbij zeggen.
>
Ik ben benieuwd hoe jij het antwoord wil uitleggen zonder gebruik te
maken van het begrip "bol". Dit is alleen maar in Euclidische "vlakke"
meetkunde gedefinieerd.
Jeroen Makkinje
J. J. Lodder
Dat is de klassieke vergissing in de 'kleur van de ijsbeer' puzzel.
Als je van de noordpool uit 10 km pal zuid,
daarna 10 km pal oost, en daarna 10 km pal noord loopt
beschrijf je wel een figuur met drie hoeken van 90 graden,
maar het is in de verste verte geen driehoek.
Daarvoor moet je 30000 km lopen.
De som van de drie hoeken -van een driehoek-
met zijden van 10 km op de aarde
is heel dicht bij 180 graden.
Beste,
Jan
J. J. Lodder
> J. J. Lodder wrote on 18 jan 2006 in nl.wetenschap:
[Slap hoor, om gauw je eigen wartaal te knippen]
> >> Kort en goed, als je altijd de limiet van een set als behorend tot die
> >> set definieert, valt er nauwelijks nog zinnig te praten,
> >
> > Limieten hebben er niets mee te maken,
> > we hadden het immers over meetkunde.
> > Maar inderdaad, als je de definities (zoals eerder aangegeven)
> > goed kiest dan gaat het limietgedrag ook 'vanzelf' goed
> > Maar inderdaad, als je niet-zinnig wilt praten
> > dan kan dat altijd.
> >
> > Met wiskunde heeft dat verder niets te maken,
> >
>
> Jan, wij discuteren nu al zo'n 10 jaar af en aan,
> maar dat meetkunde geen vormm van wiskunde is,
Waar zie je dat hierboven staan?
Er staat toch duidelijk dat het jouw niet-zinnige praat was
die niets met wiskunde te maken heeft.
> of dat er in meetjunde geen limieten zijn,
Wijs er maar eens eentje aan bij Euclides.
Limieten komen pas met het eerste begin
van differentiaal- en integraalrekening.
Archimedes, met heel veel goede wil,
maar het wordt pas menens met Descartes, Leibniz en Newton.
> zo'n onzin had je nog niet verkondigd.
Het is jammer dat je van inhoudelijke discussie afziet
en tot dit soort laag bij de grondse demagogie overgaat.
Beterschap,
Jan
Jeroen Makkinje
>
> Dat is de klassieke vergissing in de 'kleur van de ijsbeer' puzzel.
> Als je van de noordpool uit 10 km pal zuid,
> daarna 10 km pal oost, en daarna 10 km pal noord loopt
> beschrijf je wel een figuur met drie hoeken van 90 graden,
> maar het is in de verste verte geen driehoek.
> Daarvoor moet je 30000 km lopen.
>
Beweer je dat de "randen" van een snijvlak met een bol alleen
maar rechte lijnen zijn als het vlak door het middelpunt van
de bol gaat?
Jeroen Makkinje
J. J. Lodder
Inderdaad, dat is de gangbare definitie.
In iedere geometrie zijn de rechten
de korste (of langste) verbindingen tussen twee punten.
Op de bol zijn dat de grootcirkels, en alleen de grootcirkels.
Een stukje van een lijn van constante breedte
is geen rechte op de bol. (tenzij het evenenaar is)
Algemener: een lijn die een constante hoek met de meridianen maakt
(een loxodroom, de rechte op een mercatorkaart) is dat ook niet.
(speciale gevallen uitgezonderd)
Je kan daar natuurlijk vanaf stappen,
als je perse je eigen terminologie wilt hanteren.
Maar dan heb je die hele bol niet nodig.
Dan kan je bv net zo goed beweren dat de 'driehoek' die je krijgt
met (0,0) rechte naar (0,1) kwartcirkel naar (1,1)
rechte terug naar (0,0) een oplossing van het puzzeltje is.
Beste,
Jan
Pim Lemmens
We hadden het niet over bollen, maar over boloppervlakken. Dat zijn
niet-euclidische tweedimensionale geometrieën.
Pim.
Femme Verbeek
Flauw. Ik zeg toch niet dat alle figuren zuid oost noord hieraan
voldoen. Maar wel dat er tenminste e'e'n figuur is.
Ik ging ervan uit dat Jeroen de eerste re: van Jan den Hollander gelezen
had.
J. J. Lodder
> J. J. Lodder wrote:
> > Jeroen Makkinje <mak...@xs4all.nl> wrote:
> >
> >> J. J. Lodder <nos...@de-ster.demon.nl> wrote:
> >>>
> >>> Dat is de klassieke vergissing in de 'kleur van de ijsbeer' puzzel.
> >>> Als je van de noordpool uit 10 km pal zuid,
> >>> daarna 10 km pal oost, en daarna 10 km pal noord loopt
> >>> beschrijf je wel een figuur met drie hoeken van 90 graden,
> >>> maar het is in de verste verte geen driehoek.
> >>> Daarvoor moet je 30000 km lopen.
> >>>
> >>
> >> Beweer je dat de "randen" van een snijvlak met een bol alleen
> >> maar rechte lijnen zijn als het vlak door het middelpunt van
> >> de bol gaat?
> >
> > Inderdaad, dat is de gangbare definitie.
> > In iedere geometrie zijn de rechten
> > de korste (of langste) verbindingen tussen twee punten.
>
> Vergeet niet dat je ook nog de projectieve geometrie hebt, waar een rechte
> niet de kortste verbinding tussen twee punten kan zijn omdat er om te
> beginnen al helemaal geen afstandsbegrip gedefinieerd is.
>
> Die definitie van rechte werkt eigenlijk alleen goed in een
> beginnerscursusje wiskunde waar je dan gebruik maakt van een intuitief
> afstandsbegrip.
Je praat wel wat erg makkelijk over differentiaalgeometrie.
Een metrische tensor is niet echt een geschikt beginnersonderwerp.
> > Op de bol zijn dat de grootcirkels, en alleen de grootcirkels.
>
> En het is niet gebruikelijk grootcirkels "rechten" te noemen, die noemen we
> "grootcirkels".
Zeker, maar als je het perse over 'rechten op de bol' wilt hebben
dan zijn dat de grootcirkels.
> Als je grootcirkels "rechten" noemt krijg je het probleem dat je meer dan
> een rechte door twee punten kunt trekken, neem maar twee punten die elkaars
> antipode zijn.
>
> Je kunt dat probleem oplossen door antipodes te identificeren, paren
> antipodes, (of zelfs de lijn door zo'n paar), punt te noemen.
>
> Als je dat doet, _dan_ is het wel zinvol een grootcirkel (of een vlak door
> een grootcirkel) rechte te noemen.
>
> > Een stukje van een lijn van constante breedte
> > is geen rechte op de bol. (tenzij het evenenaar is)
> > Algemener: een lijn die een constante hoek met de meridianen maakt
> > (een loxodroom, de rechte op een mercatorkaart) is dat ook niet.
> > (speciale gevallen uitgezonderd)
> >
> > Je kan daar natuurlijk vanaf stappen,
> > als je perse je eigen terminologie wilt hanteren.
> >
> > Maar dan heb je die hele bol niet nodig.
> > Dan kan je bv net zo goed beweren dat de 'driehoek' die je krijgt
> > met (0,0) rechte naar (0,1) kwartcirkel naar (1,1)
>
> Typo? ik verwacht kwartcirkel naar (1,0)
Inderdaad, typo, dank.
> > rechte terug naar (0,0) een oplossing van het puzzeltje is.
>
> Klopt. Ik had drie cirkelsegmenten, maar met een cirkelsegment werkt het
> inderdaad ook al.
Al met al, niet echt een geweldig idee
om dit aan brugklassertjes voor te leggen.
Misschien beter om toch maar de klassieke ijsbeervraag te geven.
Wellicht is er dan een slim bruggertje
dat (her)ontdekt dat er oneindig veel oplossingen zijn.
Beste,
Jan
J. J. Lodder
> Worden dan niet alle oplossingen op een na uitgesloten door het feit dat er
> op de zuidpool geen ijsberen zijn?
Ook geen puntvormige?
Jan